射阳县第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

射阳县第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． “1＜m＜3”是“方程A．充分不必要条件 C．充要条件

+

=1表示椭圆”的（ ）

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

2． 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，.若

,f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为 A[B[C[D[

]

]

] ]

3． 下面的结构图，总经理的直接下属是（ ）

A．总工程师和专家办公室 B．开发部

C．总工程师、专家办公室和开发部 D．总工程师、专家办公室和所有七个部 ①f（0）f（1）＞0； ②f（0）f（1）＜0； ③f（0）f（3）＞0； ④f（0）f（3）＜0．

其中正确结论的序号是（ ）

4． 已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论：

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精选高中模拟试卷

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

，则||=（ ）

5． 已知平面向量与的夹角为，且||=1，|+2|=2

A．1 B． C．3 D．2

6． 函数f（x）=x3﹣3x2+5的单调减区间是（ ） A．（0，2） B．（0，3）

C．（0，1） D．（0，5）

1x2,x1,317． 若函数f(x)则函数yf(x)x的零点个数为（ ）

32lnx,x1,A．1 B．2 C．3 D．4 8． 已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为4cm，高为10cm，则一质点自点A出发，沿着三棱 柱的侧面，绕行两周到达点A1的最短路线的长为（ ）

A．16cm B．123cm C．243cm D．26cm

9． 已知a为常数，则使得A．a＞0 10．若函数fxB．a＜0

成立的一个充分而不必要条件是（ ）

C．a＞e

D．a＜e

1cosxsinxcosxsinx3asinxcosx4a1x在2，0上单调递增，则实数的2取值范围为（ ）

111 A．， B．1，

771C.(， D．[1，) ][1，)

711．函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x0）=0：q：x=x0是f（x）的极值点，则（ ）

A．p是q的充分必要条件

B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

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D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

12．已知抛物线C：y28x的焦点为F，P是抛物线C的准线上的一点，且P的纵坐标为正数，

Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若PQ2QF，则直线PF的方程为（ ）

A．xy20 B．xy20 C．xy20 D．xy20

二、填空题

13．抛物线y2=8x上一点P到焦点的距离为10，则P点的横坐标为 ． 14．设函数

，其中[x]表示不超过x的最大整数．若方程f（x）=ax有三个不同

的实数根，则实数a的取值范围是 ．

15．抛物线y2=4x的焦点为F，过F且倾斜角等于为 ．

的直线与抛物线在x轴上方的曲线交于点A，则AF的长

16．在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ=sinθ与ρcosθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为 ． 17．在极坐标系中，O是极点，设点A，B的极坐标分别是（2的距离是 ．

18．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：

甲说：“我们四人都没考好．” 乙说：“我们四人中有人考的好．” 丙说：“乙和丁至少有一人没考好．” 丁说：“我没考好．”

结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的 两人说对了．

，

），（3，

），则O点到直线AB

三、解答题

19．已知直线l：x﹣y+9=0，椭圆E：

+

=1，

（1）过点M（，）且被M点平分的弦所在直线的方程；

（2）P是椭圆E上的一点，F1、F2是椭圆E的两个焦点，当P在何位置时，∠F1PF2最大，并说明理由；

（3）求与椭圆E有公共焦点，与直线l有公共点，且长轴长最小的椭圆方程．

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20．设函数f（x）=kx2+2x（k为实常数）为奇函数，函数g（x）=af（x）﹣1（a＞0且a≠1）． （Ⅰ）求k的值； （Ⅲ）当

21．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：

[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]（Ⅰ）求图中x的值，并估计该班期中考试数学成绩的众数；

（Ⅱ）从成绩不低于90分的学生和成绩低于50分的学生中随机选取2人，求这2人成绩均不低于90分的概率．

2

（Ⅱ）求g（x）在[﹣1，2]上的最大值；

时，g（x）≤t﹣2mt+1对所有的x∈[﹣1，1]及m∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

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22．已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）．

（1）当a=时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值； （x）为f1（x），f2（x）的“活动函数”．已知函数

+2ax．若在区间（1，+∞）上，函数f（x）

是f1（x），f2（x）的“活动函数”，求a的取值范围．

23．如图，在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，PC⊥面ABCD，E，F是PA和AB的中点． （1）求证：EF∥平面PBC； （2）求E到平面PBC的距离．

