一类p-Laplace方程多点边值问题的数值计算

维普资讯 http://www.cqvip.com 第４５卷第３期　吉林大学学报（理学版）　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＪＩＬＩＮ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ（ＳＣＩＥＮＣＥ　ＥＤＩＴＩＯＮ）　Ｖｏ１．４５　Ｎｏ．３　Ｍａｙ　２Ｏ０７　２ＯＯ７年５月　一类Ｐ—Ｌａｐｌａｃｅ方程多点边值问题的数值计算　王慧敏　，张然　，金光日　，毓石　（１．长春税务学院数学系，长春１３０１１７；２．大连理工大学应用数学系，辽宁省大连１１６０２４；　３．吉林大学数学学院，长春１３００１２）　摘要：研究如下一类Ｐ—Ｌａｐｌａｃｅ方程多点边值问题的数值计算方法：　（　（　））　＋　ｔ，　）＝０，ｍ一２　ｔ∈（０，１），　ｍ一２　（０）＝∑６　（　），　法有效．　（１）＝∑口　（蠡）．　构造一类差分格式，并对该差分格式进行误差分析和数值实验．结果表明，所给出的计算方　关键词：ｐ－ａｐｌＬａｃｅ方程；差分格式；误差分析；数值计算　中图分类号：０２４１．８１　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７１－５４８９（２００７）０３－０３５８－０７　Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ　ｏｆ　ａ　Ｃｌａｓｓ　ｏｆ　ｐ・Ｌａｐｌａｃｅ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　Ｍｕｌｉ－ｐｏｉｔｎｔ　Ｂｏｕｎｄａｒｙ　Ｖａｌｕｅ　Ｃｏｎｄｉｉｏｎｓ　ｔＷＡＮＧ　Ｈｕｉ．ｍｉｎ　，ＺＨＡＮＧ　Ｒａｎ　，ＪＩＮ　Ｇｕａｎｇ．ｒｉ　，ＹＵ　Ｓｈｉ　（１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆＭｎｔｈｍａｔｉｃｓ，Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ　Ｔａｘａｔｉｏｎ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ　１３０１１７，Ｃｈｉｎａ；　２．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｆＡｐｐｌｏｉｅｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ。Ｄａｌｉａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｆ　ｏＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｄａｌｉａｎ　１１６０２４，Ｌｉａｏｎｉｎｇ　Ｐｒｏｖｉｎｃｅ，Ｃｈｉａ；ｎ　３．Ｃｏｌｅｌｇｅ　ｆＭａｔｏｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｊｉｌｉｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓ￣，Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ　１３００１２，Ｃｈｉａ）ｎ　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｐｒｅｓｅｎｔ　ｐａｐｅｒ　ｄｅａｌｓ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ａ　ｃｌａｓｓ　ｏｆ　ｐ—ａｐｌＬａｃｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗｉｈ　ｍｕｌｔｔｉ—ｐｏｉｎｔ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｗｈｉｃｈ　ａｒｅ　ｗｉｄｅｌｙ　ａｐｐｌｉｅｄ　ｔｏ　ｍａｎｙ　ｆｉｅｌｄｓ　（　（　））　＋　ｔ，　）＝０，ｍ一２　ｔ∈（０，１），　ｍ一２　＝（０）＝∑ｂｌ　（　），　ｉ＝ｌ　．