2020年高考数学临考押题卷05(北京卷)(含解析)

数学（北京卷）

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的．

1．已知集合A{x|1x1}，B{1,0,2}，则AIB（ ） A．{1,0}

B．{1,0,1,2}

C．{1,1}

D．{0}

2．设复数z满足(z2i)(2i)5，则z （ ） A．23i

B．23i

C．32i

D．32i

3．设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的 A．充分而不必要条件 C．充分必要条件

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

1x2y24．若双曲线221(a0,b0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近

4ab线方程是（ ） A．x2y0

B．2xy0

C．x3y0

D．3xy0

5．在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，若acosBbcosA为（ ） A．3

B．

cacosAbcosB，则的最小值2acosB43 3C．

3 3D．

23 3

6．已知

blog1，clog2，则（ ）

a3，332B．bca

C．cba

D．bac

1211A．abc

7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A．6 B．4 C．3 D．2

8．已知点A(3,0),B(0,3)，若点P在曲线y1x2上运动，则△PAB面积的最小值为（ ） A．6

B．3

C．

932 22D．

932 229．将函数g(x)2cosx21的图象向右平移个单位长度，纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来44的2倍，得到函数f(x)的图象，则下列说法正确的是（ ） A．函数f(x)的最小正周期为 B．当xR时，函数f(x)为奇函数 C．x是函数f(x)的一条对称轴 D．函数f(x)在区间25,上的最小值为3

23410．定义在R上的函数fx导函数为f(x)，若对任意实数x，有f(x)f(x)，且fx2019为奇

x函数，则不等式f(x)2019e0的解集为（ ）

A．,0 B．0,

C．(,)

1eD．(,)

1e第Ⅱ卷

二、填空题：本题共5个小题，每小题5分，共25分．

vvvvvv11．已知a,b均为单位向量，若a2b3，则a与b的夹角为________.

12．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.

某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元．

ex,x013．若函数fx2，则函数yfx1的零点是___________.

x1,x0x214．已知抛物线y2px的焦点与双曲线y21的右顶点重合，则抛物线的焦点坐标为__________；

42准线方程为___________.

15．如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点，ABC90o，BABC，球心O到平面ABC的距离是32，则B、C两点的球面距离是______． 2

三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．已知在ABC中，a2，b①A2，同时还可能满足以下某些条件：

π；②BA；③sinBsinA；④c4. 4（1）直接写出所有可能满足的条件序号； （2）在（1）的条件下，求B及c的值.

17．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA平面CDP，M为线段PD的中点，且

PAPD2.

（1）求证：PB//平面ACM；

（2）求平面PAC与平面MAC所成锐二面角的余弦值.

18．某苗木基地常年供应多种规格的优质树苗.为更好地销售树苗，建设生态文明家乡和美好家园，基地积极主动地联系了甲、乙、丙三家公司，假定基地得到公司甲、乙、丙的购买合同的概率分别且基地是否得到三家公司的购买合同是相互独立的.

（1）若公司甲计划与基地签订300棵银杏实生苗的销售合同，每棵银杏实生苗的价格为90元，栽种后，每棵树苗当年的成活率都为0.9，对当年没有成活的树苗，第二年需再补种1棵.现公司甲为苗木基地提供了两种售后方案，

方案一：公司甲购买300棵银杏树苗后，基地需提供一年一次，共计两年的补种服务，且每次补种人工及运输费用平均为800元；

方案二：公司甲购买300棵银杏树苗后，基地一次性地多给公司甲60棵树苗，后期的移栽培育工作由公司甲自行负责.

若基地首次运送方案一的300棵树苗及方案二的360棵树苗的运费及栽种费用合计都为1600元，试估算两种方案下苗木基地的合同收益分别是多少？

（2）记为该基地得到三家公司购买合同的个数，若P(0)2p、、1p，31，求随机变量的分布列与数学期望12E().

2x2y219．已知椭圆C：221(ab0)经过定点E1,，其左右集点分别为F1，F2且

2abEF1EF222，过右焦F2且与坐标轴不垂直的直线l与椭圈交于P，Q两点.

