2008年四川

2008年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)

理科数学

说明：2008年是四川省高考自主命题的第三年，因突遭特大地震灾害，四川六市州40县延考，本卷为非延考卷． 一、选择题：（5'1260'）

1．若集合U{1,2,3,4,5}，A{1,2,3}，B{2，3，4}，则CU(AB)（ ） A．{2,3} B．{1,4,5} C．{4,5} D．{1,5}

解析：选B．离散型集合的交并补，送分题．难度为三年来最低，究其原因，盖汶川地震之故．

2．复数2i(1i)2（ ）

A．4 B．4 C．4i D．4i

解析：选A．计算题，无任何陷阱，徒送分耳．2008四川考生因祸得福． 3．(tanxcotx)cos2x（ ）

A．tanx B．sinx C．cosx D．cotx 解析： 原式

sinxcosxcos3x2()cosxsinxcosx cosxsinxsinxsin2xcosxcos3xcosx(sin2xcos2x)

sinxsinxcosxcotx， sinx选D．同角三角函数基本关系式，切化弦技巧等，属三角恒等变换范畴，辅以常规的代数变形．中等生无忧．

4．直线y3x绕原点逆时针旋转90，再向右平移1个单位后所得的直线为（ ）

A．y1111x B．yx1 C．y3x3 D．yx1 333311．再右移1得y(x1)．选A． 33解析：本题有新意，审题是关键．

旋转90则与原直线垂直，故旋转后斜率为本题一考两直线垂直的充要条件，二考平移法则．辅以平几背景之旋转变换． 5．若02，sin3cos，则的取值范围是（ ）

A．(43,) B．(,) C．(,) D．(,) 3233332解析：sin3cos，即sin又由02，得3cossin(即20，

)0，in()0；即s

335；

3334综上，0，即．选C．本题考到了正弦函数的正负区间．

333除三角函数的定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性之外，还要记对称轴、

对称中心、正负区间．

3，4，5题是本卷第一个坡，是中差生需消耗时间的地方．

6．从包括甲、乙共10人中选4人去参加公益活动，要求甲、乙至少有1人参加，则不同的

9



选法有（ ）

A．70 B．112 C．140 D．168

44解析：审题后针对题目中的至少二字，首选排除法．C10C821070140．选C．本

题应注意解题策略．

7．已知等比数列{an}中，a21，则该数列前三项和S3的取值范围是（ ）

A．(,1] B．(,0)(1,) C．[3,) D．(,1][3,) 解析：S3x11111(x0)．由双勾函数yx的图象知，x2或x2，xxxx故本题选D．本题主要考查等比数列的相关概念和双勾函数的图象和性质．以上诸题，基本

功扎实的同学耗时不多．

8．设M、N是球O的半径OP上的两点，且NPMNOM，分别过N、M、O作垂直于OP的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为（ ）

A．3：5：6 B．3：6：8 C．5：7：9 D．5：8：9

解析：由题知，M、N是OP的三等分点，三个圆的面积之比即为半径的平方之比．在球的轴载面图中易求得：

R28R22R25R2282522R())，R(，故三个圆的半径的平方之比为：R:R:R，

9939392故本题选D．本题着意考查空间想象能力．

9．设直线l平面，过平面外一点A且与l、都成30角的直线有且只有（ ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

解析：所求直线在平面内的射影必与直线l平行，这样的直线只有两条，选B．本题考查空间角的概念和空间想象能力．

10．设f(x)sin(x)，其中0，则函数f(x)是偶函数的充分必要条件是（ ）

A．f(0)0 B．f(0)1 C．f'(0)1 D．f'(0)0 解析：本题考查理性思维和综合推理能力．函数f(x)是偶函数，则故排除A，B．

又f'(x)cos(x)，殊化思路，取1，2k，f(0)1，

2k，f'(0)0．选D．此为一般化思路．也可走特

2验证．

11．定义在R上的函数f(x)满足：f(x)f(x2)13，f(1)2，则f(99)（ ）

132 D． 213x2)f(x4)13解析：由f(x)f(x2)13，知f(A．13 B．2 C．是周期函数，

周期为4．所以f(99)f(3424)f(3)，所以f(x4)f(x)，即f(x)1313．选C．题着意考查抽象函数的f(1)2性质．赋值、迭代、构造是解抽象函数问题不可或缺的三招．本题看似艰深，实为抽象函数问题中的常规题型，优生要笑了．