（１）　∑　（　）．　ｉ＝ｌ　ｆｅｒｅｎｃｅ　ｓｃｈｅｍｅ　ｆｏｒ　ｔｈｉｓ　ｋｉｎｄ　ｏｆ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ａｎｄ　ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ　ｉｔｓ　ｅｒｒｏｒ　ｅｓｔｉｍａｔｅ，ａｎｄ　ａｌｓｏ　Ｗｅ　ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄａ　ｄｉｉｍｐｌｅｍｅｎｔｅｄ　ｓｏｍｅ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ，ｗｈｉｃｈ　ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｓ　ｔｈｅ　ｖａｌｉｄｉｔｙ　ｏｆ　ｈｅ　ｓｔｃｈｅｍｅ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｐ—Ｌａｐｌａｃｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ　ｓｃｈｅｍｅ；ｅｒｒｏｒ　ａｎａｌｙｓｉｓ；ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ　１　引　言　ｐ－ａｐｌＬａｃｅ方程在气体通过多孔媒质的扩散及混合气体的自燃等方面均有广泛应用　川．目前，关于　一维ｐ．ａｐｌＬａｃｅ方程在不同边值条件下解的存在性已取得一些结果　．文献［５］研究了下列一维　ｐ－ａｐｌＬａｃｅ方程多重正解存在的充分条件：　收稿日期：２００６－０９－１９．　作者简介：王慧敏（１９７８一），女，汉族，硕士。讲师。从事发展方程与动力系统数值方法的研究。Ｅ－ｍａｉｌ：ｗｈｍ７８０９２１＠ｓｉｎａ．ｃｏｍ．　联系人：张然（１９７７一），女，汉族，博士，副教授。从事ｉ－Ｉ－￣ｔ数学的研究，Ｅ－ｍａｉｌ：ｚｈａｎｇｒａｎ＠ｊｌｕ．ｅｄｕ．ｃｎ．　基金项目：国家自然科学基金（批准号：１０４７１０５４；１０６７１０８２；１０６２６０２６）和吉林大学数学基地项目基金（批准号：Ｊ０６３ｏ１４）．０　维普资讯 http://www.cqvip.com 第３期　王慧敏，等：一类ｐ－Ｌａｐｌａｃｅ方程多点边值问题的数值计算　３５９　（　（ｕ　））　＋　￡，ｕ）：０，ｎ－２　，ｔ∈（０，１），　历－２　（１．１）　“　（０）＝∑ｂｌｕ　（　），　ｕ（１）＝∑口　ｕ（　），　其中　（ｓ）＝Ｉ　ｓ　ｓ，Ｐ＞１，　∈（０，１），０＜　ｌ＜　２＜…＜　一２＜１，且口ｉ，ｂｉ，ｆ满足如下假设：　，ｎ－２，ｎ－２　（１．２）　（Ｈ。）口ｉ，ｂｉ∈［０，＋∞），且０＜∑口　＜１，∑ｂ　＜１；（Ｈｂ）ｆ∈ｃ（［０，∞），［０，∞））．　一同大多数方程的定解问题一样，求出Ｐ．Ｌａｐｌａｃｅ方程边值问题的解析解是比较困难的，因此，寻求　种简明有效的数值算法对于解决实际问题具有重要意义．关于多维ｐ－Ｌａｐｌａｃｅ方程边值问题数值解　法，已经取得了许多令人满意的结果［６　。。，而一维ｐ－Ｌａｐｌａｃｅ方程多点边值问题的数值解法则比较少　见．本文针对上述ｐ－Ｌａｐｌａｃｅ方程（１．