（1）求椭圆C的方程：

（2）若O为坐标原点，在线段OF2上是否存在点M(m,0)，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.

20．设函数fxaecosx，其中aR．

x（Ⅰ）已知函数fx为偶函数，求a的值； （Ⅱ）若a1，证明：当x0时，fx2；

（Ⅲ）若fx在区间0,内有两个不同的零点，求a的取值范围．

21．已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1aa3，an1Sn3n，设bnSn3n，nN*. （Ⅰ）求证：数列bn是等比数列；

（Ⅱ）若an1an，nN*，求实数a的最小值；

3,n1e（Ⅲ）当a4时，给出一个新数列en，其中n，设这个新数列的前n项和为Cn，若Cn可

bn,n2以写成tp（t，pN且t1，p1）的形式，则称Cn为“指数型和”.问Cn中的项是否存在“指数型和”，

*若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由.

一、单选题

1．已知集合A{x|1x1}，B{1,0,2}，则AIB（ ） A．{1,0} 【答案】A

【解析】A{x|1x1}，B{1,0,2}，则AB{1,0}. 2．设复数z满足(z2i)(2i)5，则z （ ） A．23i 【答案】A

【解析】Q(z2i)(2i)5z2iB．23i

C．32i

D．32i

B．{1,0,1,2}

C．{1,1}

D．{0}

52iz23i 2i3．设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的 A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 【答案】C 【解析】

时，

,

对任意的恒成立，

，得

充分必要条件，故选C.

对任意的恒成立，从而

.从而“

”是“

为偶函数”的

为偶函数；

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

为偶函数时，

1x2y24．若双曲线221(a0,b0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近

4ab线方程是（ ） A．x2y0 【答案】C

B．2xy0

C．x3y0

D．3xy0

2cx2y2,c2b.因【解析】因为双曲线221(a0,b0)的一个焦点到一条渐近线的距离为b,所以b4abbx2y2此a3b.因为双曲线221(a0,b0)的渐近线方程为yx,所以该双曲线的渐近线方程是

aab

x3y0.

5．在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，若acosBbcosA为（ ） A．3 【答案】D

【解析】因为acosBbcosAB．

cacosAbcosB，则的最小值2acosB43 3C．

3 3D．

23 3c， 2所以2sinAcosB2sinBcosAsinC，

2sinAcosB2sinBcosAsinABsinAcosBcosAsinB，

sinAcosB3sinBcosA0，即

因为

sinA3cosA, sinBcosBacosA+bcosBcosAbcosAsinBcosAcosBcosAcosB23， =+2acosBcosBacosBsinAcosB3cosAcosB3cosA3acosA+bcosB23的最小值为，故选D。

acosB3所以

6．已知

a312，blog1311，clog2，则（ ） 23C．cba

D．bac

A．abc 【答案】A

B．bca

【解析】由指数函数，对数函数的性质，可知Qa3112，blog1311,0log11 223clog210，即abc，选A 37．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A．6 B．4 C．3 D．2

【答案】D

【解析】作出几何体的直观图如下图所示：

可知，该几何体为四棱锥PABCD，且底面ABCD为直角梯形，其面积为S12223，四棱锥PABCD的高为hPD2， 因此，该几何体的体积为V1PABCD3Sh13322. 8．已知点A(3,0),B(0,3)，若点P在曲线y1x2上运动，则△PAB面积的最小值为（ A．6 B．3

C．

92322 D．

92322 【答案】B

【解析】曲线y1x2表示以原点O为圆心，1为半径的下半圆(包括两个端点)，如图， 直线AB的方程为xy30，

可得|AB|32，由圆与直线的位置关系知P在(1,0)时，P到直线AB距离最短，即为

|103|22，

） 则△PAB的面积的最小值为故选：B.

