上海市奉贤区2020-2021学年数学高考二模卷(解析版2021.04)

高三数学（2021.4）（完卷时间120分钟，满分150分）一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分.1、经过点(2,4)的抛物线yax2焦点坐标是【答案】(0,)

22

【解析】因为yax过(2,4)，所以a1，即yx焦点坐标是(0,)14142、把一个表面积为16平方厘米实心铁球铸成一个底面半径与球的半径一样的圆锥（假设没有任何损耗），则圆锥的高是【答案】8【解析】由已知得，S球4R216，即R2因为圆锥的底面半径与球的半径一样，所以rR2因为V球V圆锥，所以R3r2h，解得h83、已知z【答案】1【解析】由z

厘米4

3131i

（i是虚数单位）是方程x2ax10(aR)的一个根，则za1i1i

得，zi，所以zi，1i根据题意，由韦达定理可知a0，所以za1

2

0，则S114、已知各项均为正的等差数列an的前项和为Sn，若a5a7a6

【答案】22【解析】因为an为各项均为正的等差数列22

所以由a5a7a60得，2a6a60即a62或a60（舍去）所以S1111a622

5、已知某社区的家庭年收入的频率分布如下表所示，可以估计该社区内家庭的平均年收入为万元家庭年收入（以万元为单位）频率f【答案】6.51【解析】本题考察频率的计算，平均收入=区间范围中点频率由表可知，区间范围中点分别为4.5,5.5,6.5,7.5,8.5,9.5所以该社区内家庭的平均年收入为：4,50.25,66,70.20.27,80.268,90.079,100.074.50.25.50.26.50.27.50.268.50.079.50.076.51（万元）6、某参考辅导书上有这样一个题：ABC中，tanA与tanB是方程x23x10的两个根，则tanC的值为（）A.

32B.32C.12D.

12（用简短语句回答）你对这个题目的评价是【答案】错题，AB不构成三角形【解析】由已知得，tanCtanAB

tanAtanB1tanAtanB32由韦达定理易得，tanAtanB3和tanAtanB1，即tanC所以C为钝角又因为tanAtanB10，所以A或B为钝角，有矛盾.故该题目是个错题，不构成三角形7、用0、1两个数字编码，码长为4的二进制四位数（首位可以是0），从所有码中任选一码，则事件A{码中至少有两个1}的概率是【答案】11

164【解析】所有的码长为4的二进制数有216个，其中1的个数为0的有1个，1的个数为1的有4个，所以所求概率为P

161411

16168、设Sn为正数列an的前n项和，Sn1qSnS1,q1，对任意的n1,nN均有Sn14an，则q的取值为【答案】2【解析】由Sn1qSnS1,q1—①得，n2时，SnqSn1S1—②，由①-②得，an1qann2因为当n1时，S2qS1S1，即a2qa1，满足上式，所以{an}为首项为a1，公比为qq1的等比数列.因为对任意的n1,nN均有Sn14an，所以a11qn11q4a1qn1，即qn1q21

2

若q2，则q

n1q22矛盾，故q2

9、函数y3x【答案】(,4]

a

在(0,)内单调递增，则实数a的取值范围是3x1x

【解析】【法1】令t31,t2,+①当a0时，yt

a

t2为单调递增函数，t

故由同增异减法则知原函数单调递增；②当a0时，因为31值域为2，，所以原函数若为单调递增，x则a应满足a2，即a(0,4]综上，a(,4]

【法2】定义法：“任取，作差，定号”转化为恒成立问题易得a(,4]

11

10、假如x的二项展开式中x3项的系数84，则x二项展开式中系数最小的xx

项是【答案】

nn

126x1

Cnrxnr84x3，x

rr

【解析】由已知得，Tr1

rr则1Cn84,n2r3，从而有C2r384，可以证明C2r3随着r增大而增大，又r3时满足，故n9.r1112654此时x展开式中系数最小的项为C9xxxx

9511、函数f(x)cos

2x,xZ的值域有6个实数组成，则非零整数n的值是n

【答案】n10或11【解析】如图所示，画单位圆cos

22x在单位圆上，圆心角为x的点的横坐标，nn当n为偶数时，圆上共有10个点，所以n10当n为奇数时，圆上共有11个点，所以n11

所以n10或11

12、如图，已知P是半径为2，圆心角为的一段圆弧AB上的一点，若AB2BC，则3

PCPA的值域是【答案】[5213,0]【解析】如图建立坐标系，取AC中点M，则M为,0，圆心Q为(0,3)12

2292PAPC(PMMA)(PMMC)PMMAPM413其中|PM|min2|MQ|2

23|PM|maxAM

2所以值域为[5213,0]M二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13、如图，PA面ABCD，ABCD为矩形，连接AC,BD,PB,PC,PD，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（）