１）．（１．２）构造适当的数值差分格式并近似求解．　２差分格式及其误差分析　２．１　Ｐ＝４时的情形　考虑当Ｐ＝４时，方程（１．１）的数值差分格式，并进行误差分析．此时，方程（１．１）化为　（（ｕ　）　）　＋　ｔ，ｕ）＝０，ｔ∈（０，１）．　（２．１）　将［０，１］区间，ｌ等分，剖分节点记为ｔ　＝（ｉ一１）ｈ（ｉ＝１，２，…，ｌｔ＇＋１），其中ｈ＝１／ｎ为各小区间的长度．　本文将在如下假设条件下研究方程（Ｉ．１）的数值差分格式：　（Ｈ。）函数　ｔ，ｕ）充分光滑，且关于ｕ是Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ连续的；　（Ｈ　）函数　ｔ，ｕ）有界，即存在常数肘＞０，使得对于任意的ｔ∈［０，１］，ｕ∈Ｒ，都有ｌ　ｔ，ｕ）ｌ≤肘；　（Ｈ，）方程（１．１）．（１．２）的解ｕ满足　（￡）≠０，对任意ｔ∈［０，１］．　引理２．１假设（Ｈ。）成立，则在区间［ｔ　，ｔ　］上方程（２．１）等价于积分方程：　３厂—————————　———————～　ｕ（￡）＝ｕ（　）＋』　√（ｕ　）　（ｔｉ＿１）一Ｌ　（ｓ））　ｄ下，　￡∈　－］・　证明：对任意的ｔ　Ｅ［ｔｉ，ｔ…］，将方程（２．１）两边在［ｔｉ，ｔ］上积分得　（２・２）　’　（ｕ　）　（￡）＝（ｕ　）　（￡　）一Ｊ　ｓ，ｕ（ｓ））ｄｓ，　整理得　厂————————　——————一　ｕ　（￡）＝＾／（ｕ　）　（￡　）一Ｉ　￣．　／ｔｉ－１　，ｕ（　））ｄｓ，　将上述方程两边在区间［ｔ　，ｔ］上再积分一次即得方程（２．２）．　下面利用积分方程（２．２）构造差分格式．在方程（２．２）中令ｔ＝ｔ　，先用左矩形公式近似方程　（２．２）的外层积分，设其局部截断误差为Ｒ。，则得　３厂————————　■———一　ｕ（ｔ　）＝ｕ（ｔｉ）＋ｈ－／（ｕ　）　（ｔ¨）一Ｉ　ｓ，ｕ）ｄｓ＋Ｒ。；　、『　‘ｉ一１　微商，设其误差为Ｒ　，则得　（２．３）　再用右矩形公式近似方程（２．３）中积分，设其局部截断误差为　，利用向前差商近似方程（２．３）中的　ｕ　＋１）＝ｕ　）＋　√（　＋Ｒｃ）　一ｈｆ（ｔｉ，ｕ　））　３厂—————————　—————————一　，　（２．４）　（２．５）　略去误差项Ｒ。，吃，Ｒ。，以ｕ　，ｕ　，Ｕｉ－１分别近似ｕ（ｔ…），ｕ（ｔｉ），ｕ（ｔ　一。），得差分格式　Ｕｉ＋Ｉ～　“√（　）一ｈｆ（　ｕｆ）．　引理２．２假设（Ｈ。），（Ｈ２）成立，“（ｔ）是方程（２．１）的解，则：　（１）存在肘。＞０，使得对任意ｔ　Ｅ［０，１］，有ｌ　ｕ　（￡）ｌ≤肘。，其中肘。是依赖于ｕ　（０）的常数；　（２）存在　＞０，　＞０，使得对任意满足０＜ｈ＜ｈｏ的ｈ，成立ｌ［ｕ（ｔ　）一ｕ（ｔ　）］　ｌ≤Ｍ２，其中　维普资讯 http://www.cqvip.com 吉林大学学报（理学版）　第４５卷　肘　为依赖于　（０）的常数．　证明：（　）由方程（２・１）知，（　）（ｆ）＝√（　）。（０）一　ｓ，　）　．再由假设（Ｈ　）￣ｌｌｆ（ｔ，　）有界，　从而　ｌ　（ｔ）ｌ≤　Ｔ　］ｉ　≤　Ｔ　≤Ｍ。，　（２．６）　其中Ｍ。是依赖于　（０）的常数．　（２）由方程（２．３）知，　Ｊ　（　）一　（ｔ１）Ｊ≤　“√　＋　。触　又因为ｔｉ≤　≤ｆ…，故＾≤　一ｔ　≤２＾，从而　．　１　（ｆ　）一　（ｆ　）ｌ≤厂“。　而ｄ丁≤＾、３朋３／。＿　丽，　于是　ｌ　√３朋３。　≤　，　（２．７）　其中Ｍ２为依赖于　（０）的常数．　引理２．２表明，方程（２．２）的解导数和差商有界．　引理２．３假设（Ｈ。），（Ｈ，）成立，　（ｆ）为方程（２．１）的解，则存在常数　＞０，使得　Ｊ　Ｉｈ　ｌ　≥鸭．　证明：６Ｉ（Ｈ。）可知，存在常数鸭＞０，使得ｆ　（ｆ）ｆ≥坞成立．