永川区高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

永川区高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 设函数的集合

，平面上点的集合

，则在同一直角坐标系中，P中函数

的图象恰好经过Q中

两个点的函数的个数是 A4 B6 C8 D10

2． 若cos（A．

﹣α）=，则cos（

D．﹣

+α）的值是（ ）

B．﹣ C．

3． 已知函数f(x)2alnxx22x（aR）在定义域上为单调递增函数，则的最小值是（ ） A．

11 B． C． D． 42

B．256个 ，则f（2）=（ ） C．2

D．

P是抛物线C上一点， 的焦点，若|PF|=4，则△POF的面积为（ ）

C．128个

D．64个

4． 某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）．经过2个小时，这种细菌由1个可繁殖成（ ） A．512个 5． f（）=A．3

B．1

6． O为坐标原点，F为抛物线A．1

B．

C．

D．2

7． 将n2个正整数1、2、3、…、n2（n≥2）任意排成n行n列的数表．对于某一个数表，计算某行或某列中的任意两个数a、b（a＞b）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．当n=2时，数表的所有可能的“特征值”的最大值为（ ） A．

B．

C．2

D．3

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8． 已知e是自然对数的底数，函数f（x）=ex+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式中成立的是（ ）

A．a＜1＜b B．a＜b＜1 C．1＜a＜b D．b＜1＜a

9． 已知曲线C1：y=ex上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（ ） A．1

B．

C．e﹣1 D．e+1

210．方程x11y1表示的曲线是（ ）

A．一个圆 B． 两个半圆 C．两个圆 D．半圆 11．与圆C1：x+y﹣6x+4y+12=0，C2：x+y﹣14x﹣2y+14=0都相切的直线有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

12．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是 A、2865 B、3065 C、56125 D、 60125

2

2

2

2

二、填空题

13．抛物线y2=4x的焦点为F，过F且倾斜角等于为 ． 14．直线ax+

的直线与抛物线在x轴上方的曲线交于点A，则AF的长

by=1与圆x2+y2=1相交于A，B两点（其中a，b是实数），且△AOB是直角三角形（O是坐

标原点），则点P（a，b）与点（1，0）之间距离的最小值为 ． 15．等差数列{an}的前项和为Sn，若a3a7a116，则S13等于_________.

16．考察正三角形三边中点及3个顶点，从中任意选4个点，则这4个点顺次连成平行四边形的概率等于 ．

17．某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费用为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为__________元. 18．已知sincos1sincos，(0,)，则的值为 ．

73sin12三、解答题

19．（本小题满分12分）

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a、b、c，不等式x2cos C＋4xsin C＋6≥0对一切实数x恒

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成立.

（1）求cos C的取值范围；

（2）当∠C取最大值，且△ABC的周长为6时，求△ABC面积的最大值，并指出面积取最大值时△ABC的 形状.

【命题意图】考查三角不等式的求解以及运用基本不等式、余弦定理求三角形面积的最大值等.

20．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以160,180，180,200，200,220，

220,240，240,260，260,280，280,300分组的频率分布直方图如图．

（1）求直方图中的值；

（2）求月平均用电量的众数和中位数．

1111]

21．已知函数f（x）=|x﹣10|+|x﹣20|，且满足f（x）＜10a+10（a∈R）的解集不是空集． （Ⅰ）求实数a的取值集合A

abba

（Ⅱ）若b∈A，a≠b，求证ab＞ab．

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22．（本小题满分13分）

x2y2M，椭圆C:221(ab0)的左、右焦点分别为F直线l:xmy1经过点F1、F2，1与椭圆C交于点

ab2点M在x轴的上方．当m0时，|MF1|．

2（Ⅰ）求椭圆C的方程；

SMF1F2（Ⅱ）若点N是椭圆C上位于x轴上方的一点， MF1//NF2，且3，求直线l的方程．

SNF1F2

23．（本小题满分12分）在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD与CDEF均为正方形，CF平面ABCD，

BG平面ABCD，且AB2BG4BH．

（1）求证：平面AGH平面EFG； （2）求二面角DFGE的大小的余弦值．

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24．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于﹣．

（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；

（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

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永川区高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】B

【解析】本题考查了对数的计算、列举思想

a＝－时，不符；a＝0时，y＝log2x过点(，－1)，(1,0)，此时b＝0，b＝1符合； a＝时，y＝log2(x＋)过点(0，－1)，(，0)，此时b＝0，b＝1符合；

a＝1时，y＝log2(x＋1)过点(－，－1)，(0，0)，(1，1)，此时b＝－1，b＝1符合；共6个 2． 【答案】B 【解析】解：∵cos（∴cos（故选：B．