（2）如果函数g（x），f1（x），f2（x），在公共定义域D上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就称g

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24．已知二阶矩阵M有特征值λ1=4及属于特征值4的一个特征向量﹣1的一个特征向量（Ⅰ）求矩阵M；

5（Ⅱ）求M

=并有特征值λ2=﹣1及属于特征值

=， =

．

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射阳县第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】B

【解析】解：若方程

+

=1表示椭圆，

则满足，即，

即1＜m＜3且m≠2，此时1＜m＜3成立，即必要性成立， 当m=2时，满足1＜m＜3，但此时方程分性不成立 故“1＜m＜3”是“方程故选：B

+

+

=1表示椭圆”的必要不充分条件，

=1等价为

为圆，不是椭圆，不满足条件．即充

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆的定义和方程是解决本题的关键．

2． 【答案】B 【解析】当x≥0时，

f（x）=，

由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2； 当a2＜x＜2a2时，f（x）=﹣a2；

由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2。 ∴当x＞0时，

∵函数f（x）为奇函数， ∴当x＜0时，

。 。

∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x）， ∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：

。

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故实数a的取值范围是。

3． 【答案】C

【解析】解：按照结构图的表示一目了然， 就是总工程师、专家办公室和开发部． 故选C．

读结构图的顺序是按照从上到下，从左到右的顺序．

【点评】本题是一个已知结构图，通过解读各部分从而得到系统具有的功能，在解读时，要从大的部分读起， 一般而言，是从左到右，从上到下的过程解读．

4． 【答案】C

2

【解析】解：求导函数可得f′（x）=3x﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3）， ∵a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0． ∴a＜1＜b＜3＜c，

32

设f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）=x﹣（a+b+c）x+（ab+ac+bc）x﹣abc， 32

∵f（x）=x﹣6x+9x﹣abc，

∴a+b+c=6，ab+ac+bc=9， ∴b+c=6﹣a， ∴bc=9﹣a（6﹣a）＜

2

∴a﹣4a＜0，

，

∴0＜a＜4，

∴0＜a＜1＜b＜3＜c，

∴f（0）＜0，f（1）＞0，f（3）＜0， ∴f（0）f（1）＜0，f（0）f（3）＞0． 故选：C．

5． 【答案】D

2

【解析】解：由已知，|+2|=12，即

2

，所以||+4||||×+4=12，所以||=2；

故选D．

【点评】本题考查了向量的模的求法；一般的，要求向量的模，先求向量的平方．

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6． 【答案】A

32

【解析】解：∵f（x）=x﹣3x+5，

2

∴f′（x）=3x﹣6x，

令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2， 故选：A．

【点评】本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．

7． 【答案】D 【

解

析】

考点：函数的零点．

【易错点睛】函数零点个数的判断方法：（1）直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：要求函数在[a,b]上是连续的曲线，且f(a)f(b)0.还必须结合函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点．（3）图象法：先把所求函数分解为两个简单函数，再画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

8． 【答案】D 【解析】

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考

点：多面体的表面上最短距离问题．

【方法点晴】本题主要考查了多面体和旋转体的表面上的最短距离问题，其中解答中涉及到多面体与旋转体的侧面展开图的应用、直角三角形的勾股定理的应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，学生的空间想象能力、以及转化与化归思想的应用，试题属于基础题． 9． 【答案】C

即a＞1，对应的集合是（1，+∞）

【解析】解：由积分运算法则，得

=lnx

因此，不等式即

=lne﹣ln1=1

将此范围与各个选项加以比较，只有C项对应集合（e，+∞）是（1，+∞）的子集 ∴原不等式成立的一个充分而不必要条件是a＞e 故选：C

【点评】本题给出关于定积分的一个不等式，求使之成立的一个充分而不必要条件，着重考查了定积分计算公式和充要条件的判断等知识，属于基础题．

10．【答案】D 【

解

析】

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考

点：1、导数；2、单调性；3、函数与不等式.