利用Ｌａｇｒａｎｇｅ中值定理可知，至少　存在一点ｆ　∈（　“。），使得ｆ　生　ｆ＝ｌ　ｕ＇（ｆ　）ｆ≥　＞０成立．　引理２．３表明，方程（２．２）解的差商的绝对值有正下界．　设　－，　，…，　＋－为用差分格式（２．５）近似计算得到的方程（１．１）的数值解，则关于数值解有如下　先验估计．　引理２．４假设（Ｈ－），（Ｈ　）成立，则存在常数ｈ。＞０，Ｍ４＞０，使得当ｈ满足０＜ｈ＜ｈ。时，对于满　足　一　。＝Ｄ（＾）的任意初值　。和　，利用格式（２．５）计算所得的数值解　满足ｆ　ｆ≤　．　证明：由式（２．５）可知　（　）　：（　）　一　，…・＝（　）　一毫　，　再由１≤　≤，ｌ＋１和（Ｈ２）中　ｔ，　）有界知　ｆ　ｆ　＋Ｉ　Ｍ（　≤ｆ　ｆ　因此Ｊ　Ｊ≤　Ｊ　　Ｊ＋　≤　，其中　＞。是常数．　假设初始值无误差，即　一。＝ｕ（ｔ　），　＝ｕ（ｔ　）时，Ｒ川为ｔ川处的局部截断误差，则　峨　＋＾√（　）　一　））地　（２．８）　考虑差分格式（２．５）的局部截断误差，可得：　定理２．１假设（Ｈ。）一（Ｈ，）成立，则差分格式（２．５）的局部截断误差Ｒ…：Ｏ（ｈ　）．　证明：记Ａ。：　，Ａ　：ｈｆ（　（　），则方程（２．４）可写为　维普资讯 http://www.cqvip.com 第３期　王慧敏，等：一类ｐ－Ｌａｐｌａｃｅ方程多点边值问题的数值计算　３６１　（　＋。）：　（　）＋ｈ　厂　＿　—二＿＝　＋Ｒ。．　由矩形积分公式的余项可知Ｒ。＝Ｏ（ｈ　），Ｒ　＝Ｏ（ｈ　）．又因为　（￡ｉ）：　（ｔｉ－１）＋＾　，（￡　一。）＋Ｏ（ｈ　），　，（ｔｉ－１）：兰　＋Ｄ（＾），　Ｒｃ：　，（　；一。）一兰　：兰　＋Ｄ（ＪＩ１）一兰　＝Ｄ（　）．　记（Ａ。＋尺　）　＝Ａ　＋３ＡＩＲ　＋３Ａ。Ｒ　＋尺　＝Ａ　＋尺ｄ，则Ｒｄ＝３Ａ２１Ｒ　＋３Ａ。Ｒ　＋尺：＝Ｄ（　），代入　（ｔｉ＋－）　的表达式中，有　“（　＋。）：　（　ｉ）＋ｈ　＝－　二＿　＋Ｒ。．　设Ａ，：Ａ　一Ａ　，Ｒ　＝Ｒ　＋尺　，则有ｕ（ｔ　）＝ｕ（ｔ　）＋ｈ　＋Ｒ。，其中Ｒ　＝Ｒ　＋Ｒ　＝Ｄ（＾）．　再考虑　，由引理２．３可知，Ｉ　ａ。ｌ≥鸭＞０，再由Ａ　的定义知，当ｈ充分小时，有Ｉａ，Ｉ≥　＞０，在Ａ，处做Ｔ　ｙｌ。　展开得　丽：（Ａ，＋Ｒｅ）　＝Ａ　＋÷Ａ　２／３尺　＋Ｏ（ｈ　），代入　（￡…）　的表达式中，有　ｔｉ＋１）：　（ｔｉ）＋Ｍ　＋　＿＾　尺　＋Ｏ（ｈ　）＋尺。＝　（￡　）＋Ｍ　＋尺　＋。＝　（　）＋＾Ｎ／（ｕ（ｔ，）ｈｕ（ｔｉ＿１））３一　￡ｉ，　（￡　））＋Ｒ“－，　其中Ｒ…＝Ｄ（ｈ　）．　下面考虑整体截断误差与局部截断误差的关系，令　…＝ｌ　ｕ（ｔ…）一　…ｌ为差分格式（２．５）在ｔ…　处的整体截断误差，则有：　定理２．２假设（Ｈ。）～（Ｈ，）成立，则　ｉ＋Ｉ≤ｍＩ　ｉ—Ｉ＋（１＋ｍＩ＋ｍ２ｈ２）　＋Ｒ“Ｉ，　其中ｍ。，ｍ　为正常数．　证明：将式（２．８）－－ｔ￣ｉ（２．５）相减，得　ｉ＋。≤　＋｝＾　／　至　三　二：　至　三三二　＋月“。一　／　三二：　至三三　ｌ≤　＋ｈ　Ｊ　一　ｌ＋Ｒ　，　其　＝（　）３一　＝（　）　一　）．　下面讨论Ｉ　一　ｌ，首先考虑　３廿２。。＋￣／ＢＩＢ２一＋　，　√３廿２一＋￣／ＢＩＢ２。＋ｖ３廿　２：　３　２　３　２＋　＿－　．　。２由引理２．３可知，当＾充分小时，ＩＢｌ　Ｉ＝ｌ（　生　）　一　（　）ｌ有正下界，所以存在　ｃ。＞０，使得√３　Ｄ２。一＋　＋√３　２　≥ｃ。＞０．由此可得　一　ｌ＝　）　一　；）】　√３廿２一＋　＋ｖ３廿　２　。维普资讯 http://www.cqvip.com 吉林大学学报（理学版）　第４５卷　ｆｌ　ｖ３　２。　一＋　＋ｖ３　　ｌ２　、ｃ－。。　十。　’，　其　＝（　）３－（　）一　）．　由于函数Ｙ＝　在有限区间内是Ｌｉｐｓｅｈｉｔｚ连续的，则存在常数Ｌ。＞０，使得　（　）　一（　）　ｆ　一　ＬＩ　～１．　