3． 【答案】A 【解析】

﹣α）=

，

﹣α）=﹣

．

+α）=﹣cos=﹣cos（

2x22x2a2试题分析：由题意知函数定义域为(0,)，f(x)，因为函数f(x)2alnxx2xx'2（aR）在定义域上为单调递增函数f(x)0在定义域上恒成立，转化为h(x)2x2x2a在(0,)恒

1成立，0,a，故选A. 1

4'考点：导数与函数的单调性． 4． 【答案】D

=6次，

【解析】解：经过2个小时，总共分裂了故选：D．

6

则经过2小时，这种细菌能由1个繁殖到2=64个．

【点评】本题考查数列的应用，考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．

5． 【答案】A

【解析】解：∵f（）=

，

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∴f（2）=f（）==3．

故选：A．

6． 【答案】C

【解析】解：由抛物线方程得准线方程为：y=﹣1，焦点F（0，1）， 又P为C上一点，|PF|=4， 可得yP=3，

代入抛物线方程得：|xP|=2∴S△POF=|0F|•|xP|=

．

，

故选：C．

7． 【答案】B

【解析】解：当n=2时，这4个数分别为1、2、3、4，排成了两行两列的数表， 当1、2同行或同列时，这个数表的“特征值”为； 当1、3同行或同列时，这个数表的特征值分别为或； 当1、4同行或同列时，这个数表的“特征值”为或， 故这些可能的“特征值”的最大值为． 故选：B．

【点评】题考查类比推理和归纳推理，属基础题．

8． 【答案】A

【解析】解：由f（x）=ex+x﹣2=0得ex=2﹣x， 由g（x）=lnx+x﹣2=0得lnx=2﹣x，

作出计算y=ex，y=lnx，y=2﹣x的图象如图：

∵函数f（x）=ex+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b， 由图象知a＜1＜b， 故选：A．

∴y=ex与y=2﹣x的交点的横坐标为a，y=lnx与y=2﹣x交点的横坐标为b，

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【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用函数转化为两个图象的交点问题，结合数形结合是解决本题的关键．

9． 【答案】C

∴0＜1+ln（x2﹣m）≤∴1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m， 令x2﹣m≤

，

【解析】解：当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：

，∴

．

=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，

∵lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．

xe

化为m≥x﹣e﹣，x＞m+．

令f（x）=x﹣e∴m≥e﹣1．

x﹣e

，则f′（x）=1﹣ex﹣e，可得x=e时，f（x）取得最大值．

故选：C．

10．【答案】A 【解析】

试题分析：由方程x11y1，两边平方得x1(1y1)，即(x1)(y1)1，所

222222以方程表示的轨迹为一个圆，故选A. 考点：曲线的方程. 11．【答案】C

【解析】

【分析】先求出两圆的圆心和半径，判断两个圆的位置关系，从而确定与它们都相切的直线条数．

2222

【解答】解：∵圆C1：x+y﹣6x+4y+12=0，C2：x+y﹣14x﹣2y+14=0的方程可化为，

；； ∴圆C1，C2的圆心分别为（3，﹣2），（7，1）；半径为r1=1，r2=6．

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∴两圆的圆心距

∴两个圆外切，

∴它们只有1条内公切线，2条外公切线． 故选C．

12．【答案】B

【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥， 所求表面积为三棱锥四个面的面积之和。 利用垂直关系和三角形面积公式，可得：

=r2﹣r1；

S底10,S后10,S右10,S左65，

因此该几何体表面积S3065，故选B．

二、填空题

13．【答案】 4 ．

【解析】解：由已知可得直线AF的方程为y=

（x﹣1），

2

联立直线与抛物线方程消元得：3x﹣10x+3=0，解之得：x1=3，x2=（据题意应舍去），

由抛物线定义可得：AF=x1+=3+1=4． 故答案为：4．

【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．

14．【答案】

．

【解析】解：∵△AOB是直角三角形（O是坐标原点）， ∴圆心到直线ax+即d=

=

by=1的距离d=，

，

22

整理得a+2b=2，

则点P（a，b）与点Q（1，0）之间距离d=∴点P（a，b）与点（1，0）之间距离的最小值为故答案为：

．

．

=≥，

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【点评】本题主要考查直线和圆的位置公式的应用以及两点间的距离公式，考查学生的计算能力．

