误差理论习题答疑
目录
1. 绪论
2. 误差基本原理
3. 误差的合成与分解
4. 最小二乘法原理
5. 回归分析
绪论
绪论1-4
1-4 在测量某一长度时，读数值为2.31m, 其最大绝对误差为20um，试求其最大相对误差。
解：最大相对误差≈（最大绝对
误差）/测得值，
1
绪论1-5
1-5 使用凯特摆时，由公式。 给定。今测出长度 给定。今测出长度
为(1.04230 0.00005)m , 振动时间T为(2.0480 0.0005)s 。试求g 及最大相对误差。如果
测出为 (1.04220 0.0005)m ，为了使g的误差能小于
，T的测
量必须精确到多少？
解：由
，
得对得
进行全微分，令
，从而
的最大相对误差为：
由
得
，所以，
。
绪论1-7
1-7 为什么在使用微安表时，总希望指针在全量程的2/3范围内使用？
,解：设微安表的量程为大误差
,相对误差
，测量时指针的指示值为X，微安表的精度等级为S，最，一般
故当X越接近
相对误差就越小，故在使用
微安表时，希望指针在全量程的2/3范围内使用。
2
绪论1-9
,1-9 多级弹导火箭的射程为10000km时，其射击偏离预定点不超过0.1km,优秀选手能在距离50m远处准确射中直径为2cm的靶心，试评述哪一个射击精度高？
解：火箭射击的相对误差：所以，相比较可见火箭的射击精度高。
选手射击的相对误差：
绪论1-10
,1-10 若用两种测量方法测量某零件的长度L1=100mm，其测量误
差分别为误差为
而用第三种方法测量另一零件的长度L2 =150mm ，其测量
，试比较三种测量方法精度的高低.
解：第一种方法测量的相对误差为：
第二种方法测量的相对误差为：
第三种方法测量的相对误差为：
相比较可知：第三种方法测量的精度最高，第一种方法测量的精度最低。
第二章：误差基本原理
3
1.算术平均值
2.标准差及算术平均值的标准差
3.测量结果表达方式
4.粗大误差判断及剔除
误差基本原理2-2
,
2-2 测量某物体共8次，测得数据（单位为g）为236.45，236.37，23.51，236.34，236.39，236.48，236.47，236.40。试求算术平均值及其标准差.
, 解：算术平均值为：
算术平均值的标准差是：
2-3 用别捷尔斯法、极差法和最大误差法计算习题2-2的标准差，并比较之。
4
解：①别捷尔斯法：
：
查表得：
，所以
,③最大误差法：查表得：所以，
综上所述，用贝塞尔公式得到的标准差是0.0212g，别捷尔斯法计算得
到的标准是0.02427g、极差法是0.02109g和最大误差法是0.01941g，故最大误差法计算的得到的标准差最小，别捷尔斯法最大。
2-9 已知某仪器测量的标准差为0.5 m 。① 若在该仪器上，对某一轴径测量一
次，测得值为26.2025mm，试写出测量结果。② 若重复测量10次，测得值（单位为mm）为26.2025，26.2028，26.2028，26.2025，26.2026，26.2022，26.2023，26.2025，26.2026，26.2022，试写出测量结果。③ 若手头无该仪器测量的标准差值的资料，试由②中10次
重复测量的测量值，写出上述①、②的测量结果。
解：①
，测量结果：
5
②
测量结果：
,③可由测得数,
据计算得：
所以对①，测量结果为：
对②，测量结果为：
2-12 甲、乙两测量者用正弦尺对一锥体的锥角各测量五次，测得值如下：
甲：72'20'' ，73'0'' ，72'35'' ，72'20'' ，72'15''
乙：72'25'' ，72'25'' ，72'20'' ，72'50'' ，72'45''
6
试求其测量结果。
解：对于甲来说
对于乙来
说
所以两个测量者的权是：
不妨取所以，
7
即为所求。
2-16 对某一线圈电感测量10次，前4次是和一个标准线圈比较得到的，后6次是和另一个标准线圈比较得到的，测得结果如下（单位为mH）：
50.82，50.83，50.87，50.89；
50.78，50.78，50.75，50.85，50.82，50.81。试判断两组数据间有无系统误差。
解：用秩和检验法有：将两组数据混合排列，得因为
所以有根据怀疑存在系统误差。
2-17 等精度测量某一电压10次，测得结果（单位为V）为25.94，25.97，25.98，26.01，26.04，26.02，26.04，25.98，25.96，26.07。测量完毕后，发现测量装置有接触松动现