下面讨论Ｂ４，由（Ｈ。）中　ｔ，Ｈ）关于Ｈ是Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ连续的可知　Ｂ４＝ｂｙ（ｔｉ，Ｈ‘）一ｈｊ５　，Ｈ（ｔｉ）］≤ｈＬ２　ｌ　Ｈ　—Ｈ（ｔｉ）ｌ≤ｈＬ２　，　其中Ｌ２为Ｌｉｐｓｅｈｉｔｚ常数．　于是　≤　＋ｈ　Ｉ＾；／　一　ｌ＋　＋－≤　＋ｈ　Ｊ　＋Ｂ４　Ｊ＋Ｒ　≤　＋＾　１　ＬＩ　－８ｉ＿１　ｆ＋ｈ　ｃｌｈＬ，　＋　≤　。＋（１＋　＋　Ｃ　）Ｉ　　。≤　＋（１＋ｍ。＋　）　。，其中ｍ。，ｒａ　为正常数．　２．２　Ｐ＝２ｋ的情形　考虑方程（１．１）当Ｐ为偶数时的情形，关于Ｐ为奇数的情形，由于绝对值的存在较复杂，在此未作　处理．当Ｐ＝２ｋ（当　≥１）为正整数时，方程（１．１）化为　（（ｕ　）　）　＋　ｔ，Ｈ）＝０，ｔ∈（０，１）．　（２．９）　利用上述假设条件和相同的方法进行研究．类似地，可以构造差分格式　。　叫（　）　。一　Ｈ　）　．　（２．－。）　假设初始值无误差，即Ｈ　＝Ｈ（ｔ　），Ｈ　＝Ｈ（ｔ　）时，Ｒ…为ｔｉ＋ｌ处的局部截断误差，则　（ｔｉ＋ｌ　…【（　）　。一　训　¨　．（２．１１）　考虑差分格式（２．１０）的局部截断误差，则可得下面定理：　定理２．３假设（Ｈ。）一（Ｈ，）成立，则差分格式（２．１０）的局部截断误差Ｒ…＝ｏ（ｈ　）．　令　…＝ｌ　Ｈ（ｔ　）一Ｈ…ｌ为差分方法（２．１０）在ｔ…处的整体截断误差，则关于整体截断误差与局　部截断误差的关系，同理可以证明：　定理２．４假设（Ｈ，）一（Ｈ，）成立，则　ｉ＋ｌ≤ｍ３　‘一ｌ＋（１＋ｍ３＋ｍ４ｈ　）　ｉ＋Ｒｉ＋ｌ，　其中ｍ，，ｍ。为正常数．　３数值实验　考虑多点边值问题：　（（Ｈ　）２ｋ－Ｉ）　＋　ｔ，Ｈ）＝０，ｔ∈（０，１），　（３．１）　Ｈ　（０）＝∑ｂｌＨ　（　），Ｈ（１）＝∑口　Ｈ（　），　（３．２）　其中　∈（０，１），０＜　。＜　＜…＜　一２＜１，且ａ　，６　，ｆ满足：　（１）　ｂ　∈［ｏ，＋　，且０＜∑ａ　＜１，∑ｂｆ＜１；　维普资讯 http://www.cqvip.com 第３期　王慧敏，等：一类Ｐ—Ｌａｐｌａｃｅ方程多点边值问题的数值计算　３６３　（２）ｆ∈Ｃ（［０，∞），［０，∞））．　下面将利用所构造的差分格式，选取满足假设条件（Ｈ。）～（Ｈ　）的函数　ｔ，ｕ）和边界条件对方程　（１．１）进行数值实验．　首先，描述边值问题（３．１）和（３．２）的数值计算过程．　在［０，１］区间上取定等距节点组０＝￡・＜￡　＜…＜　＜　＋・＝１，此时记　＝　，ｈ＝Ａｔ　＝音，假设　边值条件（３．２）中的点　恰好是节点ｔＪ，．利用数值差分格式（２．１０），可以得到方程（３．１）和（３．２）的近　似：　Ｕ　＝Ｕ　＋［（Ｕ；一ＵＨ）址　一＾　ｔｉ，ｕ　）］　Ｑ　¨，　一　，　。一　．　进一步简化可得方程（３．１）和（３．２）的近似差分方程：　Ｕ　＝Ｕｉ＋［（Ｕ　—Ｕ¨２ｋ－Ｉ—ｈ２　ｔｉ，ｕ　）］　‘　¨，　（３．３）　２（ｕ　一Ｍ。）一∑ｂｉ（　＋。一　一。）＝０，　Ｍ川一∑口　＝０．　（３．４）　假设Ｕ。，Ｕ　已知，则由方程（３．３）可得一序列｛Ｕ　｝　，由此定义函数　Ｆｔｌ一２　２（ｕ　一Ｍ。）一∑ｂｉ＝１　ｉ（　一　）　Ｆ（Ｕｌ，Ｕ２）＝　Ｆｔｌ－２　（３．５）　Ｍ川一∑ａｉ＝ｌ　ｕｈ　通过求解方程Ｆ（Ｕ。，Ｕ　）＝０得到一组解（Ｕ。，Ｕ　），以此为初值利用方程（３．３）可得一近似解｛Ｕ　｝譬　，此　解满足近似边值条件（３．４），从而得到方程（３．１），（３．２）的近似解．　例３．１考虑方程：　（（Ｕ　）　）　＋ｔｕ：０，ｔ∈（０，１），　（３．６）　８　８　Ｕｔ（０）＝∑ｂｉＭ　（　），　Ｍ（１）＝∑口　Ｍ（　）．　（３．７）　为了简单，把边值条件中的点取成差分格式中的点，同时给定其他参数如下：　ｌ＝０．