带梯度项的p-Laplacian方程整体解的不存在性

第３０卷第２期　２０１２年３月　泉州师范学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｑｕａｎｚｈｏｕ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｖｏ１．３Ｏ　Ｎｏ．２　Ｍａｒ．２０１２　带梯度项的ｐ－Ｌａｐｌａｃｉａｎ方程整体解的不存在性　黄东兰，陈明玉　（泉州师范学院数学与计算机Ｎ－ｑ：ｑ￣院，福建泉州　３６２０００）　摘要：研究一类带非线性梯度项的ｐ－Ｌａｐｌａｃｉａｎ方程Ｃａｎｃｈｙ问题，通过对试验函数的精细选取，利用能　量估计方法和不等式技巧，证明了问题非平凡非负整体解的不存在性．　关键词：ｐ－Ｌａｐｌａｃｉａｎ方程；Ｃａｎｃｈｙ问题；梯度项；整体解　中图分类号：Ｏ１７５．２６　文献标识码：Ａ　文章编号：１ＯＯ９—８２２４（２Ｏ１２）Ｏ２一Ｏ０Ｏ６一Ｏ３　考虑Ｃａｕｃｈｙ问题　Ｕ　一ｄｉｖ（Ｉ　ｌ　。　）：ａｕ　＋ｂ　ｌ　Ｉ。，ｘ∈Ｒ　，ｔ＞０，　（１）　（２）　ｕ（ｘ，Ｏ）一ｕｏ（ｚ），Ｘ∈ＲＮ．　其中：Ｐ≥２，ｎ，ｂ，ｓ，ｑ为正常数，非负初值ｕｏ（ｚ）充分正则．　方程（１）是一类具非线性强迫项的退缩抛物方程，具有强烈的实际背景，它们出现在非Ｎｅｗｔｏｎｉａｎ渗流理　论和相变理论等物理问题中［　－ｚ３．如考虑单相渗流问题，方程（１）表示非Ｎｅｗｔｏｎｉａｎ流体（例如拟塑性流体）在　外力的作用下在均匀、各向同性的刚性多孔介质中的流动，其中“为流体的渗流速度，而外力是渗流速度“及　其梯度ｌ　Ｖｕ　Ｉ的非线性函数．当ｂ＝０，即方程（１）右端不含梯度１　ｖｕ　Ｉ的非线性项时，有不少文献对方程（１）　解的性质进行了研究　。　］，但当ｂ＞０，即方程（１）右端含梯度的非线性项时，对方程（１）解的性质的研究甚少．　最近，文［５］研究了方程（１）具齐次Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ边界条件的初边值问题，得到了方程（１）解在有限时间爆破的条　件．本文研究Ｃａｕｅｈｙ问题（１）～（２），采用的技巧不同于通常的上下解方法，而是通过对试验函数的精细选取，　并利用能量估计方法和不等式技巧，证明问题非平凡非负整体解的不存在性．　１　两个辅助不等式　引理１［带ｓ的Ｙｏｕｎｇ＇ｓ不等式］　设ｎ＞０，６＞０，ｅ＞ｏ，Ｐ＞１，ｑ＞１，且　＋吉一１，则有　ａｂ≤　４＋——≤　’＋Ｅ＿Ｉ咖。．－　ｉ　ｅ－￣ｐｂｑ　ｂ　ｑ引理２［Ｈ６１ｄｅｒＹ５不等式］嘲　设Ｐ＞１，ｑ＞１，且　＋吉一１．若厂（ｚ）∈Ｌｐ（ｎ），ｇ（ｚ）∈Ｌｑ（Ｏ），则　ｒ　厂（　）ｇ（　）∈Ｌ　（ｎ），且ｌ　Ｉ　ｚ）ｇ（ｚ）Ｉ　ｄｘ≤１　Ｉ厂（　）Ｉ　ｌ　Ｌ，（　・１　Ｉ　ｇ（ｚ）Ｉ　　Ｉｒ（功．　Ｊ门　２　主要结论及证明　定理１　设ａ＞０，ｂ＞０，Ｕｏ（　）≥０且不恒等于０，如果　０　＾一１　Ｐ≥２，１＜ｓ＜ｌ＋　，Ｐ一１＜ｇ＜Ｐ一１＋　专，　则Ｃａｕｃｈｙ问题（１）～（２）没有非平凡非负整体解．　收稿日期：２０１１－－０９－０４　作者简介：黄东兰（１９７６一），女，福建南安人，讲师，从事非线性偏微分方程研究．　基金项目：福建省属高校科研专项计划资助项目（ＪＫ２ｏ１００５１）　第２期　黄东兰，等：带梯度项的ｐ－Ｌａｐｌａｃｉａｎ方程整体解的不存在性　７　证明　利用反证法．倘若Ｃａｕｃｈｙ［ｈ－Ｊ￣（１）～（２）有非平凡非负整体解ｕ（ｘ，　），则其存在时间Ｔ　一。。．设　（　，￡）∈　（ＲⅣ×　）满足　ｏ＼ｏｆ　＼∈￡＼　“ｄｘｄｔ＜ｏｏ，　　‘　一‘　／［ｑ－‘　ｄｘｄｔ＜。。．　ｆ　Ｉ　Ｉ其中：　＋　一１．　Ｓ　Ｓ　用ｅ（　，￡）乘方程（１）并在Ｑ—ＲⅣ×Ｆ￣－上积分得　一ｆｏｕＧｄｘｄｔ＋ｆＱ（　）　２　・ｖ￣－ｄｘｄｔ＝ａｆｏｕ　如出＋　。