A.PC与BDC.PD与AB

【答案】AB.PB与DAD.PA与CD

【解析】因为ABCD为矩形，所以AC与BD不一定垂直，故A不一定成立14、下列选项中，y可表示为x的函数是（）A.3x0C.sin(arcsinx)siny

|y|2B.xy

232D.lnyx

【答案】D【解析】A.当x3时，y2；B.当x1时，y1

C.当x0时，ykkZ；D.y可唯一表示为yex故选D22

15、已知x1、x2、y1、y2都是非零实数，x1x2y1y2x1y1

2

2x

2

2

y22成立的充要条件是（）1A.x2

0

0x11y20x1x2

1001y1100y2

1B.y1

0

0x1y2

100x2

1C.y1

0

1D.x2

0

0x11y1

1001y2

【答案】C【解析】由条件展开化简2x1x2y1y2x12y22x22y12，即x1y2x2y1，分别展开四个选项验证知C成立

16、设点A的坐标为(a,b)，O是坐标原点，向量OA绕着O点顺时针旋转后得到OA，则A的坐标为（）

A.(acosbsin,asinbcos)C.(asinbcos,acosbsin)【答案】BB.(acosbsin,bcosasin)D.(bcosasin,bsinacos)

【解析】【法1】引入：【复数逆时针旋转公式：zcosisin；顺时针旋转公式：zcosisin】

因为向量OA绕着O点顺时针旋转后得到OA，设A对应的复数为zabia,bR，A对应的复数为z，





则zzcosisinabicosisinacosbsinasinbcosi

所以A为(acosbsin,bcosasin)故选B【法2】记|OA|R，终边为OA的角（之一）记为，则根据三角比的定义可知：aRcos,bRsin.经过旋转后，终边为OA'的角可表示为，故再根据三角比定义知A坐标为Rcos,Rsin=acosbsin,bcosasin，故选B

'三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．已知M、N是正四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱B1C1、C1D1的中点，异面直线MN与AB1所成角的大小为arccos

10.10（1）求证：M、N、B、D在同一平面上；（2）求二面角CMNC1的大小.【答案】（1）证明略；（2）arccos

33.3318．设函数f(x)lg(1cos2x)cos(x)，[0,).（1）讨论函数yf(x)的奇偶性，并说明理由；（2）设0，解关于x的不等式f(

23x)f(x)0.442【答案】（1）当0时，f(x)为偶函数；当(0,)时，f(x)为非奇非偶函数；（2）x(

3

2k,2k)U(2k,2k)，kZ.2219.假设在一个以米为单位的空间直角坐标系Oxyz中，平面xOy内有一跟踪和控制飞行机器人T的控制台A，A的位置为(170,200,0)，上午10时07分测得飞行机器人T在P(150,80,120)处，并对飞行机器人T发出指令：以速度v113米/秒沿单位向量ur3124

d1(,,)作匀速直线飞行（飞行中无障碍物），10秒后到达Q点，再发出指令让131313机器人在Q点原地盘旋2秒，在原地盘旋过程中逐步减速并降速到8米/秒，然后保持8米/uur121

秒，再沿单位向量d2(,,)作匀速直线飞行（飞行中无障碍物），当飞行机器人222T最终落在平面xOy内发出指令让它停止运动，机器人T近似看成一个点.（1）求从P点开始出发20秒后飞行机器人T的位置；（2）求在整个飞行过程中飞行机器人T与控制台A的最近距离（精确到米）.【答案】（1）T(212,200322,48)；（2）最近距离约为81米.x2y2x2y2

1与曲线1（a0）在第一象限的交点为A，曲线是C是20.曲线1a49ax2y2x2y2

1（1xxA）和1（xxA）组成的封闭图形，曲线C与x轴的左1a49a交点为M、右交点为N.x2y2x2y2（1）设曲线1与曲线1（a0）具有相同的一个焦点F，求线段AF

1a49a的方程；（2）在（1）的条件下，曲线C上存在多少个点S，使得NSNF，请说明理由；（3）设过原点O的直线l与以D(t,0)（t0）为圆心的圆相切，其中圆的半径小于1，切uuur2

11

点为T，直线l与曲线C在第一象限的两个交点为P、Q，当uuur2uuur2OT对任意直OPOQ

线l恒成立，求t的值.【答案】（1）A,（3）t1

724

,a24,；（2）NS2，2个S；（3）t155

21.设数列{an}满足：an1

anksinan

ankcosan

anan1anan1

，an1an，设a1a，a2b.（1）设b

5，k，若数列的前四项a1、a2、a3、a4满足a1a4a2a3，求a；6（2）已知k0，n4，nN，当a(0,)，b(0,)，ab时，判断数列{an}是否能成等差数列，请说明理由；22（3）设a4，b7，k1，求证：对一切的n1，nN，均有a6【答案】（1）

7.25；（2）；（3）；3