０５，　＝０．１０，　＝０．１５，　＝０．２０，　＝０．８０，　＝０．８５，岛＝０．９０，　＝０．９５，　ａＩ＝１／８，ａ２＝１／９，ａ３＝１／１０，ａ４＝１／１２，ａ５＝１／１５，ａ６＝１／１５，ａ７＝１／１６，ａ８＝１／１６，　ｂｌ＝１／１６，ｂ２＝１／１６，ｂ３＝１／１５，ｂ４＝１－／１５，ｂ５＝１／１２，ｂ６＝１／１０，ｂ７＝１／９，ｂ８＝１／８．　由于方程（３．６）的精确解未知，在计算误差时，可将［０，１］区间１　０００等分后计算所得的数值解作　为精确解．　将［０，１］区间ｌ００等分，计算所得的数值解・在［０，１］区间上取等距节点ｆ　＝　，ｈ＝而１（　＝ｌ，　２，…，ｎ＋１），其余各参数不变．按上述计算方法得到算例３．１的数值解及解的误差图像，如图１所示．　６．５　６．０　５．５　５．０　４．５　４．０　３．５　３．０　ｔ　ｔ　．１　Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ（Ａ　Ｊ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｅｌＴｏｒ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｔｈｅ　ｅｘａｃｔ　ａｎｄ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ（Ｂ）　维普资讯 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３６４　吉林大学学报（理学版）　第４５卷　例３．２考虑方程：　（（Ｈ　）　）　＋ｓｉｎ（ｔｕ）＝０，ｔ∈（０，１），　（３．８）　Ｈ　（０）＝　（３．９）　例３．２中各参数及节点取法均与例３．１相同．按上述计算方法得到例３．２的数值解及此数值解的　误差图像如图２所示．　。∑　—　６　，Ｌ　ＪＩ　、，　ｌ　ｌ　Ｆｉｇ．２　Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ（Ａ）ａｎｄ　ｔｈｅ　ｅｒｒｏｒ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｔｈｅ　ｅｘａｃｔ　ａｎｄ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ（Ｂ）　以上数值实验表明，本文给出的计算方法是有效的．　。参考文献　∑　口　ＦＡＮ　Ｘｉａｎ．１ｉｎｇ．Ｅｘ，ＬⅡ　　ｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　Ｐｏｓｉｉｔｖｅ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｎ　ａ　Ｃｌａｓｓ　ｏｆ　Ｑｕａｓｉｌｉｎｅａｒ　Ｂｏｕｎｄａｒｙ　Ｖａｌｕｅ　Ｐｒｏｂｌｅｍ［Ｊ］．Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｂｆＸｉａｎｇｔＪＩａｎ　Ｕｎｉ　、　ｖｅｒｓｉｔｙ．１９９３，１５：２０５－２０９．（范先令．一类二阶准线性边值问题正解的存在性［Ｊ］．湘潭　大学自然科学学报，１９９３，１５：２０５－２０９．）　［２］　Ｃｈｅｕｎｇ　Ｗｉｎｇ—ｓｕｍ，ＲＥＮ　Ｊｉｎｇ－ｌｉ．Ｔｗｉｎ　Ｐｏｓｉｔｉｖｅ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　Ｑｕａｓｉ・ｌｉｎｅａｒ　Ｍｕｌｉｔ・ｐｏｉｎｔ　Ｂｏｕｎｄａｒｙ　Ｖａｌｕｅ　Ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］．　