系统的稳定性以及稳定性的几种定义

系统的稳定性以及稳定性的几种定义

一、系统

研究系统的稳定性之前，我们首先要对系统的概念有初步的认识。在数字信号处理的理论中，人们把能加工、变换数字信号的实体称作系统。由于处理数字信号的系统是在指定的时刻或时序对信号进行加工运算，所以这种系统被看作是离散时间的，也可以用基于时间的语言、表格、公式、波形等四种方法来描述。从抽象的意义来说，系统和信号都可以看作是序列。但是，系统是加工信号的机构，这点与信号是不同的。人们研究系统还要设计系统，利用系统加工信号、服务人类，系统还需要其它方法进一步描述。描述系统的方法还有符号、单位脉冲响应、差分方程和图形。

中国学者钱学森认为：系统是由相互作用相互依赖的若干组成部分结合而成的，具有特定功能的有机整体，而且这个有机整体又是它从属的更大系统的组成部分。

二、系统的稳定性

一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(Bound Input Bound Output------ BIBO)稳定的系统，简称为稳定系统。即，若系统对所有的激励 |f(·)|≤Mf ，其零状态响应 |yzs(·)|≤My(M为有限常数），则称该系统稳定。

三、连续（时间）系统与离散(时间)系统

连续系统：时间和各个组成部分的变量都具有连续变化形式的系统。系统的激励和响

应均为连续信号。

离散系统：当系统各个物理量随时间变化的规律不能用连续函数描述时，而只在离散 的瞬间给出数值，这种系统称为离散系统。系统的激励和响应均为离散信号。

四、因果系统

因果系统 (causal system) 是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出现输出（响应）的系统。也就是说，因果系统的（响应）不会出现在输入信号激励系统的以前时刻。即输入的响应不可能在此输入到达的时刻之前出现的系统；也就是说系统的输出仅与当前与过去的输入有关，而与将来的输入无关的系统。

判定方法

对于连续时间系统：

t=t1的输出y(t1)只取决于t≤t1的输入x(t≤t1)时，则此系统为因果系统。

特殊的：当该系统为线性移不变系统时，系统的冲激响应函数h(t)，在t≤t1的条件下，h(t)=0，则此系统为因果系统；

对于离散时间系统：

n=n1的输出y(n1)只取决于n≤n1的输入x(n≤n1)时，则此系统为因果系统，特殊的：当该系统为线性移不变系统时，系统的冲激响应函数h(n)，在n≤n1的条件下，h(n)=0，则此系统为因果系统。

举例说明

函数：1.y(t)=x(sin(t)) 不是因果系统，因为y(-π)=x(0), 表明 y(t)在一段时间内可能取决于未来的x(t)。

2.y（t）=x（t）cos（t+1)是因果系统，cos（t+1)是时变函数，相当于一个已知的函数波形，所以x（t）的当前值影响了y（t）的当前值。

五、连续系统稳定性与离散系统稳定性的充分必要条件（证明见教材）

（1）连续系统稳定的充分必要条件

时域：|h(t)|dtM

S 域：若H(s)的收敛域包含虚轴，则该系统必是稳定系统。

对于因果系统：若H(s)的极点均在左半开平面，则该系统必是稳定系统。

（2）离散系统稳定的充分必要条件

时域：k|h(k)|M

Z域：若H(z)的收敛域包含单位圆，则该系统必是稳定系统。

对于因果系统：若H(z)的极点均在单位圆内，则该系统必是稳定系统。

举例

例1 y(k)+1.5y(k-1)-y(k-2)= f(k-1)

(1) 若为因果系统，求h(k)，并判断是否稳定。

(2) 若为稳定系统，求h(k).