13223. 2

9．将函数g(x)2cosx21的图象向右平移个单位长度，纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来44的2倍，得到函数f(x)的图象，则下列说法正确的是（ ） A．函数f(x)的最小正周期为 B．当xR时，函数f(x)为奇函数 C．x是函数f(x)的一条对称轴 D．函数f(x)在区间【答案】C

【解析】将函数g(x)2cosx225,上的最小值为3

2341cos2x的图象向右平移个单位长度， 424纵坐标不变，可得ycos2xcos2x， 42再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数f(x)cosx， 则函数f(x)的最小正周期T22，故A选项错误； 1当xR时，函数f(x)cosx为偶函数，故B选项错误； 函数f(x)cosx的对称轴为xkkZ，故C选项正确； 函数f(x)cosx在区间25,上的最小值为1，故D选项错误； 3410．定义在R上的函数fx导函数为f(x)，若对任意实数x，有f(x)f(x)，且fx2019为奇

函数，则不等式f(x)2019e0的解集为（ ） A．,0 【答案】B

【解析】由题意，构造新函数gxxB．0,

C．(,)

1eD．(,)

1efxfxfx，则， gxxxee因为f(x)f(x)，所以gx0，所以函数gx在R上单调递减， 又因为fx2019为奇函数，所以f020190， 所以f02019，则g02019，

所以不等式f(x)2019e0等价与gxg0，即x0，

x所以不等式f(x)2019e0的解集为0,，故选B.

x二、填空题

vvvvvv11．已知a,b均为单位向量，若a2b3，则a与b的夹角为________.

【答案】

rr【解析】由题意a2b 32rr2r2rrr2rr(a2b)a4ab4b14ab43，

rrrrrrrrrr1rr11ab，∴ababcosa,b，cosa,b，a,b．

2232故答案为：

． 312．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.

某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元． 【答案】1120

【解析】由题可知：折扣金额y元与购物总金额x元之间的解析式，

0，0＜x600600＜x1100 y0.05x600，0.1x110025，x＞1100∵y＝30＞25 ∴x＞1100

∴0.1（x﹣1100）+25＝30 解得，x＝1150， 1150﹣30＝1120，

故此人购物实际所付金额为1120元．

ex,x013．若函数fx2，则函数yfx1的零点是___________.

x1,x0【答案】0或2

【解析】要求函数yfx1的零点, 则令yfx10,即fx=1,

()ex,x0, 又因为：fx2x1,x0①当x0时,fxe,

xex1,解得x0.

②当x0时,fxx1,

2x211,解得x2（负值舍去）,所以x2.

综上所以,函数yfx1的零点是0或2. 故答案为：0或2

x214．已知抛物线y2px的焦点与双曲线y21的右顶点重合，则抛物线的焦点坐标为__________；

42准线方程为___________.

【答案】(2,0) x2；

x2【解析】由题可知：双曲线y21的右顶点坐标为2,0

4

所以可知抛物线的焦点坐标为2,0，准线方程为x2 故答案为：(2,0)；x2

15．如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点，ABC90o，BABC，球心O到平面ABC的距离是

32，则B、C两点的球面距离是______． 2

【答案】

【解析】由已知，AC是小圆的直径．

所以过球心O作小圆的垂线，垂足O'是AC的中点．O'C∴BC=3，即BC=OB=OC．∴∠BOC=则B、C两点的球面距离=四、解答题

16．已知在ABC中，a2，b①A(3)2(32232，AC=32， )22， 3×3=π． 32，同时还可能满足以下某些条件：

π；②BA；③sinBsinA；④c4. 4（1）直接写出所有可能满足的条件序号； （2）在（1）的条件下，求B及c的值. 【解析】（1）①，③.

22ab（2）由，可得sinB

sinsinAsinB4

2421 sinB222Qa2b2ABB

62sin2由a2b2c22bccosA22(2)2c222c2 2解得c31或c31（舍）.

17．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA平面CDP，M为线段PD的中点，且

PAPD2.

