椭圆中长度最值问题的解法

２０１６年１２月第３４期　数理化解题研究　＝　椭圆中长度最值问题的解法　江苏省南通市如皋市第二中学（２２６５００）　张丽●　｜　３％　ａ强☆　ｌ　ｌ　哪　嚣％％　一　摘要：圆锥曲线中的椭圆毫无疑问是高考的最热门考点，每年都会有考查，而椭圆中的长度最值也是椭圆问题中的热点问题．　椭圆中要求的长度无非就是某一线段的长度或者是几条线段的长度之和，只要灵活地运用解题方法是可以解决这一问题的．　关键词：椭圆定义；函数法；三角转换　中图分类号：Ｃ６３２　文献标识码：Ｂ　文章编号：１００８－０３３３（２０１６）３４—００２１—０１　在圆锥曲线的题目中最让学生头疼的莫过于庞大的　计算量，不仅会给解题带来不便还会影响解题的准确率．　Ｉ　Ｊ　＝（　一　）　＋Ｙ　＝÷　一２ｔｘ＋￡　＋１（一２≤　≤２），对　本文介绍的三种不同方法致力于简化繁琐的计算过程，　称轴为　＝－ｕ　ｔ．根据对称轴位置的不同分三种情况讨论，　实现问题的简单化，对症下药，帮助学生跨越这段鸿沟．　一、运用椭圆定义求长度最值　（１）÷　＜一２时，Ｉ　ＰＡ　Ｉａｒ，￣＝Ｉ　ｆ＋２　Ｉ；（２）一２≤÷　≤２时，　椭圆的基本定义：到两定点　、　的距离之和为常　数（大于１　Ｆ：１）的动点的轨迹叫做椭圆．由此定义我们　厂—Ｔ　可以得出椭圆最重要也是最基本的性质，即椭圆上的点　　ＩＰＡ　＝√１一下ｔ；（３）÷￡＞２时，Ｉ　ＰＡ　Ｉｍｉ￣＝Ｉ　一２　１．　到两焦点的距离之和为定值，透彻理解并且灵活运用这　本题中由于点Ａ位置的不确定性，使得最小值的取　一性质会给解题带来很大的便利．　值也不同，是较为开放的题目．学生在解答此类问题时按　２　２　照求二次函数的最值方法去做即可，不必为多解情况感　例１椭圆方程为等＋｝＝　Ｐ　到担忧．同时在解此类问题时需要注意的是消去Ｙ后自变　／　１，Ｆ　、Ｆ２为其两个焦点，有一定点　量的取值范围．　二、将长度最值用点参法转化为三角最值　Ａ（１，１）以及椭圆上一动点Ｐ，求　ｌ　ＰＦ　Ｉ＋Ｉ　ｌ的最小值．　点参法的实质就是通过三角换元，将长度问题转化　解析　如图所示，连接Ｆ：Ａ　为求三角最值的问题，实现了问题的化简，从而解决了长　并延长与椭圆交于点Ｐ　，连接Ｐ　Ｆ　、ＰＦ２．由椭圆方程可知　度最值问题．　ａ＝３，ｃ＝２．故Ｊ　Ａ　ｌ＝４２，此时有Ｊ　ＰＦ　Ｊ＋ｌ　ＰＦ２　ｌ＝　例３设Ｑ为椭圆　＋ａ２ｙ　＝ａ　（ａ＞１）上一动点，Ｐ　Ｉ　Ｐ　Ｆ１　ｌ＋Ｊ　Ｐ　Ｆ２　ｌ，故有ｌ　ＰＦ１　ｌ＋ｆ尸＝ａ　Ｊ＋ｌ　Ａ　Ｉ≥ｌ　Ｐ　Ｆ】Ｉ＋　为椭圆短轴的一个端点，求Ｉ尸Ｑ　Ｉ的最大值．　　ｌＰ　Ａ　ｌ＋Ｊ　ＡＦ２　ｌ，因此ｌ　ＰＦ】ｌ＋Ｉ　Ａ　Ｉ≥ｌ　Ｐ　Ｆ１　ｌ＋ｌ　Ｐ　Ａ　ｌ＝６　解析本题可以用上面提到的函数法进行解决，但　较为复杂．现用点参法可知点Ｐ的坐标为（０，１），设Ｑ点　一　．最小值为当点Ｐ与Ｐ　重合时取得．　本题中利用了三角形两边之和大于第三边这一大家　的坐标为（ａｃｏｓｌｆ，ｓｉ　），ＩＰＱｌ＝　ｏ　ｃｏｓ　＋（ｓｉ　一１）　熟知的结论，进而根据椭圆定义巧妙解题．在实际做题　＝中，类似于此种结论对我们解距离最值类问题有很大的　＾Ｖ／（　１一ａ２）（ｓｉｎ￣＋　ａ一１　）＋１＋０　＋　ＩⅡ＿一１　．由于Ｉ　ｓｉ　Ｉ≤　帮助，学生应该多多练习，实现对知识的全面掌握．　二、函数法解决长度最值　１，ｏ＞１故有当击≤１时，ＩＰＱｌ一＝　．当　ｌ＿　函数法就是利用题目中的数量以及等式关系建立一　个函数，通过学过的有关函数方面的相关知识（例如利用　＞１时，ｌ　ＰＱ　ｌ一　√（１一。　）（一１＋　）＋１＋ａ２＋　函数的单调性、二次函数的知识等）进行解题．　＝２．　例２　已知椭圆　＋４ｙ　＝４及点Ａ（ｔ，０），点Ｐ为椭　通过引参用参对代数运算进行化简是此种方法的最　圆上一动点，求Ｉ　ｌ的最小值．　终目的，也是此种方法的优势所在．不光在椭圆中可以采　解析虽然本题中也存在椭圆上的点，但是由于点Ａ　用此种方法，不同的圆锥曲线都有其自己的参数表达式，灵活　的位置是不确定的，故通过椭圆的定义来解题是不现实　适当地运用此种方法，确实会给我们的解题带来便利．　的，这时就用到了传统的求两点间距离的方法，我们注意　纵观全文，三种方法的介绍从不同角度阐释了椭圆　到，由于点Ｐ在椭圆上，故点Ｐ的Ｙ轴坐标可以用　来表　中长度最值问题的解法，其中既有数形结合思想的体现　示，这是我们在学习解析几何时最乐于看到的，这样就可　也有转化思想的应用，对于高中的数学思想学生需要在　以实现未知数的统一，便于利用函数知识解题．设Ｐ点坐　做题中加以总结，并且打开自己的思维，从不同的角度去　标为（　，Ｙ），由两点之间的距离公式可得出如下等式　思考问题，实现自身解题能力的提升．　一２１—