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ａｎａｌｙｓｉｓ，２００５，６２：１６７・１７７．　［３］　Ｌ０　Ｈａｉ．ｓｈｅｎ．０’Ｒｅｇａｎ　Ｄｏｎａｌ，Ａｇａｒｗａｌ　Ｒａｖｉ　Ｐ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　Ｐｏｓｉｉｔｖｅ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　Ｏｎｅ・ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ　Ｓｉｎｇｕｌｒａ　口一Ｌａｐｌａｅｉａｎ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｗｉｔｈ　Ｓｉｇｎ　Ｃｈａｎｇｉｎｇ　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｔｉｅｓ　ｖｉａ　ｔｈｅ　Ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　Ｕｐｐｅｒ　ａｎｄ　Ｌｏｗｅｒ　ｏＳｌｕｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｍｅｔｈｏｄｓ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　Ａｎａｌｙｓｉｓ，２００３，１０（４）：５３３－５４２．　［４］　ＪＩＡＮＧ　Ｄａ．ｃｌｉｎｇ，ＣＨＵ　Ｊｉ．ｆｅｎｇ，Ｏ’Ｒｅｇａｎ　Ｄｏｎａｌ，ｅｔ　ａ１．Ｐｏｓｉｔｉｖｅ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　Ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ａｎｄ　Ｄｉｓｃｒｅｔｅ　Ｂｏｕｎｄａｒｙ　Ｖａｌｕｅ　Ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｔｏ　ｈｔｅ　Ｏｎｅ．ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ　ｐ－Ｌａｐｌａｃｉａｎ［Ｊ］．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ　ｎａｄ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００４，７（４）：５２３－５３４．　［５］　ＢＡＩ　Ｃｈｕａｎ—ｚｈｉ．ＦＡＮＧ　Ｊｉｎ．ｘＨａｌ１．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　Ｍｕｌｉｔｐｌｅ　Ｐｏｓｉｉｔｖｅ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｍ・Ｐｏｉｎｔ　Ｂｏｕｎｄａｒｙ—ｖａｌｕｅ　Ｐｒｏｂｌｅｍｓ　［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍａｈｔｅｍａｔｉｃｓ　ｎａｄ　Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ，２００３，１４０：２９７－３０５．　［６］　ＺＨＡＩ　Ｊｉｎｇ－ｃｈｕｎ．ＳＩ　Ｓｈｏｕ．ｋｕｉ．