解：

z1zz0.4z0.4zH(z)11.5z1z2z21.5z1(z0.5)(z2)z0.5z2

(1) 为因果系统，故收敛域为|z|>2，所以h(k)=0.4[0.5k-(-2)k]ε(k)，不稳定。

(2) 若为稳定系统，故收敛域为0.5<|z|<2，所以h(k)=0.4(0.5)kε(k)+0.4(-2)kε(-k-1)

例2：如图离散因果系统框图 ，为使系统稳定，求常量a的取值范围

解：设加法器输出信号X(z)

X(z)=F(z)+z-1aX(z)

Y(z)=(2+z-1)X(z)= (2+z-1)/(1-az-1)F(z)

H(z)= (2+z-1)/(1-az-1)=(2z+1)/(z-a)

为使系统稳定，H(z)的极点必须在单位园内，

故|a|<1

六、系统稳定性判别方法

1、 系统稳定性判据

在控制和通信系统的分析和设计过程中, 研究系统的稳定性是其核心问题。不稳定的系统是不能有效工作的, 而只有在系统稳定的前提下, 讨论系统的准确性与快速性才有意义。对于一个线性时不变系统, 若系统对任意有界输入其零状态响应也是有界的, 则称此系统为稳定的, 亦称为BIBO 稳定系统。由此导出连续时间系统稳定的充分必要条件是单位冲激响应h(t)绝对可积或其系统函数H(s)的极点全部分布在s 平面左半平面; 离散时间系统稳定的充分必要条件是单位脉冲响应h(n)绝对可和或者其系统函数H(z)的所有极点都在z 平面单位圆内。

通过对系统稳定的充要条件的分析, 我们发现判断系统稳定性的问题转化为分析系统函数的极点分布问题, 也就是检验系统函数H(s)的特征根是否都具有负实部, H(z)的特征根的绝对值是否都小于1的问题。对于低阶系统, 我们可以求出系统函数的全部极点或特征根来判断其稳定性; 而对于三阶以上的高阶系统, 求解过程比较麻烦, 据此提出了连续时间系统的稳定性判据Routh- Hurwitz 准则[2,3]和离散时间系统的稳定性准则Jury 判据。

2、 连续因果系统稳定性判断准则与离散因果系统稳定性判断准则

1）连续因果系统稳定性判断准则—罗斯-霍尔维兹准则

对因果系统，只要判断H(s)的极点，即A(s)=0的根（称为系统特征根）是否都在左半平面上，即可判定系统是否稳定，不必知道极点的确切值。

所有的根均在左半平面的多项式称为霍尔维兹多项式。

（一）必要条件—简单方法

一实系数多项式A(s)=ansn+…+a0=0的所有根位于左半开平面的必要条件是：

（1）所有系数都必须非0，即不缺项；

（2）系数的符号相同。

例1 A(s)=s3+4s2-3s+2 符号相异，不稳定

例2 A(s)=3s3+s2+2 ， a1=0，不稳定

例3 A(s)=3s3+s2+2s+8 需进一步判断，非充分条件。

（二）罗斯列表

将多项式A(s)的系数排列为如下阵列—罗斯阵列

第1行 an an-2 an-4 …

第2行 an-1 an-3 an-5 …

第3行 cn-1 cn-3 cn-5 …

它由第1，2行，按下列规则计算得到：

cn11anan1an1an2an3

cn31anan1an1an4an5 ......

第4行由2，3行同样方法得到。一直排到第n+1行。

罗斯准则指出：若第一列元素具有相同的符号，则A(s)=0所有的根均在左半开平面。若第一列元素出现符号改变，则符号改变的总次数就是右半平面根的个数。

举例：

例1 A(s)=2s4+s3+12s2+8s+2

罗斯阵列： 2 12 2

1 8 0

2121841 2

8.5 0

2

第1列元素符号改变2次，因此，有2个根位于右半平面。

注意：在排罗斯阵列时，可能遇到一些特殊情况，如第一列的某个元素为0或某一行元素全为0，这时可断言：该多项式不是霍尔维兹多项式。

2）离散因果系统稳定性判断准则—朱里准则

为判断离散因果系统的稳定性，要判断A(z)=0的所有根的绝对值是否都小于1。朱里提出一种列表的检验方法，称为朱里准则。

朱里列表：

第1行 an an-1 an-2 …… a2 a1 a0

第2行 a0 a1 a 2 …… an-2 an-1 an

第3行 cn-1 cn-2 cn-3 …… c1 c0

第4行 c0 c1 c2 …… cn-2 cn-1

第5行 dn-2 dn-3 dn-4 …… d0

第6行 d0 d1 d2 …… dn-2

……

第2n-3行 r2 r1 r0

第3行按下列规则计算：

cn1ana0a0an

cn2ana0a1an1

cn3ana0a2an2 ......