212．设抛物线C:y8x的焦点为F，准线与x轴相交于点K，点A在C上且

AK2AF，则AFK的面积为（ ）

A．4

B．8

C．16

D．32

2解析：解几常规题压轴，不怕．边读题边画图．y8x的焦点F(2,0)，准线x2，

K(2,0)．设A(x,y)，由AK2AF，得(x2)2y22(x2)2y2，即

9

(x2)2y22[(x2)2y2]．化简得：

y2x212x4，与y28x联立求解，解得：

11y4．SAFKFKyA448，选B．

22x2，

本题的难度仅体现在对运算的准确性和快捷性上．

点评：

（1）纵观12道选择题，没有真正意义上的压轴题，这是大众数学时代的来临呢，还是沾了2008地震的光?

（2）真正体现了多考点想，少考点算的一套试题，做到了言而有信．

（3）进一步体现了回归教材的意图，在高三复习中，题海战术应被教材串讲取而代之． （4）全面考查双基，基础扎实的同学受益，走难偏深押题路线的策略得不偿失． （5）周考月考的命题意图命题方向命题难度值得反思．

二、填空题：（4'416'） 13．(12x)3(1x)4的展开式中x项的系数是 答案：6． 解析：

二

项

式

定

理

再

现

，

难

度

高

于

文

212122科．(12x)3(1x)4(1C32xC34x2)(1C4xC4x)

2112x2项的系数是C42C3C44C3624126．这是中档略偏难的常规题．中差生在

准确性和快捷性上有缺陷．

14．已知直线l:xy60，圆C:(x1)2(y1)22，则圆C上各点到直线l的距离的最小值是

答案：22．

解析：由数想形，所求最小值＝圆心到到直线的距离－圆的半径．圆心(1,1)到直线

xy60的距离d632．故最小值为32222． 215．已知正四棱柱的一条对角线长为6，且与底面所成的角的余弦值为柱的体积是 ． 答案：2．

3，则该正四棱3a2a2h26a12解析：由题意，，Vah2 2a3，h2cos3616．设等差数列{an}的前n项和为Sn，S410，S515，则a4的最大值是 .

答案：4．

434ad104a16d102a13d512解析：由题意，，即，，a4a13d．

545a10d15a2d3115ad1512这是加了包装的线性规划，有意思．建立平面直角坐标系a1od，画出可行域

2a13d5（图略），画出目标函数即直线a4a13d，由图知，当直线a4a13d过a12d3可行域内(1,1)点时截距最大，此时目标函数取最大值a44．本题明为数列，实为线性规

9

划，着力考查了转化化归和数形结合思想．掌握线性规划问题＂画－移－求－答＂四步曲，理解线性规划解题程序的实质是根本．这是本题的命题意图．

因约束条件只有两个，本题也可走不等式路线．设

2111解得，∴a13d1(2a13d)2(a12d)，由1231223232a3d5 a13d(2a13d)3(a12d)，由不等式的性质得：1a12d3(2a13d)5 (2a13d)3(a12d)4，即a4a13d4，a4的最大值3(a2d)91是4．

从解题效率来看，不等式路线为佳，尽管命题者的意图为线性规划路线．本题解题策略的选择至关重要． 点评：

（1）二项式定理，直线和圆的方程，正四棱柱，数列几个知识点均为前两年未考点． （2）无多选压轴题．无开放性压轴题．易入手，考不好考生只能怪自已．题出得基础，出得好，出得妙．尤其是第16题．

三、解答题：（12'12'12'12'12'14'76'）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．求函数y74sinxcosx4cos2x4cos4x的最大值和最小值． 解析：y74sinxcosx4cos2x4cos4x

84sinxcosx14cos2x4cos4x 84sinxcosx(12cos2x)2 82sin2xcos22x 82sin2x(1sin22x) 72sin2xsin22x 6(1sin2x)2 ymax10，ymin6．

解析：y74sinxcosx4cos2x4cos4x

72sin2x4cos2x(1cos2x) 72sin2x4cos2xsin2x 72sin2xsin22x 6(1sin2x)2 ymax10，ymin6．

点评：一考三角恒等变换，二考三角函数与二次函数相结合，意在避开前几年固定套路．由此观之，一味追前两年高考试题套路之风有踏空之嫌，立足考点回归教材方为根本．

18．设进入某商场的每一位顾客购买甲商品的概率0.5，购买乙商品的概率为0.6，且顾客购买甲商品与购买乙商品相互独立，每位顾客间购买商品也相互独立． （Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （Ⅲ）设是进入商场的3位顾客至少购买甲、乙商品中一种的人数，求的分布列及期望． 解析：题目这么容易，估计今年的评分标准要偏严了． （Ⅰ）P0.5(10.6)(10.5)0.60.20.30.5