Ｏｎ　ａ　Ｃｌａｓｓ　ｏｆ　Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ　Ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　Ｌａｐｌａｃｅ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　Ｂｏｕｎｄａｒｙ　Ｖａｌｕｅ　Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｓｈａｎｄｏｎｇ　ｃＳｉｅｎｅｅ，１９９５，８（３）：２１－２４．（翟景春，司守奎．拉普拉斯方程边值问题的一种数值解　法［Ｊ］．山东科学，１９９５，８（３）：２１－２４．）　［７］　ＷＡＮＧ　Ｄａｎ．ＺＨＡＮＧ　Ｙｕ，ＪＩＡＮＧ　Ｇｕｏ—ｆｅｎｇ，ｅｔ　ａ１．Ａ　Ｎｅｗ　Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　Ｆｉｉｎｔｅ　Ｅｌｅｍｅｎｔ　Ｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］．Ｍａｃｈｉｎｅｒｙ　Ｄｅｓｉｎｇ　ａｎｄ　Ｍａｎｕｆａｃｔｕｒｅ．２０００，（１）：２５－２６．（王丹，张钰，蒋国锋，等．一种新的概率有限元计算法［Ｊ】．机械设计　与制造，２０００，（１）：２５－２６．）　［８］　ＸＩＡＯ　Ｊｉｅ．ＨＵＡＮＧ　Ｙｕｎ—ｑｉｎｇ，ＬＩＵ　Ｗｅｎ＿ｂｉｎ．Ｓｏｍｅ　Ｍｕｌｔｉｇｒｉｄ　Ｍｅｔｈｏｄｓ　ｏｆｒ　ｏＳｌｖｉｎｇ　ｈｔｅ　ｐ－ａＬｐｌａｃｉｎａ［Ｊ］＿Ｎａｔｕｒｌａ　ｃＳｉｅｎｃｅ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆＸｉｎａｇｔａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２００２，２４（３）：１－８．（肖捷，黄云清，刘文斌．求解Ｐ・ａＬｐｌａｃｅ方程的几种多重网格　法研究［Ｊ］．湘潭大学自然科学学报，２００２，２４（３）：ｌ－８．）　［９］　ＷＡＮＧ　Ｚｅ．ｗｅｎ．ＬＩＵ　Ｔａｎｇ－ｗｅｉ，ＸＵ　Ｄｉｎｇ．ｈｕａ．　Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ　ｏｆ　ａ　Ｃａｕｃｈｙ　Ｐｒｏｂｌｅｍ　ｆｏｒ　Ｌａｐｌａｃｅ’ｓ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ　［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆＥａｓｔ　Ｃｈｉｎａ　Ｇｅｏｌｏｇｉｃａｌ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ，２００２，２５（４）：３５６－３６０．（王泽文，刘唐伟，徐定华．Ｌａｐｌａｃｅ方程　Ｃａｕｃｈｙ问题的一种数值解法［Ｊ］．华东地质学院学报，２００２，２５（４）：３５６—３６０．）　［１０］　ＬＩＵ　Ｄａ—ｗｅｉ，ＧＡＯ　Ｍｉｎｇ．Ｓｉｍｐｌｅ　Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ　ｏｆ　ａＬｐｌａｃｅ’ｓ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｏｎ　Ｓｑｕａｒｅ　ｗｉｔｈ　Ｓｍａｌｌｅｒ　Ｓｑｕａｒｅ　Ｈｏｌｅ　［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｓｈｅｎｙａｎｇ　Ｎｏｍｕｄ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ），２００６，２４（２）：１６６・１６９．（刘大卫，高明．　正方形环域Ｌａｐｌａｃｅ方程的简明数值解法［Ｊ］．沈阳师范大学学报（自然科学版），２００６，２４（２）：１６６・１６９．）　（责任编辑：赵立芹）