11．【答案】C

【解析】解：函数f（x）=x的导数为f'（x）=3x，由f′（x0）=0，得x0=0，但此时函数f（x）单调递增，无

3

2

极值，充分性不成立．

根据极值的定义和性质，若x=x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=0成立，即必要性成立， 故p是q的必要条件，但不是q的充分条件， 故选：C

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键，比较基础．

12．【答案】B 【

解

析

】

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考点：抛物线的定义及性质．

【易错点睛】抛物线问题的三个注意事项：（1）求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置（或开口方向）判断是哪一种标准方程．（2）注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题．（3）直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行（或重合）时，直线与抛物线也只有一个交点．

二、填空题

13．【答案】 8 ．

2

【解析】解：∵抛物线y=8x=2px， ∴p=4，

由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的， ∴|MF|=x+=x+2=10， ∴x=8， 故答案为：8．

【点评】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解．

14．【答案】 （﹣1，﹣]∪[，） ．

【解析】解：当﹣2≤x＜﹣1时，[x]=﹣2，此时f（x）=x﹣[x]=x+2． 当﹣1≤x＜0时，[x]=﹣1，此时f（x）=x﹣[x]=x+1．

当0≤x＜1时，﹣1≤x﹣1＜0，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1+1=x． 当1≤x＜2时，0≤x﹣1＜1，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1．

当2≤x＜3时，1≤x﹣1＜2，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1﹣1=x﹣2．

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当3≤x＜4时，2≤x﹣1＜3，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1﹣2=x﹣3． 设g（x）=ax，则g（x）过定点（0，0），

坐标系中作出函数y=f（x）和g（x）的图象如图： 2个不同的交点， 则OA的斜率k=

当g（x）经过点A（﹣2，1），D（4，1）时有3个不同的交点，当经过点B（﹣1，1），C（3，1）时，有

，OB的斜率k=﹣1，OC的斜率k=，OD的斜率k=，

或

，

故满足条件的斜率k的取值范围是故答案为：（﹣1，﹣]∪[，）

【点评】本题主要考查函数交点个数的问题，利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解决本题的根据，利用数形结合是解决函数零点问题的基本思想．

15．【答案】 4 ．

【解析】解：由已知可得直线AF的方程为y=（x﹣1），

2

联立直线与抛物线方程消元得：3x﹣10x+3=0，解之得：x1=3，x2=（据题意应舍去），

由抛物线定义可得：AF=x1+=3+1=4． 故答案为：4．

【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．

16．【答案】 （1，2） ．

222

【解析】解：由2ρcosθ=sinθ，得：2ρcosθ=ρsinθ， 即y=2x．

2

由ρcosθ=1，得x=1．

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联立，解得：．

∴曲线C1与C2交点的直角坐标为（1，2）． 故答案为：（1，2）．

【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查了方程组的解法，是基础题．

17．【答案】

【解析】解：根据点A，B的极坐标分别是（2）、（﹣，故AB的斜率为﹣

），

，故直线AB的方程为 y﹣

=

，

=﹣

（x﹣3），即x+3

，

），（3，

．

），可得A、B的直角坐标分别是（3，

y﹣12=0，

所以O点到直线AB的距离是故答案为：

．

【点评】本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．

18．【答案】乙 ，丙

【解析】【解析】

甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确。故答案为：乙，丙。

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）设以点M（，）为中点的弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2）， ∴x1+x2=1，y1+y2=1，

把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆E：

+

=1，

得，∴kAB=

=﹣=﹣，

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∴直线AB的方程为y﹣=﹣（x﹣），即2x+8y﹣5=0． （2）设|PF1|=r1，|PF2|=r1， 则cos∠F1PF2=又r1r2≤（

=

22

）=a（当且仅当r1=r2时取等号）

﹣1=

﹣1=

﹣1，

∴当r1=r2=a，即P（0，（3）∵

=12，

）时，cos∠F1PF2最小，

=9． +

=1（a2＞9），

又∠F1PF2∈（0，π），∴当P为短轴端点时，∠F1PF2最大．

=3，∴

则由题意，设所求的椭圆方程为

22224

将y=x+9代入上述椭圆方程，消去y，得（2a﹣9）x+18ax+90a﹣a=0， 22224

依题意△=（18a）﹣4（2a﹣9）（90a﹣a）≥0， 22

化简得（a﹣45）（a﹣9）≥0， 22

∵a﹣9＞0，∴a≥45，

故所求的椭圆方程为=1．

【点评】本题考查直线方程、椭圆方程的求法，考查当P在何位置时，∠F1PF2最大的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、余弦定理、椭圆性质的合理运用．