象，为判断是否接触不良而引入系统误差，将接触改善后，又重新作了10次等精度测量，测得结果（单位为V）为25.93，25.94，25.98，26.02，26.01，25.90，25.93，26.04，
25.94，26.02。试用t检验法（取为0.05）判断两测量值之间是否有系统误差。
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解：用t检验法判断：第一次测量的数据
，
第二次测量数据：；
所以：
因为，取，查t分布表，得
所以，无根据怀疑测量列中存在系统误差。
2-19 对某量进行两组测量，测得数据如下：
;0.62 0.86 1.13 1.13 1.16 1.18 1.20 1.21 1.22 1.26 1.30 1.34 1.39 1.41 1.57
;0.99 1.12 1.21 1.25 1.31 1.31 1.38 1.41 1.48 1.50 1.59 1.60 1.60 1.84 1.95
试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差。
9
解：将两组混合排列成下表：
得，
因为
秩和T近似服从正
态分布，
所以，数学期望为，
标准差，
所以，
,
故，当置信概率p< 98.36% ，此时测量值之间存在系统误差。
此时有根据怀疑两组
10
而当置信概率p> 98.76% 时，
此时无根据怀疑两组测量值之间存在系统误差。
2-20 对某量进行15次测量，测得数据为28.53，28.52，28.50，28.52，28.53，28.53，28.50，28.49，28.49，28.51，28.53，28.52，28.49，28.40，28.50，若这些测得值以消除系统误差，试用莱以特准则、格罗布斯准则和狄克松准则分别判断该测量列中是否含有粗大误差 测量值。
思路：
① 莱以特准则：计算得，
根据莱以特准则，第14次测量值的残余误差
所以它含有粗大误差，故将它剔除。再根据剩下的14个测量值重复上述步骤。
② 格罗布斯准则：
按照测量值的大小，顺序排列得，怀疑，由于
，现在有2个测量值可
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故应该先怀疑X(1)是否含有粗大误差，
计算,
14个测量值X(1) 含有粗大误差，应剔除。
注意：此时不能直接对x（15）进行判断，一次只能剔除一个粗差。重复上述步骤，判断是否还含有粗差。
③狄克松准则同理，判断后每次剔除一个粗差后重复。
第三章：误差的合成与分解
知识点：
1.系统误差合成
2.随机误差合成
3.相关系数
4.微小误差取舍原则
5.误差的分解及等作用原则
。故第
12
3-2 为求长方体体积V，直接测量其各边长为 161.6 a mm ， 44.5 b mm ， 11.2 c mm ，已知测量的系统误差为 1.2 a mm
， 0.8 b mm
，0.5 c mm
，测量的极限误差为 0.8 a mm ，0.5 b mm ， 0.5 c mm
试求立方体的体积及其体积的极限误差。
思路：
1. 按测得值计算得V；
2. 根据系统误差的合成原理求得V的系
统误差；
3. 计算长方体的体积；
4. 根据极限误差的合成原理求得极限误
差；此时可写出测量结果表达式。
解：因为
，
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体积的系统误差：
所以，长方体的体积是：
极限误差为（局部误差方和根）：
所以，立方体的体积是，体积的极限误差是
3-4 测量某电路的电流 22.5 I mA ，电压12.6 U V ，测量的标准差分别为
14
，求所耗功率P UI 及其标准差p 。
解：先求所耗功率：
所以，
所以，该电路所耗功率为0.2835W，其标准差为
解：因为
15
所以，
解：如图所示，由勾股定理得
16
然后对d1，d2，H1,H2分别求偏导，即得出误差传递系数。
3-10 假定从支点到重心的长度为L的单摆振动周期为T，重力加速度可由公式
给出。若要求测量g的相对标准差相对标准差应该是多少？
试问按等作用原则分配误差时，测量L和T的
因为测量项目有两个，所以n= 2。按等作用原理分配误差，得
17
同理，
综上所述，测量L和T的相对标准差分别是0.07072%和0.03536%。第五章：最小二乘法原理
知识点：
1.最小二乘法原理
2.正规方程
3.两种参数估计的方法
4.精度估计
