圆锥曲线经典性质总结及证明

椭圆双曲线的经典结论

一、椭 圆

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.（椭圆的光学性质）

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径

的圆，除去长轴的两个端点.（中位线）

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直

径的圆内切.（第二定义）

x2y2xxyy4. 若P0(x0,y0)在椭圆221上，则过P0的椭圆的切线方程是02021.（求

abab导）

x2y25. 若P0(x0,y0)在椭圆221外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点

abxxyy弦P1P2的直线方程是02021.（结合4）

abx2y26. 椭圆221 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点

abF1PF2，则椭圆的焦点角形的面积为SF1PF2b2tan半角公式）

2.（余弦定理+面积公式+

x2y27. 椭圆221（a＞b＞0）的焦半径公式：

ab|MF1|aex0,|MF2|aex0(F1(c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).（第二定义）

8. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和

AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF

9. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q

交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF. MN其实就在准线上，下面证明他在准线上

根据第8条，证毕

x2y210. AB是椭圆221的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则

abb2kOMkAB2，

ab2x0即KAB2。（点差法）

ay0x2y211. 若P0(x0,y0)在椭圆221内，则被Po所平分的中点弦的方程是

abx0xy0yx02y02222.（点差法） 2ababx2y212. 若P0(x0,y0)在椭圆221内，则过Po的弦中点的轨迹方程是

abx2y2x0xy0y222.（点差法） 2abab二、双曲线

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.（同上）

2. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为

直径的圆，除去长轴的两个端点.（同上）

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.（同上）

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：

P在左支）（同上）

x2y25. 若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）上，则过P0的双曲线的切线方程

abxxyy是02021.（同上） abx2y26. 若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切

abxxyy线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是02021.（同上）

abx2y27. 双曲线221（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意

ab2一点F1PF2，则双曲线的焦点角形的面积为SF1PF2bcot2.（同上）

x2y28. 双曲线221（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F1(c,0) , F2(c,0)

ab当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a.

当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a（同上） 9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，

连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.（同上） 10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，

A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.（同上）

x2y211. AB是双曲线221（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB

abb2x0b2x0的中点，则KOMKAB2，即KAB2。（同上）

ay0ay0x2y212. 若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的

abx0xy0yx02y02方程是2222.（同上）

ababx2y213. 若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方

abx2y2x0xy0y程是2222.（同上）

abab

椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

椭 圆

x2y21. 椭圆221（a＞b＞o）的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直

abx2y2线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是221.

ab证明

x2y22. 过椭圆221 (a＞0, b＞0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直

abb2x0线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且kBC2（常数）.

ay0证明

x2y23. 若P为椭圆221（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点,

abPF1F2, PF2F1，则

证法1（代数）

actancot. ac22

证

法

二

（

几

何

）

x2y24. 设椭圆221（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上

ab任意一点，在△PF1F2中，记F1PF2, PF1F2,F1F2P，则有

since.（上条已证）

sinsinax2y25. 若椭圆221（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0

ab＜e≤21时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y26. P为椭圆221（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，

ab则2a|AF2||PA||PF1|2a|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.

(xx0)2(yy0)21与直线AxByC0有公共点的充要条件是7. 椭圆

a2b2A2a2B2b2(Ax0By0C)2. x2y28. 已知椭圆221（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ.

ab4a2b2111122

;（1）（2）|OP|+|OQ|的最大值为2;（3）SOPQab2|OP|2|OQ|2a2b2a2b2的最小值是2.

ab2证明

x2y29. 过椭圆221（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦

ab|PF|e. MN的垂直平分线交x轴于P，则

|MN|2证明

（图片有误，ep=b^2/a）

x2y210. 已知椭圆221（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分

aba2b2a2b2x0线与x轴相交于点P(x0,0), 则. aax2y211. 设P点是椭圆221（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点

ab2b22记F1PF2，则(1)|PF1||PF2|.(2) SPF1F2btan.

1cos2x2y212. 设A、B是椭圆221（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，

abPAB, PBA,BPA，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有

2ab2|cos|2a2b22cot. (1)|PA|2.(2) tantan1e.(3) SPAB22ac2cos2bax2y213. 已知椭圆221（ a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F

ab

的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

证明

14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应

焦点的连线必与切线垂直.（之前有类似的）

15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦

半径互相垂直.

