2020年高考新课标Ⅱ卷理数试题解析

绝密★启用前

2020年普通高等学校招生全国统一考试

课标II理科数学

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.

3i（ ） 1iA．12i B．12i C．2i D．2i 2.设集合1,2,4，xx4xm0．若I1，则（ ）

2A．1,3 B．1,0 C．1,3 D．1,5

3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）

A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏

4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，学 科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）

A． 90 B．63 C．42 D．36

1

2x3y305.设x，y满足约束条件2x3y30，则z2xy的最小值是（ ）

y30A．15 B．9 C．1 D．9

6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种

7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，学 科&网给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）

A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的a1，则输出的S（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

x2y229.若双曲线C:221（a0，b0）的一条渐近线被圆x2y24所截得的弦长为2，则Cab

2

的离心率为（ ）

A．2 B．3 C．2 D．23 310.已知直三棱柱C11C1中，C120o，2，CCC11，则异面直线1与C1所成角的余弦值为（ ） A．331510 B． C． D． 23552x1`11.若x2是函数f(x)(xax1)e的极值点，则f(x)的极小值为（ ）

A.1 B.2e3 C.5e3 D.1

uuuruuuruuur12.已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA(PBPC)的最小值是（ ）

A.2 B.34 C.  D.1 23二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的二等品件数，则D ． 14.函数fxsin2x3cosx3（x0,）的最大值是 ． 4215.等差数列an的前n项和为Sn，a33，S410，则

21 ． Sk1kn16.已知F是抛物线C:y8x的焦点，是C上一点，F的延长线交y轴于点．若为F的中点，则F ．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17.（12分）

ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知sin(AC)2sin2（1）求cosB；

（2）若ac6，ABC的面积为2，求b．

B， 23

18.（12分）

淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比学|科网，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：

（1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产

量不低于50kg,估计A的概率；

（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

旧养殖法 新养殖法

（3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）

P（k 2箱产量＜50kg 箱产量≥50kg ） 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 n(adbc)2K

(ab)(cd)(ac)(bd)

19.（12分）

如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，

ABBC1AD,BADABC90o, E是PD的中点. 2（1）证明：直线CE// 平面PAB

（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为45o ，求二面角M-AB-D的余弦值

20. （12分）

uuuruuuurx22设O为坐标原点，动点M在椭圆C：y1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP2NM.

2(1) 求点P的轨迹方程；

4

uuuruuur设点Q在直线x=-3上，且OPPQ1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

21.（12分）

已知函数fxaxaxxlnx，且fx0。

2(1)求a；

(2)证明：fx存在唯一的极大值点x0，且e

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为

2fx022.

cos4．

（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM||OP|16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

（2）设点A的极坐标为(2,3)，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值．

23.[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知a0,b0,ab2，证明： （1）(ab)(ab)4； （2）ab2．

绝密★启用前

55332020年普通高等学校招生全国统一考试

课标II理科数学

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效

5

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.

3i（ ） 1iA．12i B．12i C．2i D．2i 【答案】D

2.设集合1,2,4，xx4xm0．若I1，则（ ）

2A．1,3 B．1,0 C．1,3 D．1,5 【答案】C

【解析】由I1得1B，所以m3，B1,3，故选C。

3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）

A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 【答案】B

【解析】塔的顶层共有灯x盏，则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列，由故选B。

x12712381可得x3，

4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，学 科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）

B． 90 B．63 C．42 D．36

6

4.【答案】B

【解析】由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为

1V32632463，故选B.

22x3y305.设x，y满足约束条件2x3y30，则z2xy的最小值是（ ）

y30A．15 B．9 C．1 D．9 【答案】A

6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 【答案】D

222【解析】C3C4A236 ,故选D。

7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，

7

我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，学 科&网给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）

A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 【答案】D

8.执行右面的程序框图，如果输入的a1，则输出的S（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【解析】S01234563 ,故选B.

x2y229.若双曲线C:221（a0，b0）的一条渐近线被圆x2y24所截得的弦长为2，则Cab的离心率为（ ）

A．2 B．3 C．2 D．【答案】A

【解析】圆心到渐近线bxay0 距离为213 ，所以

223 32b3c2ae2，故选A. co10.已知直三棱柱C11C1中，C120，2，CCC11，则异面直线1与C1所

成角的余弦值为（ ）

8

A．331510 B． C． D． 2355【答案】C

11.若x2是函数f(x)(xax1)e2x1`的极值点，则f(x)的极小值为（ ）

A.1 B.2e3 C.5e3 D.1 【答案】A

【解析】由题可得f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1[x2(a2)xa1]ex1

2x1因为f(2)0，所以a1，f(x)(xx1)e，故f(x)(xx2)e2x1

令f(x)0，解得x2或x1，所以f(x)在(,2),(1,)单调递增，在(2,1)单调递减 所以f(x)极小值f(1)(111)e111，故选A。

uuuruuuruuur12.已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA(PBPC)的最小值是（ ）

A.2 B.【答案】B

34 C.  D.1 23

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的二等

9

品件数，则D ． 【答案】1.96

【解析】X~B100,0.02，所以DXnp1p1000.020.981.96. 14.函数fxsin2x3cosx【答案】1

【解析】fx1cos2x3cosx23（x0,）的最大值是 ． 4231cos2x3cosx 4433cosx1cosxx0,，，那么，当时，函数取得最大值1. cosx0,122215.等差数列an的前n项和为Sn，a33，S410，则

Sk1n1k ．

【答案】

2n n1a12d3a11【解析】设等差数列的首项为a1，公差为d，所以 ，解得 ，所以434a1d10d12ann,Snnn1n1211，那么 ，那么 22Snnn1nn11111112n1 . 21......21nn1n1n1k1Sk22316.已知F是抛物线C:y8x的焦点，是C上一点，F的延长线交y轴于点．若为F的中点，则F ． 【答案】6

