二次函数概念及图像性质

要点一、函数的概念

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x，y，对于自变量x在某一范围内的每一个确定值，y都有惟一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数.

对于自变量x在可以取值范围内的一个确定的值a，函数y有惟一确定的对应值，这个对应值叫做当x=a时函数的值，简称函数值. 要点诠释：

对于函数的概念，应从以下几个方面去理解： （1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；

（2）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x允许取的每一个值，y是否都有惟一确定的值与它相对应；

（3）函数自变量的取值范围，应要使函数表达式有意义，在解决实际问题时，还必须考虑使实际问题有意义.

要点二、函数的三种表示方法

表示函数的方法，常见的有以下三种：

（1）解析法：用来表示函数关系的数学式子叫做函数的表达式，（或解析式），用数学式子表示函数的方法称为解析法.

（2）列表法：用一个表格表达函数关系的方法.

（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系的方法. 要点诠释：

函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.

对照表如下：

表示方法 列表法 解析式法 图象法 全面性 准确性 × ∨ × ∨ ∨ × 直观性 形象性 ∨ × ∨ × × ∨

要点二、二次函数的概念

一般地，形如y=ax2+bx+c（a, b, c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数.

若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式. 要点诠释：

如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．

要点三、二次函数的图象与性质

1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①

；②

；③

；④

，

其中；⑤.（以上式子a≠0）

几种特殊的二次函数的图象特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 ((轴) 轴) 顶点坐标 (0，0) (0，) (，0) (，) 当时 开口向上 当时 开口向下 2. 抛物线的三要素：

开口方向、对称轴、顶点.

(1)的符号决定抛物线的开口方向：当口向下；

() 时，开口向上；当时，开

相等，抛物线的开口大小、形状相同. 轴(或重合)的直线记作

.特别地，

轴记作直线

.

(2)平行于

3. 3.抛物线yax2bxc(a≠0)中，a,b,c的作用： (1)决定开口方向及开口大小，这与

中的完全一样.

的对称轴

(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线是直线

，

故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左

侧；③(即 、异号)时，对称轴在轴右侧.

(3)的大小决定抛物线 当

时，

，∴抛物线

与轴交点的位置. 与

轴有且只有一个交点(0，)：

，与

轴

①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③

交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在

.

4.用待定系数法求二次函数的解析式： (1)一般式：常选择一般式. (2)顶点式：点式. (可以看成

的图象平移后所对应的函数.)

、

轴右侧，则

（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通

（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶

(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标

要点诠释：

，通常选用交点式：

).

（a≠0）.(由此得根与系数的关系：

求抛物线yax2bxc（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和

运用．

【考点1 函数的概念】

【例1】如图所示，下列各曲线中表示y是x的函数的有( )．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【变式1】下列等式中，y是x的函数有（ ）个.

22 3x2y0,xy1,yx,y|x|,x|y|

A.1 B.2 C.3 D.4

【变式2】求出下列函数中自变量x的取值范围. （1）．yxx5

（4）．y

【考点2 二次函数的概念】

【方法点拨】二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 【例2】下列函数关系式中，y是x的二次函数是( ) A．yax2bxc C．y3x22x5

B．yx21 x2 （2）．y4x （3）．y2x3 2x3x 2x13 （5）．y12x （6）．yx3x2

D．y(3x2)(4x3)12x2

1x．其x2【变式1-1】已知函数：①yax2；①y3(x1)22；①y(x3)22x2；①y中，二次函数的个数为( ) A．1个

B．2个

|m|C．3个 D．4个

【变式1-2】已知函数y(m2)xA ．m2

【变式1-3】若y(m2)xmA．2

2mx1，其图象是抛物线， 则m的取值是( )

C ．m2

D ．m0

B ．m2

23x2是二次函数，则m等于( )

B．2 C．2 D．不能确定

【考点3 二次函数与一次函数图象】

【例3】在同一直角坐标系中yax2b与yaxb(a0,b0)图象大致为( )

A． B． C． D．

【变式2-1】在同一平面直角坐标系中，函数yax2bx与ybxa的图象可能是( )

A．

B． C． D．

【变式2-2】在同一直角坐标系中，一次函数yaxc和二次函数ya(xc)2的图象大致为( )

A．

B． C． D．

【变式2-3】如图，一次函数yx与二次函数yax2bxc图象相交于A、B两点，则函数yax2(b1)xc的图象可能是( )

A．

B． C． D．

【考点4 二次函数的增减性】

C(2,y3)是抛物线y(x1)k上的三点，【例3】设A(2,y1)，B(1,y2)，则y1，y2，

2y3的大小关系为( )

A．y1y2y3

B．y1y3y2

C．y2y3y1

D．y3y1y2

【变式3-1】已知二次函数yx27x15，若自变量x分别取x1，x2，x3，且20x1x2x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是( )

A ．y1y2y3

B ．y1y2y3

C ．y2y3y1

D ．y2y3y1

【变式3-2】已知抛物线yax2bxc(a0)过A(3,0)，B(1,0)，C(5,y1)，D(2,y2)四点，则y1与y2的大小关系是( ) A．y1y2

B．y1y2

C．y1y2

D．不能确定

【变式3-3】已知二次函数yax2bxc中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：

x   0 5 1 2 2 1 3 2   y 点A(x1，y1)、B(x2，y2)在函数的图象上，则当0x11，2x23时，y1与y2的大小关系正确的是( ) A．y1≥y2

【考点4 二次函数图象的平移】

【例4】抛物线y2x2经过平移得到y2(x1)23，平移方法是( ) A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位

B．y1＞y2

C．y1＜y2

D．y1≤y2

【变式4-1】已知抛物线yx24x3与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），顶点为平移该抛物线，使点M平移后的对应点M落在x轴上，点B平移后的对应点B落在yM．

轴上，则平移后的抛物线解析式为( ) A．yx22x1

B．yx22x1

C．yx22x1

D．yx22x1

【变式4-2】在平面直角坐标系中，如果抛物线y2x2不动，而把x轴、y轴分别向下、向右平移2个单位长度，那么在新坐标系下抛物线的解析式为( ) A．y2(x2)22 B．y2(x2)22

C．y2(x2)22 D．y2(x2)22

【变式4-3】将二次函数yx2bxc的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到二次函数yx22x1的图象，用b，c的值分别是( ) A．b14，c8

B．b2，c4

C．b8，c14 D．b4，c2

【考点5 二次函数的图象与a，b，c的关系】

【例5】已知二次函数的图象如下所示，下列5个结论：①abc0；①bac0；①，其中正确的结论有 4ac2b；①3ac0；①abm(amb)(m1的实数）

( )

A．①①①

B．①①①

C．①①①

D．①①①

【变式5-1】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②3b+2c＜0；③m（am+b）+b≤a；④（a+c）2＜b2；其中正确结论的个数有（ ）个．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4

【变式5-2】已知二次函数yax2bxc(a0)，过(1，y1)(2，y2)． ①若y10时，则abc0 ①若ab时，则y1y2

①若y10，y20，且ab0，则a0

①若b2a1，ca3，且y10，则抛物线的顶点一定在第三象限 上述四个判断正确的有( )个． A．1

B．2

C．3

D．4

【变式5-3】二次函数yax2bxc的部分图象如图所示，有以下结论：①3ab0；①b24ac0；①5a2bc0；①4b3c0，其中错误结论的个数是( )

A．1

B．2

C．3

D．4