16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数

e(离心率). （角分线定理+合比公式）

（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.（角分线定理） 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.（角分线定理）

双曲线

x2y21. 双曲线221（a＞0,b＞0）的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与y轴

abx2y2平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是221.（同

ab上）

x2y22. 过双曲线221（a＞0,b＞o）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互

abb2x0补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且kBC2（常数）.

ay0（同上）

x2y23. 若P为双曲线221（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1,

abF 2是焦点, PF1F2, PF2F1，则

catancot（或ca22catancot）.（同上） ca22x2y24. 设双曲线221（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）

ab为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记F1PF2,

PF1F2,F1F2P，则有

since.（同上）

(sinsin)ax2y25. 若双曲线221（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，

ab则当1＜e≤21时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y26. P为双曲线221（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线

ab内一定点，则|AF2|2a|PA||PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P和

A,F2在y轴同侧时，等号成立.

x2y27. 双曲线221（a＞0,b＞0）与直线AxByC0有公共点的充要条

ab22222件是AaBbC.

x2y28. 已知双曲线221（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，

ab且OPOQ. 4a2b2111122

22;（1）（2）|OP|+|OQ|的最小值为2;（3）SOPQ222ba|OP||OQ|aba2b2的最小值是2.（同上） 2bax2y29. 过双曲线221（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于

ab|PF|e.（同上） M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则

|MN|2x2y210. 已知双曲线221（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的

aba2b2a2b2垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0), 则x0或x0.

aax2y211. 设P点是双曲线221（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2

ab2b2为其焦点记F1PF2，则(1)|PF1||PF2|.(2)

1cosSPF1F2b2cot.（同上）

2x2y212. 设A、B是双曲线221（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的

ab一点，PAB, PBA,BPA，c、e分别是双曲线的半焦距

2ab2|cos|离心率，则有(1)|PA|2.

|ac2cos2|(2) tantan1e.(3) SPAB22a2b22cot. ba2x2y213. 已知双曲线221（a＞0,b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲

ab线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx

轴，则直线AC经过线段EF 的中点.（同上）

14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交

点与相应焦点的连线必与切线垂直.（同上）

15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连

双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).（同上）

(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).（同上）

16. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.

（同上）

17. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.（同上）

x2y218. 已知椭圆221上一点P0(x0,y0)，以直线与椭圆交于M,N两点，恒有

aba2b2b2a2,y02) P0M⊥PON，则直线横过(x0222abab证

明

x2y219. 已知椭圆221，不再椭圆上的一点P，过P做倾斜角互补的两直线，

ab与椭圆交于A,B,C,D四点，则A,B,C,D四点共圆

证明

其他常用公式：

1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：AB1k2x1x211y1y2 k2(A,B不同时为0)的形式。

2、直线的一般式方程：任何直线均可写成3、知直线横截距与直线

，常设其方程为垂直的直线可表示为

(它不适用于斜率为0的直线)

。

4、两平行线5、若直线则

6、圆的一般方程：

（斜率）且

与直线

（在

间的距离为

平行

。

轴上截距） （充要条件）

，特别提醒：只有当

时，方程才表示圆心为，半径为

的圆。二元二次方程

条件是

且

且

。

表示圆的充要

7、圆的参数方程：

的参数方程的主要应用是三角换元：

8、切线长：过圆的切线的长为

（为参数），其中圆心为，半径为。圆；

为直径端点的圆方程

（（

）外一点

）

所引圆

9、弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距，弦长一半及圆的半径所构成

的直角三角形来解：共弦)系为在直线方程.。

，当

；②过两圆

时，方程

、交点的圆(公为两圆公共弦所

抛物线焦点弦性质总结30条

1. 以AB为直径的圆与准线L相切；

p22. x1gx2;

423. y1gy2p;

4. AC'B90; 5. A'FB'90;

6. ABx1x2p2(x37.

oop2p; )22sin112; AFBFP''8. A、O、B三点共线； 9. B、O、A三点共线；

P210. SVAOB；

2sin

SV2AOBP()3（定值）11. ； AB2PP；BF；

1cos1cos''13. BC垂直平分BF；

'14. AC垂直平分A'F；

'15. CFAB； 16. AB2P；

12. AF17. CC'18. KAB=11AB(AA'BB')； 22P； y3y19. tan=2p;

x2-220. A'B'4AFBF; 21. C'F21A'B'. 222. 切线方程 y0ymx0x

3、AB是抛物线y2px（p＞0）焦点弦，Q是AB的中点，l是抛物线的准线，AA1l，

2BB1l，过A，B的切线相交于P，PQ与抛物线交于点M．则有

结论6PA⊥PB． 结论7PF⊥AB． 结论8 M平分PQ．

结论9 PA平分∠A1AB，PB平分∠B1BA． 结论10FAFBPF 结论11SPABmin2p2

二)非焦点弦与切线

思考：当弦AB不过焦点，切线交于P点时， 也有与上述结论类似结果： 结论12 ①xpy1y2yy2，yp1 2p2结论13 PA平分∠A1AB，同理PB平分∠B1BA．

结论14 PFAPFB 结论15 点M平分PQ 结论16 FAFBPF

2