9

（Ⅱ）P1(10.5)(10.6)0.8 （Ⅲ）可取0，1，2，3．

0P(0)C3(10.8)30.008

1P(1)C3(10.8)20.80.096

23P(2)C3(10.8)0.820.384 P(3)C30.830.512 的分布列为

0 1 2 3  0.008 0.096 0.384 0.512 P ~B(3,0.8) E30.82.4．

点评：返朴归真，教材难度，审题无障碍．平和中正之风宜大力提倡．

19．如图，面ABEF面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，

11//AD，BE//AF． BADBAF90，BC22（Ⅰ）求证：C、D、E、F四点共面；

（Ⅱ）若BABCBE，求二面角AEDB的大小．

解析：不是会不会的问题，而是熟不熟的问题，答题时间是最大问题． （Ⅰ）∵面ABEF面ABCD，AFAB90 ∴AF面ABCD．

∴以A为原点，以AB，AD，AF所在直线为x轴，y轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系Axyz．

不妨设ABa，AD2b，AF2c，则

A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a,b,0)，D(0,2b,0)，E(a,0,c)，

B E

F A C

D

F(0,0,2c)．

 ∴DF(0,2b,2c)，CE(0,b,c)，∴DF2CE，

∴DF//CE，

∵EDF，∴DF//CE， ∴C、D、E、F四点共面．

（Ⅱ）设AB1，则BCBE1，∴B(1,0,0)，D(0,2,0)，E(1,0,1)．

设平面AED的法向量为n1(x1,y1,z1)，

x1z10n1AE0 由，得，n1(1,0,1)

2y10n1AD0 设平面BED的法向量为n2(x2,y2,z2)

z20n2BE0由，得，n2(2,1,0) x22y20n1BD0nn2210 cosn1,n21 525n1n2 由图知，二面角AEDB为锐角，∴其大小为arccos10． 5点评：证共面就是证平行，求二面角转为求法向量夹角，时间问题是本题的困惑处．心浮气燥会在计算、书写、时间上丢分．因建系容易，提倡用向量法．本时耗时要超过17题与18

9

题用时之和．

20．设数列{an}满足：ban2n(b1)Sn． （Ⅰ）当b2时，求证：{ann2n1}是等比数列； （Ⅱ）求an通项公式．

解析：由题意，在ban2n(b1)Sn中，令n1，得ba12(b1)a1，a12． 由ban2n(b1)Sn

得ban12n1(b1)Sn1(n2,nN*) 两式相减得：b(anan1)2n1(b1)an

即anban12n1(n2,nN*) …………① （Ⅰ）当b2时，由①知，an2an12n1 于是ann2n12an1(n1)2n1

2[an1(n1)2n2](n2,nN*)

又a1121110，所以{ann2n1}是首项为1，公比为2的等比数列． （Ⅰ）变：当b2时，求an的通项公式．解法如下：

解：当b2时，由①知，an2an12n1

anan11n1(n2,nN*) n222anan11n1(n2,nN*) n222aa111 } ∴{n是等差数列，公差为，首项为

222na111(n1)(n1) ∴nn222∴an(n1)2n1（∴ann2n12n1，∴{ann2n1}是等比数列，首

两边同时除以2得

n项为1，公比为2）

（Ⅱ）当b2时，由（Ⅰ）知，ann2n12n1，即an(n1)2n1

当b2时，由①：anban12n1 两边同时除以2得

anban11n1 n2222aban1(n1) …………② 可设nn222aanban11ban1b2比较， 展开②得n，与2n22n122n22n12b211，∴得． 22b2a1ban11() ∴n2nb222n1b2ab11b1}1∴{n是等比数列，公比为，首项为