推荐掌握：基于矩阵的的最小二乘
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法参数估计
参数最小二乘法估计矩阵形式的简
单推导及回顾：
由误差方程
且要求最小，则：
所以：
理论基础：
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5-1 由测量方程试理及其相应精度。
解：方法一（常规）：
1.列出误差方程组：
即，
求x、y的最小二乘法处
20
由上式可解得结果：
2. 直接列表计算给出正规方程常数项和系数
可得正规方程
将 y x，的结果代入分别求得：
得，
21
由题已知， ， 得
由不定乘数的方程组
方法二（按矩阵形式计算）：由误差方程
22
上式可以表示为
即解得，
23
将最佳估计值代入误差方程可得，
将计算得到的数据代入式中
为求出估计量 y ，x，的标准差，首先求出不定常数数
的系数与正规方程的系数相同，因而
是矩阵
中各元素，即
由已知，不定常
24
5-3 测力计示值与测量时的温度t的对应值独立测得如下表所示。
t/C 15 18 21 24 27 30
/ FN 43.61 43.63 43.68 43.71 43.74 43.78
设t 无误差，F值随t 的变化呈线性关系的最小二乘估计及其相应精度。
试给出线性方程中系数k0和k
解：利用矩阵求解，误差方程可写成
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试中，
所以
26
将最佳估计值代入误差方程得
为求出估计量 k 0,、k，的标准差,需要求出不定乘数 dji 的系数，而不定乘数
Dji 的系数与正规方程的系数相同，因而Dij是矩阵中各元素，即
则
27
可得估计量的标准差为
5－5 不等精度测量的方程组如下：
试求x、y的最小二乘法处理及其相应精度。解：利用矩阵计算
28
29
5－7 将下面的非线性误差方程组化成线性的形式，并给出未知参数
X1， x2，的二乘法处理及其相应精度。
30
31
所以
32
解得
则
33
第六章回归分析
知识点：
1.一元线性回归
2.多元线性回归
3.方差分析及显著性检验
LOGO
第六章回归分析
6-1 材料的抗剪强度与材料承受的正应力有关。对某种材料试验的数据如下：
34
正应力/ x Pa 26.8 25.4 28.9 23.6 27.7 23.9
抗剪强度 / y Pa 26.5 27.3 24.2 27.1 23.6 25.9
/ x Pa 24.7 28.1 26.9 27.4 22.6 25.6
/ y Pa 26.3 22.5 21.7 21.4 25.8 24.9
假设正应力的数值是精确的，求①抗剪强度与正应力之间的线性回归方程。②当正应力
为24.5Pa时，抗剪强度的估计值是多少？
解：①
35
6-7 在4 种不同温度下观测某化学反应生成物含量
的百分数，每种在同一温度下重复观测三次，数据如
下：
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求y对x的线性回归方程，并进行方差分析和显著性检验
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6-11 用表差法法验证下列数据可以用曲线表示。
x 0.20 0.50 0.70 1.20 1.60 2.10 2.50 2.80 3.20 3.70
y 4.22 4.32 4.45 5.33 6.68 8.91 11.22 13.39 16.53 21.20
解：将表中 y x，画图得曲线如图所示，从曲线上按读取入下表。，因表中
极接近常数，此组观测数据可用
表示
列
38
6-12 炼焦炉的焦化时间y与炉宽1
x及烟
道管相对温度2
x 的数据如下：
y/min 6.40 15.05 18.75 30.25 44.85 48.94 51.55 111.42
1
x/m 1.32 2.69 3.56 4.41 5.35 6.20 7.12 8.87 9.80
61.50 39
100.44 10.65
x2 1.15 3.40 4.10 8.75 14.82 15.15 15.32 18.18 35.19 40.40
求回归方程检验显著性，并
讨论x1，x2 对y的影响。
40
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