一直到第2n-3行，该行有3个元素。

朱里准则指出：

A(z)=0的所有根都在单位圆内的充分必要的条件是:

(1) A(1)>0

(2) (-1)nA(-1)>0

(3) an>|a0| cn-1>|c0| dn-2>|d0| …… r2>|r0|

即，奇数行，其第1个元素必大于最后一个元素的绝对值。

特例：对二阶系统。A(z)=a2z2+a1z+a0,易得

A(1)>0 A(-1)>0 a2>|a0|

举例:

例 A(z)=4z4-4z3+2z-1

解：排朱里列表

4 -4 0 2 -1 2 0 -4 15 -14 0 4

4 0 -14 15

209 -210 56

A(1)=1>0

(-1)4A(-1)=5>0

4>1 ， 15>4 ， 209>56 所以系统稳定。

-1

4

3、Nyquist 准则

采用这两个判据判别系统的稳定性要求系统函数必须是s 或z 的有理函数, 这在实际应用中不一定能满足, 而且在许多实际场合, 系统特征方程的系数也不易确定, 这时, Routh- Hurwitz 准则和Jury 判据便无能为力了。此时我们可以应用一种图解方法, 即Nyquist 准则[2,3]来判别系统的稳定性。以连续时间系统为例, Nyquist 准则指出, 对于图1 所示闭环系统, 其转移函数为

对Nyquist 准则的讨论：

仍以连续时间系统为例, 用Nyquist 准则判别系统的稳定性是基于两个假设之上的:

⑴子系统G(s)、H(s)均稳定; ⑵G(s)与1+G(s)H(s)无公共零点。

下面就这两点假设来进行分析。

假设1 Nyquist 准则中对开环频率响应进行分析实际上是判断1+G(s)H(s)的所有零点

是否都在s平面左半平面的问题。要使此闭环系统稳定, T(s)的所有极点必须在s 平面左半平面, 这包括1+G(s)H(s)的所有零点和G(s)的所有极点, 因此G(s)子系统必须是稳定的。

另外, 图1 所示闭环系统可等效为图2 所示全反馈系统[4], 只有当串联的两个环节都稳定, 原闭环系统才能稳定。这就要求H(s)和G(s)H(s)的所有极点都在s 平面左半平面, 那么G(s)和H(s)的极点都应在s 平面左半平面, 即H(s)子系统也必须是稳定的。

假设2 如果G(s)与1+G(s)H(s)存在公共零点, 且这些公共零点都在s 平面左半平面, 那么这些零点虽然在(1)式中相消, 却并不影响T(s)闭环系统的稳定性。

如果G(s)与1+G(s)H(s)存在公共零点, 而这些公共零点中存在不在s 平面左半平面的点, 假设不在s 平面左半平面的公共零点为zk, zk 为一n 重极点( n=1 表示单极点情形) , zk 可以是实极点, 也可以是共轭复数极点。在此情形下令:

其中M1(s)表示G(s)除公共零点以外的零点多项式, N1(s)表示G(s)极点在s 平面左半平面的多项式, M1(s)、N2(s)分别表示H(s)的零极点在s 平面左半平面的多项式( 因为G(s)、H(s)、1/H(s)子系统都必须是稳定的) 。则1+G(s)H(s)的零点为下列方程：

公共零点zk 是方程(2)的一个根, 那么N1(zk)N2(zk)=0, 即zk 为G(s)、H(s)的一个极点。若zk 不在s 平面左半平面, 则与G(s)、H(s)子系统稳定相悖。

综合以上两种情形的分析, 假设2 可以归结到假设1 中, 即只要求G(s)、H(s)子系统稳定即可。

通过以上讨论, 可知用Nyquist 准则判别闭环系统稳定性时, 应先判别G(s)、H(s)子系统的稳定性,再判别闭环系统T(s)的稳定性。

备注：由于本人只是刚接触信号与系统这门课程，对系统理解并不是很透彻，以上内容是本人参考信号与系统的稳定性PPT，经本人的理解，及查询相关资料进行自我的编辑改写。以上定义部分均来自百度百科，Nyquist 准则摘自丁蕾的《关于系统稳定性判别方法的讨论》，中图分类号: TP11 文献标识码: A 文章编号: 1007- 4260( 2007) 04- 0077- 03