22nb2b2b2n9

an1b1bn1() 2nb2b22ab1bn11()∴n n2b22b2bn112(b1)bn12nnb1∴an2 ()b22b2b2∴

点评：这是第一道考查＂会不会＂的问题．如若不会，对不起，请先绕道走．对大多数考生

而言，此题是一道拦路虎．可能比压轴题还让人头痛．原因是两个小题分别考到了两种重要的递推方法．递推数列中对递推方法的考查，有30年历史了，现在只是陈题翻新而已．不过此题对考生有不公平之嫌．大中城市参加过竞赛培训的优生占便宜了．解题有套方为高啊．

x2y2221．设椭圆221(ab0)的左、右焦点分别是F1、F2，离心率e，右准线

ab2l上的两动点M、N，且FMF2N0． 1（Ⅰ）若F1MF2N25，求a、b的值；

（Ⅱ）当MN最小时，求证FMF2N与F1F2共线． 1y 解析：数列和解几位列倒数第三和第二，意料之中．开始挤牙膏吧．

M 2c2122（Ⅰ）由已知，F1(c,0)，F2(c,0)．由e，2，∴a2c．

a222222222又abc，∴bc，a2b．

a22c22c，M(2c,y1)，N(2c,y2)． ∴l：xcc延长NF2交MF1于P，记右准线l交x轴于Q． ∵FF2N．F1MF2N 1MF2N0，∴FM1由平几知识易证RtMQF1≌RtF2QN ∴QNFQ3c，QMF2Qc 1即y1c，y23c．

x F1 O F2 N ∵F1MF2N25，

∴9cc20，c2，b2，a4．

222222．

2（Ⅰ）另解：∵FM，∴，(3c,y)(c,y)0yy3c0． FN0121212又F1MF2N25

∴a2，by1y23c222222联立9cy120，消去y1、y2得：(209c)(20c)9c，

22cy20222整理得：9c209c4000，(c2)(9c200)0．解得c2．但解此方程组要考倒不少人．

422（Ⅱ）∵FMF2N(3c,y1)(c,y2)0，∴y1y23c20． 19

22MNy1y2y12y222y1y22y1y22y1y24y1y212c2．

当且仅当y1y23c或y2y13c时，取等号．此时MN取最小值23c．

此时FMF2N(3c,3c)(c,3c)(4c,0)2F1F2． 1∴FMF2N与F1F2共线． 1（Ⅱ）另解：∵FMF2N0，∴(3c,y1)(c,y2)0，y1y23c2． 11 设MF1，NF2的斜率分别为k，．

k1y(xc)yk(xc)c由 y13kc，由yk2kx2cx2c1131时取MNy1y2c3k23c．当且仅当3k即k2，kk33k等号．

3即当MN最小时，k，

3c此时F1MF2N(3c,3kc)(c,)(3c,3c)(c,3c)(4c,0)2F1F2．

k∴FMF2N与F1F2共线． 1点评：本题第一问又用到了平面几何．看来，与平面几何有联系的难题真是四川风格啊．注意平面几何可与三角向量解几沾边，应加强对含平面几何背景的试题的研究．本题好得好，出得活，出得妙！均值定理，放缩技巧，永恒的考点．

22．已知x3是函数f(x)aln(1x)x210x的一个极值点． （Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅲ）当直线yb与函数yf(x)的图像有3个交点，求b的取值范围．

解析：似曾相识．通览后三题，找感觉，先熟后生，先易后难，分步得分．本卷后三难中，压轴题最熟最易入手．

（Ⅰ）f(x)aln(1x)x210x

a2x10 1xx3是函数f(x)aln(1x)x210x的一个极值点．

af'(3)40

4a16

（Ⅱ）由（Ⅰ）f(x)16ln(1x)x210x，x(1,)．

f'(x)216x2x86x2(x1)(3))2x10 f'(x 1xx1x1令f'(x)0，得x1，x3． f'(x)和f(x)随x的变化情况如下：

x (1,1) (1,3) (3,) 3 1 9

极大值 减 极小值 f(x)的增区间是(1,1)，(3,)；减区间是(1,3)． f'(x) f(x)  增 0  0  增 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，f(x)在(1,1)上单调递增，在(3,)上单调递增，在(1,3)上单调递减．

∴f(x)极大f(1)16ln29，f(x)极小f(3)32ln221． 又x1时，f(x)；x时，f(x)； 可据此画出函数yf(x)的草图（图略），由图可知，

当直线yb与函数yf(x)的图像有3个交点时，b的取值范围为

(32ln221,16ln29)．

点评：压轴题是这种难度吗？与前两年相比档次降得太多了．太常规了，难度尚不及20题和21题．天上掉馅饼了吗？此题当为漏掉定义域者戒．

9