用椭圆极坐标方程来探究几道解析几何压轴题

２０１４年第３期　河北理科教学研究　考试指导　用椭圆极坐标方程来探究　几道解析几何压轴题　云南省大理州漾濞县第一中学秦庆雄范花妹６７２５００　高中数学新课程标准又把《坐标系与参　ＰＦ１＋ＰＦ２是定值．　数方程》列入了选修系列４—４，使得极坐标　这一传统教学内容又回到了高中数学之中，　为说明极坐标在解题中的应用，本文现应用　２　．．解：（１）椭圆的方程为专＋Ｙ　＝１（过程　略）．（２）（ｉ）不妨设　ＡＦ　＝０，以Ｆ　为极　点，　轴正方向的射线Ｆ　为极轴建立极坐　２　椭圆　＋　＝１（口＞ｂ＞０）的极坐标方程：　ａ　ｏ　标系，于是有Ｐ　＝Ｆ　Ａ＝　１０＝　（其中极点为左焦点，ｅ为离心　率，Ｐ为焦点到相应准线的距离），来简捷解　决近几年高考中的几道解析几何压轴题并顺　势获得它们的有趣推广．供高中数学教师教　学阅读参考，望能引起重视．　例１（２０１２　年高考江苏理科　第ｌ９题）如图１，　ｙ　．（其中ｅ　为离心率，Ｐ为焦点到相应准线的距离）．延　长ＡＦ　交椭圆于Ｂ　，　则Ｂ　Ｆ。＝　—１　—一ｅｃｏｓ（７ｒ＋０）一１＋ｅｃｏｓ０‘　”　—　——　：—　～．由椭圆的对称性和ＡＦ　／／ＢＦ：知ＢＦ　＝Ｂ　Ｆ。：　由Ｆ　—Ｆ２　Ｂ＝　一　在平面直角坐标　系ｘＯｖ中，椭圆　２　２　＝　２，得　一　＝　２．将ｅ＝　２，ｐ：专２一。：１代入上式并化简，得　。　图１　１＋　¨　Ｕ　：１＝　１（ａ＞　＞　＝　３，从而ｔ舢＝　ｓｉｎ０ＣＯＳ＝　＝　ｂ＞０）的左、右焦　Ｃ０Ｓ　点分别为Ｆ　（一Ｃ，０），Ｆ　（ｃ，０）．已知（１，ｅ）　．所以，直线　Ｆ　的斜率为　．　（ｉｉ）因为ＡＦ　／／ＦＢ：，故△　一　和（ｅ，　）都在椭圆上，其中ｅ为椭圆的离　心率．（１）求椭圆的方程；（２）设Ａ，Ｂ是椭圆　上位于　轴上方的两点，且直线ＡＦ　与直线　ＢＦ　平行，ＡＦ２与ＢＦ　交于点Ｐ．（ｉ）若　Ｆ　—ＡＦ２朋，所以　：铬：　ＡＰ．　由比例的性质，　得　ＰＦ　＝　ＢＦ：：　，求直线ＡＦ　的斜率；（ｉｉ）求证：　ＡＦ１＋ＢＦ　ＢＦ２　ＰＦｌ＋ＰＢ’　：　一　Ｆ　Ｐ　・　＇　５３　・　２０１４年第３期　河北理科教学研究　考试指导　ＰＦｌ　ＡＦ１（ＰＦ１＋朋）　Ｆ１　Ａ・Ｆ１　Ｂ　—　ＡＦ１＋ＢＦ２　一ＡＦ１＋ＢＦ２’　ＰＦ２　ＢＦ２（ＡＰ＋Ｆ２　Ｐ）　Ｆ２　Ｂ・Ｆ２　Ａ　—　ＡＦ１＋ＢＦ２　一ＡＦ１＋ＢＦ２’　于　是　ＰＦ１　＋　ＰＦ２　＝　Ｆ　Ａ・Ｆ　Ｂ＋Ｆ２Ｂ・Ｆ２　Ａ　ＡＦ１＋ＢＦ２　一　Ｆ１　Ａ・（２ｎ—Ｆ２　Ｂ）＋Ｆ２　Ｂ・（２ａ—Ｆ１　Ａ）　ＡＦ１＋ＢＦ２　２ａ（ＡＦ１＋　Ｆ２）一２Ｆ１　Ａ・Ｆ２　Ｂ　，、　————　１　■——一　一　２　］广—＿ｒ　＝２ａ一　＾　『＿　—ＢＦ２＋　＋　ｅｐ　ｅｐ　＝２ａ一印，即ＰＦ１＋ＰＦ２＝２ａ—ｅｐ．　将　：　，口：　２一　：　Ｃ　Ｃ　代入上式，　得　ｚ　一等＝２　一　１＝警　为定值．　由上述解答过程知，很容易将该高考题　第（２）问的（ｉｉ）推广如下：　命题１　已知Ａ，Ｂ为椭圆　＋卫Ｌ２：　１（０＞６＞０）上位于　轴上方的两点，且　Ａ，　∥日，：，ＡＦ：与ＢＦ　交于点Ｐ，则有ＰＦ。　