（1）求证：PB//平面ACM；

（2）求平面PAC与平面MAC所成锐二面角的余弦值. 【解析】(1)连接BD交AC于O，连接OM， 因为四边形ABCD为正方形，所以O为BD的中点， 又因为M为线段PD的中点，所以OM//PB， 因为OM平面ACM，PB平面ACM， 所以PB//平面ACM；

(2) 以P为原点，以向量PC,PA所在直线为x,z轴， 过P作PC的垂线为y轴建立空间直角坐标系（如图）



则P0,0,0,A0,0,2,

因为PAPD2，所以ADCD22，AC4,PC23， 则C23,0,0，

2326D在VPCD中：CD22,PD2,PC23可知：3,3,0， 36又因为M为线段PD的中点，所以M3,3,0，

设平面MAC的法向量为n1x,y,z，则

uvuuuv23x2z0n1·AC0uvuv即53令x2，则y52，z23， uuu6CM0xy0n1·33即n12,52,23，

又因为平面PAC的法向量n20,1,0， 设平面PAC与平面MAC所成锐二面角为，

则cosn1gn2n1n25252533，

334501266所以平面PAC与平面MAC所成锐二面角的余弦值为533 3318．某苗木基地常年供应多种规格的优质树苗.为更好地销售树苗，建设生态文明家乡和美好家园，基地积极主动地联系了甲、乙、丙三家公司，假定基地得到公司甲、乙、丙的购买合同的概率分别且基地是否得到三家公司的购买合同是相互独立的.

（1）若公司甲计划与基地签订300棵银杏实生苗的销售合同，每棵银杏实生苗的价格为90元，栽种后，每棵树苗当年的成活率都为0.9，对当年没有成活的树苗，第二年需再补种1棵.现公司甲为苗木基地提供了两种售后方案，

方案一：公司甲购买300棵银杏树苗后，基地需提供一年一次，共计两年的补种服务，且每次补种人工及运输费用平均为800元；

方案二：公司甲购买300棵银杏树苗后，基地一次性地多给公司甲60棵树苗，后期的移栽培育工作由公司甲自行负责.

2p、、1p，3若基地首次运送方案一的300棵树苗及方案二的360棵树苗的运费及栽种费用合计都为1600元，试估算两种方案下苗木基地的合同收益分别是多少？

（2）记为该基地得到三家公司购买合同的个数，若P(0)1，求随机变量的分布列与数学期望12E().

【解析】(1)方案一、每棵银杏实生苗的价格为90元，栽种后， 且每棵树苗当年的成活率都为0.9，基地需提供一年一次， 共计两年的补种服务，且每次补种人工及运输费用平均为800元， 则苗木基地的合同收益为：

； 300903000.1908003000.10.190800160026770（元）方案二、公司甲购买300棵银杏树苗后，基地一次性地多给公司甲60棵树苗， 后期的移栽培育工作由公司甲自行负责，

则苗木基地的合同收益为：30090160025400（元） (2)记为该基地得到三家公司购买合同的个数， 且公司甲、乙、丙的购买合同的概率分别

2p、、1p， 3112P(0)11p11p1pp所以， 3123解得：p

1

， 2

可取值为0、1、2、3，则 P(0)21111111141，P(1)，

32232232212122112111115P(2)，

322322322122112P(3)，

32212则随机变量的分布列为

 P 0 1 2 3 1 124 125 122 12数学期望E()01452205123 12121212123

2x2y219．已知椭圆C：221(ab0)经过定点E1,，其左右集点分别为F1，F2且

2abEF1EF222，过右焦F2且与坐标轴不垂直的直线l与椭圈交于P，Q两点.