15．【答案】26 【解析】

试题分析：由题意得，根据等差数列的性质，可得a3a7a113a76a72，由等差数列的求和

S1313(a1a13)13a726．

2 ．

=15种选法，

考点：等差数列的性质和等差数列的和． 16．【答案】

【解析】解：从等边三角形的三个顶点及三边中点中随机的选择4个，共有其中4个点构成平行四边形的选法有3个， ∴4个点构成平行四边形的概率P=故答案为：

．

=

．

【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，是基础题．确定基本事件的个数是关键．

17．【答案】2300 【解析】111]

x0y0试题分析：根据题意设租赁甲设备，乙设备，则，求目标函数Z200x300y的

5x6y5010x20y140最小值.作出可行域如图所示，从图中可以看出，直线在可行域上移动时，当直线的截距最小时，取最小值2300.

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1111]

考点：简单线性规划.

【方法点晴】本题是一道关于求实际问题中的最值的题目，可以采用线性规划的知识进行求解；细查题意，设甲种设备需要生产天，乙种设备需要生产y天，该公司所需租赁费为Z元，则Z200x300y，接下来列出满足条件的约束条件，结合目标函数，然后利用线性规划的应用，求出最优解，即可得出租赁费的最小值. 18．【答案】【解析】

17(62)

3sin267, sinsincoscossin41243434317sincos1747326sin12623, 故答案为

17(62).

3第 11 页，共 16 页

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考点：1、同角三角函数之间的关系；2、两角和的正弦公式.

三、解答题

19．【答案】 【

解

析

】

20．【答案】（１）x0.0075；（２）众数是230，中位数为224． 【解析】

试题分析：（１）利用频率之和为一可求得的值；（２）众数为最高小矩形底边中点的横坐标；中位数左边和右边的直方图的面积相等可求得中位数．1

试题解析：（1）由直方图的性质可得(0.0020.00950.0110.0125x0.0050.0025)201， ∴x0.0075．

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考点：频率分布直方图；中位数；众数． 21．【答案】

【解析】解（1）要使不等式|x﹣10|+|x﹣20|＜10a+10的解集不是空集， 则（|x﹣10|+|x﹣20|）min＜10a+10，

根据绝对值三角不等式得：|x﹣10|+|x﹣20|≥|（x﹣10）﹣（x﹣20）|=10， 即（|x﹣10|+|x﹣20|）min=10， 所以，10＜10a+10，解得a＞0，

所以，实数a的取值集合为A=（0，+∞）； （2）∵a，b∈（0，+∞）且a≠b， ∴不妨设a＞b＞0，则a﹣b＞0且＞1， 则

＞1恒成立，即

＞1，

abab

所以，a﹣＞b﹣，

bb

将该不等式两边同时乘以ab得，

aabb＞abba，即证．

【点评】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用和不等式的证明，涉及指数函数的性质，属于中档题．

22．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由直线l:xmy1经过点F1得c1，

b22当m0时，直线l与x轴垂直，|MF1|， a2c1x2a222Cy1． （4分） 由b解得，∴椭圆的方程为22b12a第 13 页，共 16 页

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（Ⅱ）设M(x1,y1),N(x2,y2)，y10,y20，由MF1//NF2知

SMF1F2SNF1F2|MF1|y13.

|NF2|y2xmy1m2(m21)222联立方程x，消去x得(m2)y2my10，解得y 22m2y12m2(m21)m2(m21)∴y1，同样可求得y2， （11分） 22m2m2m2(m21)m2(m21)y1

由，解得m1， 3得y13y2，∴3y2m22m22直线l的方程为xy10． （13分） 23．【答案】

【解析】【命题意图】本题主要考查空间直线与平面间的垂直关系、空间向量、二面角等基础知识，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力，以及转化的思想、方程思想．

∵GH平面AGH，∴平面AGH平面EFG．……………………………5分

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24．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）因为点B与A（﹣1，1）关于原点O对称，所以点B得坐标为（1，﹣1）． 设点P的坐标为（x，y）

22

化简得x+3y=4（x≠±1）．

22

故动点P轨迹方程为x+3y=4（x≠±1）

（Ⅱ）解：若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为（x0，y0） 则

．

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因为sin∠APB=sin∠MPN， 所以所以

=

．

22

即（3﹣x0）=|x0﹣1|，解得22

因为x0+3y0=4，所以

故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为

【点评】本题主要考查了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识，属于中档题．

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