＋ＰＦ，：２０一　．　例２（２０１０年高考辽宁卷理科第２０　ＪＮ）设椭圆Ｃ：　＋　：１（０＞６＞０）的左　焦点为Ｆ，过点Ｆ的直线与椭圆交于Ａ、Ｂ两　点，直线ｚ的倾斜角为６Ｏ。，一ＡＦ：２一ＦＢ．（１）　求椭圆离心率；（２）如果Ｉ　ＡＢ　ｌ：　，求椭圆　Ｃ的方程．　解：（１）以左焦点Ｆ为极点，　轴正方向　的射线　为极轴建立极坐标系，则椭圆　・５４・　＋　Ｖ　１（口＞ｂ＞０）的极坐标方程为ｐ＝　（ｅ为离心率，Ｐ为焦点到相应准线　的距离）．于是有Ｉ　Ｉ＝　ｅｐｃ　，　ＩＦＢ　一　一１一ｅｅｏ￥（１８０。＋６０。）　＝　１一　　ｅｃｏｓ６０．由　Ｊ－　。‘　Ａ　＝　Ｆ：２一ＦＢ，得　，得Ｉ　ＦＡ　Ｉ＝２　ｌ朋Ｉ，即　—二－　１　ｅｅｏｓ６０　。＝２一　’—１＿　Ｊ＿　ｅｃｏｓ６０，。，，¨解之，得ｅ＝　　，ｌｑ　一　一　了２．所以，椭圆离心率为号．　（２）由Ｉ　ＦＡ　，Ｉ　ＦＢ　Ｊ＝　，得Ｉ　ＡＢ　Ｉ＝Ｉ　ＡＦ｛＋Ｉ　ＦＢ　Ｉ＝　旦ｅｃｏ　ｓ６０１一　ｏ。＋　１　旦ｅｃｏ　ｓ６０Ｏ一　＝　１　ｅ２ｃｏｓ２６０￣＝　一　一　：　，将ｐ：　一ｃ：譬和－ＡＢ・　一　：　１５代入上式斗　，得譬：Ｃ　　５．联立　ｒ　ｂ　５　｛ｌｆ　詈：口　一　３　ｃ一２　２　，　解之得｛Ｌ‘＝　　ｂ　５：．所以，椭圆　【ｃｚ＝。ｚ一６ｚ　Ｃ的方程为等＋号＝１．由上述解答过程知，　很容易将该高考题的第（１）问推广为如下：　命题２　设Ｆ是椭圆　十　＝１（口＞　Ｄ　６＞０）或双曲线　一卫Ｌ２＝１（口＞ｂ＞０）的　ａ　￡，　左焦点，过Ｆ且倾斜角为０的直线交椭圆或　双曲线于Ａ、Ｂ两点，若　：　商，且离心率　为ｅ，则有ｅ…ｓ　＝　．　例３（２００７年高考伞国Ｔ卷瑚科第２１　２０１４年第３期　河北理科教学研究　－Ａｃ　肋－＝　・　考试指导　・　题）已知椭圆　＋号＝１的左、右焦点分别　为Ｆ。，　．过，。的直线交椭圆于Ｂ，Ｄ两点，　过Ｆ：的直线交椭圆于Ａ，ｃ两点，且Ａｃ上　ＢＤ，垂足为Ｐ．（工）设Ｐ点的坐标为（　。，　—一　！：卫：　一　１一ｅ２ｓｉｎ。０　—　１一ｅ２＋ｅ４ｓｉｎ　０ｃｏｓ２　０　一　—　１　一，、令　：ｓｉ‘　一　ｎ２０（０≤　≤　，），。），证明：　ＸＯ＋　ｙｏ＜１；（Ⅱ）求四边形　ＡＢＣＤ的面积的最小值．　解：（Ｉ）椭圆的半焦距ｃ：￣／广　＝　１，由ＡＣ上ＢＤ知点Ｐ在以线段Ｆ。Ｆ：为直径　的圆上，故　。２＋ｙ２。＝１，所以等＋　ｙｏ≤　ＮＯ＋　ｙｏ１：　＜１．　（Ⅱ）以Ｆ　为极点，　轴正方向的射线　Ｆ。　为极轴建立极坐标系，则椭圆ｘ＋　＝　０　Ｄ　１（ａ＞ｂ＞０）的极坐标方程为Ｐ＝　ｌ—ｅｃｏＳ　旦＿　（ｅ为离心率，Ｐ为焦点到相应准线　的距离）．不妨设　ＡＦ　＝ｏ（ｏ。≤臼≤　９Ｏ。），由ＡＣ上ＢＤ，得　ＢＦ　＝　＋９０。，　ＣＦｌ　＝０＋１８０￣，　ＤＦ１　＝臼＋２７０。．从　而ｌ　ＡＦ　Ｉ＝　ｌ一　ｅｃｏｓ，　Ｉ　ＢＦ　ｌ＝　分　，　ＣＦ１　ｌ＝　ＤＦ　Ｉ＝　Ｉ　ＡＣ　Ｉ＝ｌ　…Ｆ　Ｃ　ｌ＝　＋　十　１　一ｅｃｏｓ（　＋　０　１而８０　。）