20．【答案】

22

【解析】解：（Ⅰ）由f（﹣x）=﹣f（x）得 kx﹣2x=﹣kx﹣2x，

∴k=0．

fx2x2x

（Ⅱ）∵g（x）=a（）﹣1=a﹣1=（a）﹣1

①当a2＞1，即a＞1时，g（x）=（a2）x﹣1在[﹣1，2]上为增函数，∴g（x）最大值为g（2）=a4﹣1．

②当a2＜1，即0＜a＜1时，∴g（x）=（a2）x在[﹣1，2]上为减函数， ∴g（x）最大值为

．

∴

，

（Ⅲ）由（Ⅱ）得g（x）在x∈[﹣1，1]上的最大值为

22

∴1≤t﹣2mt+1即t﹣2mt≥0在[﹣1，1]上恒成立

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令h（m）=﹣2mt+t，∴

2

即

所以t∈（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[2，+∞）． 析解决问题的能力，属于中档题．

21．【答案】

【点评】本题考查函数的奇偶性，考查函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生分

【解析】解：（Ⅰ）由（0.006×3+0.01+0.054+x）×10=1，解得x=0.018，

前三组的人数分别为：（0.006×2+0.01+0.018）×10×50=20，第四组为0.054×10×50=27人，故数学成绩的众数落在第四组，故众数为75分．

（Ⅱ）分数在[40，50）、[90，100]的人数分别是3人，共6人， ∴这2人成绩均不低于90分的概率P=

=．

【点评】本题考查频率分布直方图及古典概型的问题，前者要熟练掌握直方图的基本性质和如何利用直方图求众数；后者往往和计数原理结合起来考查．

22．【答案】

【解析】解：（1）当

时，

，

；

对于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数， ∴

，

．

（2）在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，则f1（x）＜f（x）＜f2（x） 令

且h（x）=f1（x）﹣f（x）=∵1）若

，令p′（x）=0，得极值点x1=1，

，

＜0，对x∈（1，+∞）恒成立，

＜0对x∈（1，+∞）恒成立，

当x2＞x1=1，即

时，在（x2，+∞）上有p′（x）＞0，

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此时p（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p（x）∈（p（x2），+∞），不合题意；

当x2＜x1=1，即a≥1时，同理可知，p（x）在区间（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合题意； 2）若

，则有2a﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p′（x）＜0，

，

=

＜0，h（x）在（1，+∞）上为减函数，

从而p（x）在区间（1，+∞）上是减函数； 要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足所以

≤a≤．

又因为h′（x）=﹣x+2a﹣

h（x）＜h（1）=综合可知a的范围是[

+2a≤0，所以a≤

，]．

【点评】本题考查的知识点是利用导数求函数的最值，利用最值解决恒成立问题，二对于新定义题型关键是弄清新概念与旧知识点之间的联系即可，结合着我们已学的知识解决问题，这是高考考查的热点之一．

23．【答案】

【解析】（1）证明：∵AE=PE，AF=BF， ∴EF∥PB

又EF⊄平面PBC，PB⊂平面PBC， 故EF∥平面PBC；

（2）解：在面ABCD内作过F作FH⊥BC于H ∵PC⊥面ABCD，PC⊂面PBC ∴面PBC⊥面ABCD

又面PBC∩面ABCD=BC，FH⊥BC，FH⊂面ABCD∴FH⊥面PBC

又EF||平面PBC，故点E到平面PBC的距离等于点F到平面PBC的距离FH． 在直角三角形FBH中，∠FBC=60°，FB=，FH=FBsin∠FBC=故点E到平面PBC的距离等于点F到平面PBC的距离， 等于

a．

a，

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24．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）设M=则又

=4

==（﹣1）

，∴

=

① ，∴

；

②

由①②可得a=1，b=2，c=3，d=2，∴M=（Ⅱ）易知

5∴M

=0•+（﹣1）=

．

，

=（﹣1）6

【点评】本题考查矩阵的运算法则，考查学生的计算能力，比较基础．

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