（1）求椭圆C的方程：

（2）若O为坐标原点，在线段OF2上是否存在点M(m,0)，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）∵点E在椭圆上，且EF1EF222， ∴2a22，a2，

又∵定点E1,22在椭圆上，∴11a22b21，

∴b1，

∴椭圆C的方程为：x22y21；

（2）假设存在点M(m,0)满足条件，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，直线l的方程为：yk(联立方程x1)x22，消去y得：(12k2)x24k2x2k220， 2y1∴x4k22k221x212k2，x1x212k2，△8k280， 又uMPuurxuuuurm,yuuur1m,y1，MQx22，PQx2x1,y2y1， ∴uMPuuruMQuuurx1x22m,y1y2，

由题意知.(uMPuuruMQuuur)uPQuur(x2x12m)(x2x1)(y1y2)(y2y1)

(x2x12m)(x2x1)(y1y2)0，

∵x1x2，∴x2x12mk(y1y2)0， 即x2x212mkx1x220，

则4k22212k22mk4k12k220， 

yk(x1)，

m0，

12m1∴0m，

2∴k21M(m,0)MQm故存在点，使得以MP，为邻边的平行四边形是菱形，的取值范围为0,.

220．设函数fxaecosx，其中aR．

x（Ⅰ）已知函数fx为偶函数，求a的值； （Ⅱ）若a1，证明：当x0时，fx2；

（Ⅲ）若fx在区间0,内有两个不同的零点，求a的取值范围． 【解析】（Ⅰ）函数yfx为偶函数，所以fxfx，即ae整理得aeexcosxaexcosx，

xx0对任意的xR恒成立，a0；

fxexcosx，则fxexsinx，

（Ⅱ）当a1时，

xQx>0，则ex1，1sinx1，fxesinx0，

所以，函数

fxexcosx在0,上单调递增，

当x0时，fxf02；

（Ⅲ）由

fxaexcosx0，得acosxcosxhx，设函数，x0,， xxee2sinx3hx0x则，令，得． sinxcosx4hx4exex随着x变化，hx与hx的变化情况如下表所示：

x 30,4  3 40 3, 4hx  ] hx Z 极大值

所以，函数yhx在0,33,上单调递减． 上单调递增，在4434，he34234e，且he2又因为h01，heh0，如下图所示： 

234e所以，当ae,2cosxa时，方程在区间0,内有两个不同解， xe234e因此，所求实数a的取值范围为e,2． 21．已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1aa3，an1Sn3n，设bnSn3n，nN*. （Ⅰ）求证：数列bn是等比数列；

（Ⅱ）若an1an，nN*，求实数a的最小值；

3,n1（Ⅲ）当a4时，给出一个新数列en，其中en，设这个新数列的前n项和为Cn，若Cn可

b,n2n以写成tp（t，pN且t1，p1）的形式，则称Cn为“指数型和”.问Cn中的项是否存在“指数型和”，

*若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由.

nn*nn【解析】（I）an1Sn3，Sn1SnSn3Sn12Sn3,nN.由于bnSn3，当a3时，

bn1Sn13n12Sn3n3n12，bna32n1. 所以数列bn是等比数列.b1S13a3，nnbnSn3Sn3（II）由（I）得bnSn3a32nn1，

Sn3na32n1anSnSn123n1a32n2,n2,nN*，所以a,n1an.因为an1an，a23aaa1.当n2时， n1n223a32,n2

an23n1a32n2，an123na32n1，而an1an，所以an1an0，即

nn1n1n223n1a32n223a3243a320，化简得

43n13a382n2238221n133，由于当n2时，82n13单调递减，最大值为

31239，所以

a9，又a3，所以a的最小值为9.

bn（III）由（I）当a4时，

2，当n2时，Cn324L2n3n1212n122n11.C13npnpn*也符合上式，所以对正整数n都有Cn21.由t21,t12，（t,pN且t1,p1），t只

能是不小于3的奇数.

pp22ppn①当p为偶数时，t1t1t12，由于2和t1t21都是大于1的正整数，所以存在正整

p数g,h，使得t212g,t212h，222,2ppghh2gh12，所以2h2，且

2gh12h1,g2，相应的n3，即有C332，C3为“指数型和”；

② 当p为奇数时，t1t11ttLtp2p1，由于1ttn2Ltp1是p个奇数之和，仍为奇

数，又t1为正偶数，所以t11ttLt2p12不成立，此时没“指数型和”.

综上所述，Cn中的项存在“指数型和”，为C3.