2

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

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（一）必考题：共60分。 17.（12分）

ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知sin(AC)2sin2（1）求cosB；

（2）若ac6，ABC的面积为2，求b． 【答案】（1）cosBB， 215（2）2 17【解析】试题分析：利用三角形内角和定理可知ACB，再利用诱导公式化简sin(AC)，利用降幂公式化简sin2B，结合sin2Bcos2B1求出cosB；利用（1）中结论B900，利用勾股定理和面积2公式求出ac、ac，从而求出b．

试题解析：（1）由题设及ABC得sinB8sin2上式两边平方，整理得 17cos2B-32cosB+15=0 解得 cosB=1（舍去），cosB=（2）由cosB=2，故sinB（ 41-cosB）15 1715814得sinB，故SABCacsinBac 171721717又SABC=2，则ac由余弦定理及ac6得

2b2a2c22accosB2（a+c）2ac(1cosB)1715362(1)2174所以b=2

【点睛】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意ac,ac,ac三者的关系，这样的题目小而活，备受老师和学生的欢迎． 18.（12分）

淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比学|科网，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：

11

22

（4） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产

量不低于50kg,估计A的概率；

（5） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

旧养殖法 新养殖法

（6） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）

P（k 2箱产量＜50kg 箱产量≥50kg ） 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 n(adbc)2K

(ab)(cd)(ac)(bd)

（2）

旧养殖法 新养殖法 K250kg 50kg 62 38 34 66 200(62663438)15.70510.828

10010096104有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关。 （3）第50个网箱落入“50:55”这组；

12

取平均值52.50即为中位数的估计值。 19.（12分）

如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，

ABBC12AD,BADABC90o, E是PD的中点. （1）证明：直线CE// 平面PAB

（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为45o ，求二面角M-AB-D的余弦值

（2）取AD中点O，连PO，由于△PAD为正三角形 ∴POAD

又∵平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD ∴PO平面ABCD，连OC，四边形ABCD为正方形。 ∵PO平面POC，∴平面POC平面ABCD 而平面POCI平面ABCDOC

过M作MHOG，垂足为H，∴MH平面ABCD ∴MBH为MB与平面ABCD所成角，MBH45 ∴MHBH

13

在△PCO中，MH∥PO，∴

MHCH， POCO3a，COa

设ABBCa，AD2a，PO∴MHCH，∴MH3CH

a3a在Rt△BCH中，BH2BC2CH2，∴3CH2a2CH2 ∴CH226a a，MHa，OHa222以O为坐标原点，OC、OD、OP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，M(a26a,0,a)，22A(0,a,0)，B(a,a,0)，

uuuruuur26MA(aa,a,a)，AB(a,0,0)

22uuur66a0，∴y设平面MAB的法向量为n(0,y,1)，nMAay 22∴n(0,6,1)，而平面ABCD的法向量为k(0,0,1) 2设二面角MABD的大角为（为锐角） ∴cos|cosn,k||110。 |5611420. （12分）

uuuruuuurx22设O为坐标原点，动点M在椭圆C：y1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP2NM.

2(2) 求点P的轨迹方程；

uuuruuur设点Q在直线x=-3上，且OPPQ1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

【解析】（1）设P(x,y)，M(x,y)，N(x,0)

uuuruuuurNP2NM

(xx,y)2(0,y)

14

即xx0xxy2yyy

2代入椭圆方程x2y221，得到x2y22 ∴点P的轨迹方程x2y22。

∴过P与直线OQ垂直的直线为：yy31yxx1 2当x1时，yy13y1x1 2y3x113y 2y2y3x131y 2y2y1y23x1y3

2y2①代入得y0

∴过P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。

21.（12分）

已知函数fxax2axxlnx，且fx0。

(1)求a；

(2)证明：fx存在唯一的极大值点x220，且efx02.

【解析】

（1）fx的定义域为0，+ 设gx=ax-a-lnx，则fx=xgx,fx0等价于gx0 因为g1=0，gx0,故g'1=0,而g'xa1x,g'1=a1,得a1

15

若a=1，则g'x=11.当0＜x＜1时，g'x＜0,gx单调递减；当x＞1时，g'x＞0，gx单调递x增.所以x=1是gx的极小值点，故gxg1=0 综上，a=1

又he2＞0,h＜0,h10，所以hx在0,有唯一零点x0，在,+有唯一零点1，且当

121212x0,x0时，hx＞0；当xx0,1时，hx＜0，当x1,+时，hx＞0.

因为f'xhx，所以x=x0是f(x)的唯一极大值点 由f'x00得lnx02(x01),故fx0=x0(1x0) 由x00,1得f'x0＜1 4因为x=x0是f(x)在（0,1）的最大值点，由e10,1,f'e10得

fx0＞fe1e2

所以e2＜fx0＜2-2

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为

cos4．

（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM||OP|16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

（2）设点A的极坐标为(2,【解析】

（2）设点B的极坐标为B，3)，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值．

＞0,由题设知

BOA=2，B=4cos,于是△OAB面积

16

S=12OAgBgsinAOB4cosgsin33

2sin23223当=-12时，S取得最大值2+3所以△OAB面积的最大值为2+3

23.[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知a0,b0,a3b32，证明： （1）(ab)(a5b5)4； （2）ab2． 【解析】（1）

aba5b5a6ab5a5bb6a3b322a3b3aba4b44aba2b224（2）因为

ab3a33a2b3ab2b323aba+b2

2+3a+b4a+b23a+b34所以a+b38，因此a+b≤2.

17