（　）　ｃｋ出＋Ｌ　。（　，。）　（３）　’　一利用Ｈ６１ｄｅｒ’Ｓ不等式及Ｙｏｕｎｇ’Ｓ不等式有　Ｊ１　Ｑ　ｄｘｄｔ≤１．Ｊ　Ｑ　Ｕ　Ｉ　８　ｌ　ｄｘｄｔ—ｌＪ　Ｏ　・Ｉ￡Ｉ。　　。　ｑ　ｄｘｄｔ≤　、　Ｑ　（　Ｑ　搴　出）　・（　ｌ　８　Ｉ　一　ｄｘｄｔ）　／　≤号Ｊ．　Ｓｄｘｄ　＋　．『。ｌ　８　Ｉ　搴　”／［　‘　）　ｄ　出）　（　１）］／　≤　’　（４）　ＪＩ　ｑ　Ｉ　Ｖｕ　Ｉ￣－２Ｖｕ・ｖＣ．ｄｚ￣≤Ｉｄ　Ｑ　　ＩＶｕ［ｐ－１　Ｉ　ｌ　ｄｘｄｔ—ｌＪ　Ｉ　０　　Ｖｕ　　・Ｉ　（ｐ－１）ｌｑ・Ｉ’　’ｌ　‘　出出≤、　（１Ｊ　Ｑ　Ｉ　ｚｆ　ｌ￣ｇｄｘｄＤ　”，口・（ＩＪ　Ｑ　Ｉ　』ｑ／Ｉｔ－‘州　Ｑ　　ＩＩ，ｅｄｘｄｔ＋ｒ￣ｆＱ　Ｉ　ｅ　Ｉ　‘　－－（ｐ－１）ｌ［ｑ－（￣－１）］出　（５）　由式（３）～（５）可得　号ｊ．Ｑ　出出＋号　。Ｉ　Ｉ　￣ｄｘｄｔ＋ｆＣｕｏ（ｚ）　（　，ｏ）如≤　７１ＪＩ　Ｑ　　Ｉ８『　ｄｘｄｔ＋ｙ２ｆＪ　Ｑ　ｌ　Ｉ　ｑ／［ｑ－－（＃－忉　一（　１）ＩＥｑ－（ｐ－１）］ｄｘｄｔ．　现在取减函数　（ｒ）∈　一　（６）　Ｒ＋满足：对任意ｒ＞Ｏ，０≤　≤１，ｒ　Ｉ　（ｒ）Ｉ≤Ｃ（Ｃ为正常数），并且　筹：　一　（　）　》　．　ｆＱ　Ｊ　ｆ　ｇ／［　（　１）］　一（　１）／［　（　１）］ｄｚｄｔＫ￣，ｐ　．　。做变换ｒ一　ｔ，　一詈，直接计算可得　ｌ￡ｌ　饥ｄｘｄｔ￣＜　，　（７）　（８）　其中：ｒｌ一一２Ｓ　＋２十Ｎ，ｒ２一一　＝　＋２＋Ｎ．　，所以７＂１＜ｏ，ｒ２＜ｏ．令Ｐ一。。，并注意到Ｕｏ（Ｘ）＞／ｏ，由　由于１＜ｓ＜１＋　，Ｐ一１＜ｑ＜夕一１＋　式（６）～（８）可知　号ｌ　ｕＳＳｄｚｄｔ＋告Ｉ　Ｉ　如出一０．　因此，ｕ（ｘ，　）三０，这与我们的假设矛盾，故必有Ｔ　＜。。．证毕．　本文利用反证法证明了一类具非负初值的带非线性梯度项的ｐ－Ｌａｐｌａｃｉａｎ方程Ｃａｕｃｈｙ问题的非平凡非　负整体解的不存在性，证明过程中除了利用能量方法和不等式技巧外，一个主要特点在于对试验函数的精细　选取，该技巧不同于通常使用的上下解方法，避免了一些繁琐的构造与计算，证明方法更加简洁明了该方法　．也适用于研究其他带非线性源的退缩非线性抛物方程解的相应问题．　８　参考文献：　泉州师范学院学报　２０１２年３月　Ｅ１３　ＫＡＬＡＳＨＮＩＫＯＶ　Ａ＆Ｓｏｍｅ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｐａｒａｂｏｌｉｃ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｓｅｃｏｎｄ口］．ＵＳＳＲ　Ｍａｔｈ　Ｎａｕｋ，１９８７，２（２）：１３５—１７６．　［２］ＬＡＤＹＺＨＥＮＳＫＹＡ　Ｏ　Ｎｅｗ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ　ｏｆ　ｉｎｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅ　ｆｌｕｉｄｓ　ａｎｄ　ｓｏｌｖａｂｉｌｉｔｙ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｌａｒｇｅ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｆｏｒ　ｔｈｅｍ口］．Ｐｒｏｅ　Ｓｔｅｋｌｏｖ　Ｉｎｓｔ　Ｍａｔｈ，１９６７（１０２）：９５—１１８．　Ｅ３３　ＬＩ　Ｙ，ＸＩＥ　Ｃ　Ｂｌｏｗ－ｕｐ　ｆｏｒ　Ｌａｐｌａｃｉａｎ　ｐａｒａｂｏｌｉｃ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ￣Ｊ＇］．Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ　Ｊ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，２００３（２０）：１－１２．　［４３　ＳＡＭＡＲＳＫＩＩ　Ａ　Ａ，ＧＡＬＡＫＴＩＯＮａＶ　Ｖ　Ａ，ＫＵＲＤＹＵＭＯＶ　Ｓ　Ｐ，ｅｔ　ａ１．Ｂｌｏｗ－ｕｐ　ｉｎ　ｑｕａｓｉｌｉｎｅａｒ　ｐａｒａｂｏｌｉｃ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｍ－］．Ｂｅｒｌｉｎ：Ｗａｌｔｅｒ　ｄｅ　Ｇｒｕｙｔｅｒ，１９９５．　１－ｓ］陈明玉．带梯度项的ｐ－Ｌａｐｌａｃｉａｎ方程正解的爆破ＥＪ３．泉州师范学院学报，２０１０，２８（４）：１－３．　［６３伍卓群，尹景学，王春朋．椭圆与抛物型方程方程引论［Ｍ］．北京：科学出版社，２００３．　Ｔｈｅ　Ｎｏｎｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　Ｇｌｏｂａｌ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｐ－Ｌａｐｌａｃｉａｎ　Ｅｑ　ｕａｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　ａ　Ｇｒａｄｉｅｎｔ　Ｔｅｒｍ　ＨＵＡＮＧ　Ｄｏｎｇ－ｌａｎ．ＣＨＥＮ　Ｍｉｎｇ－ｙｕ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｑｕａｎｚｈｏｕ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｆｕｊｉａｎ　３６２０００，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｗｅ　ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅ　ｔｈｅ　Ｃａｕｃｈｙ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｆｏｒ　ａ　ｆａｍｉｌｙ　ｏｆ　ｐ－Ｉ　ａｐｌａｃｉａｎ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｇｒａｄｉｅｎｔ　ｔｅｒｍ，ｕｎｄｅｒ　ｔｈｅ　ｃａｒｅｆｕｌ　ｃｈｏｏｓｉｎｇ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｔｅｓｔ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｔｈｅ　ｎｏｎｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　ｇｌｏｂａｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｃａｕｃｈｙ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｉｓ　ｐｒｏｖｅｄ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｅｎｅｒｇｙ　ｍｅｔｈｏｄ　ａｎｄ　ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ　ｔｅｃｈｎｉｃ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｐ－Ｌａｐｌａｃｉａｎ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；Ｃａｕｃｈｙ　ｐｒｏｂｌｅｍ；ｇｒａｄｉｅｎｔ　ｔｅｒｍ；ｇｌｏｂａｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