一　一　　＝　１　ｅ２　ｓｃｏ　２　０　，Ｉ’。　　ＢＤｌ。　　＝Ｉ　ＢＦ　…Ｆｌ　Ｄ　ｌ＝　＋　１　ｅｃ０ｓ（０　２丽７０＝　１　ｅ２　ｉ—ｎ２　０，于是．一＋　。）一　一　ｓ　’　ｓ＝　一　１一ｅ　＋寺ｅ　ｓｉｎ　２０　１），则Ｓ：——垒　②．注意到②式　１一ｅ２＋　ｅ　在［ｏ，１］上单调递减，及ｅ＝詈，ｐ＝　Ｃ，故　当　：１时，四边形ＡＢＣＤ的面积最小，最小　值为　；当　＝０时，四边形Ａ　ｃＤ　的面积最大，最大值为２６　．当ａ　＝３，ｂ　＝２　时，四边形ＡＢＣＤ的面积的最小值和最大值　分别为　和４．综上，四边形ＡＢＣＤ的面积的　最小值为　９６．　由上述解答过程知，很容易将该高考题　的第（Ⅱ）问推广如下：　命题３　已知椭圆ｘ＋　＝１（口＞ｂ＞　０）的左、右焦点分别为Ｆ　，Ｆ：．过Ｆ　的直线　交椭圆于Ｂ，Ｄ两点，过Ｆ　的直线交椭圆于　Ａ，Ｃ两点，且ＡＣ上ＢＤ，垂足为Ｐ，则四边　形ＡＢＣＤ面积的最小值和最大值分别为　和２　例４（２００７　Ｌ　年高考重庆卷理　科第２２题）如图　＝＝二　ｔ　２，中心在原点Ｄ　Ｐ　的椭圆的右焦点　为ｒ（３，０），右准　图２　线Ｚ的方程为：　－　５５　・　２０１４年第３期　＝河北理科教学研究　考试指导　三个不同点Ｐ　，Ｐ：，Ｐ，，使　Ｐ　ＦＰ　：　３一　ｃ础＋ｃｏｓ（　＋　）＋ｃ。ｓ（　＋萼）］　ｌ２．（１）求椭圆的方程；（Ⅱ）在椭圆上任取　Ｐ　ＦＰ　＝　Ｐ，ＦＰ　・证明：丽１　＋　＋　为定值，并求此定值．　解：（１）椭圆的方程为　＋　＝１（过程　略）．（Ⅱ）如图３，　一　以Ｆ为极点，　轴　正方向的射线　为极轴建立极坐　２　标系，则椭圆　＋　～　一＝　３一印　县　，　图３　旦０　一＝ｅ　　　ａ　Ｖ　６　一　１（ａ＞ｂ＞０）的极坐标方程为ｐ＝　ｒ　（ｅ为离心率，Ｐ为焦点到相应准线　的距离）．不妨设　Ｐ　Ｆｘ＝０，则　Ｐ　ＦＰ　＝　十　，　Ｐ　ＦＰ，＝　十警．从而，ｌ　ｌ　—１　一旦　一一ｅｃｏｓＯ’。，Ｉ　ＦＰ　ｌ：　２。一　１　／ｎ　２７ｔ＂、’　一　。　（　＋了）　Ｉ１＿　ｅ一　（蠡ｃｏｓ　　０　４－－＇ｔ／ｔ．）　于是南Ｊ】。　＋　ｌ　１　ｌ—ｅｃｏｓＯ　＋丽　—　一＋　１　一　。　Ｌ∥＋了　，凸　２７ｒ、　１一　。。　（　＋　）　ｊ　＋　ｅｐ　ｅｐ　・５６・　ｅ１）　３一　［ｃｏｓＯ＋２ｃｏｓ（　＋丌）ｃｏＳ（一　————　————一　可可＋１＋南　＋　南＝　．’将　椅　ｂ２：一，＿２　Ｐ　１，　：　一２７Ｃ一。　一ｃ：一：　了　：９代ｌ　入得　＋南＋南＝；．　由上述解答过程知，很容易将该高考题　的第（Ⅱ）问推广如下：　命题４　在椭圆ｘ＋　：１（０＞ｂ＞　０）上任取１２，（ｎ≥２）个不同的点Ｐ　，Ｐ　，…，　Ｐ　，使　Ｐｌ　ＦＰ２＝　Ｐ２　ＦＰ３＝…　Ｐ　ＦＰ　＝　Ｐｎ　－，Ｆ为椭圆的焦点，则有高　】　１　１　＋Ｔ—可＋…＋Ｔ—　二＿　＋Ｔ—　０　‘　极坐标系作为研究解析几何的一种重要　方法和有力工具，避免了直角坐标系中的复　杂计算，为我们研究问题，解决问题带来了　方便．