分解因式 分组分解法

本章介绍了分解因式的两种基本方法．为了使读者更多的掌握灵活进行分解因式的方法，下面以专题的形式介绍另外两种分解因式的方法．

【基础知识精讲】

(1)理解分组分解法的意义；

(2)能通过分组为使用提公因式法和运用公式法分解因式创造条件； (3)重点是能根据分组的目的，找到恰当的分组方法； (4)难点是预见分组后的结果，调节分组方案．

【重点难点解析】 1．分组分解法的意义

有的多项式各项既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的结合成为一组，利用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫分组分解法．它并不是一种独立的因式分解的方法，而是为提公因式或运用公式分解因式创造条件．

2．如何分组

分组分解方法比较灵活，其关键在于分组要适当，它的分组原则是：①分组后能直接提取公因式；②分组后能直接运用公式．

【典型热点考题】

分解因式，结果是 ( ) A．(a＋b)(a－c) B．(a－b)(a－c) C．(a＋b)(a＋c) D．(a－b)(a＋c)

(2002年，云南省)

点悟：本题分组方法比较多，可一、二项，也可一、三项进行分组． 解法1：原式＝a(a－b)＋c(a－b)

＝(a－b)(a＋c)．

故选D．．

解法2：原式＝a(a＋c)－b(a＋c)

＝(a－b)(a＋c)．

故选D．．

点拨：此类题不可一、四结合分组，原因是二者没联系．

例2 分解因式xbxaab__________．(2002年，武汉市) 点悟：本题可一、三，二、四进行分组分解因式． 解：原式(x2a2)(bxab)

＝(x－a)(x＋a)－b(x－a) ＝(x－a)(x＋a－b)．

点拨：此题也不可乱分组，形成无关现象将会无法分解下去． 例3 分解因式xxx1．

点悟：此题按系数比为1或者为－1，可有不同的分组方法． 解法1：原式(x31)(x2x)

3222(x1)(x2x1)x(x1)

(x1)(x1)2．

解法2：原式(x3x2)(x1)

x2(x1)(x1) (x1)(x21) (x1)2(x1)．

点拨：分组时，不仅要注意各项的系数，还要注意到各项次数之间的关系．这往往可以启示我们对下一步分解的预测是提公因式还是应用公式等．

例4 分解因式16a4b12bc9c．

点悟：后三项提负号后是完全平方式，和原来的16a正好可继续用平方差公式分解因式．

解： 16a4b12bc9c

222222216a2(4b212bc9c2)

(4a)2(2b3c)2

＝(4a－2b＋3c)(4a＋2b－3c)．

点拨：由例1、例2可看出，对于四项式来说，如果是等项分组，则分解方法不止一种；如果是不等项分组，则只有一种分解方法．

例5 已知x－2y＝3，求x24xy4y23x6y的值．

点悟：可将已知式分解因式后求解．分解时注意：五项式分组常为三项、二项，且把符合公式的分为一组，所以前三项x24xy4y2为一组，后二项－3x＋6y为另一组．

解： x24xy4y23x6y

(x24xy4y2)(3x6y) (x2y)23(x2y)

＝(x－2y)(x－2y－3)． ∴ 原式＝3×(3－3)＝0．

例6 分解因式x24xy4y29a26a1．

点悟：前三项与后三项均符合完全平方公式，且两者之间的符号相反，又可用平方差公式．

解： x4xy4y9a6a1

222(x2y)2(3a1)2

＝(x＋2y＋3a－1)(x＋2y－3a＋1)． 例7 分解因式x2xyy2x2y1．

点悟：依次分为三项、二项、一项共三组，使其化为二次三项式，再继续运用完全平方公式分解．

解： x2xyy2x2y1

2222(xy)22(xy)1 (xy1)2

例8 分解因式(x＋2)(x－2)－4y(x－y)．

点悟：原多项式中有括号，且无法直接再继续分解因式，这时，应考虑去掉括号，重新分组，则可“柳暗花明”，出现转机．

解： (x＋2)(x－2)－4y(x－y)

x244xy4y2 (x24xy4y2)4 (x2y)222

(x2y2)(x2y2)．

例9 已知x＋y＝2，求x36xyy3的值．

点悟：根据题设条件：x＋y＝2，欲求代数式的值，必须将代数式转化为含有(x＋y)的式子，易知x3y3(xy)(x2xyy2)中有(x＋y)项，然后再继续进一步变形．

解：∵ x＋y＝2，

∴ x36xyy3(x3y3)6xy

(xy)(x2xyy2)6xy 2(x2xyy2)6xy 2(x22xyy2) 2(xy)2222

＝8．

例10 分解因式(cbda)4(abcd)．

点悟：首先应把(cbda)与2·(ab－cd)分别看成一个整体，运用平方差公式，然后再分组分解直至不能分解为止．

解： (cbda)[2(abcd)]

222222222222222[c2b2d2a22(abcd)][c2b2d2a22(abcd)] [(c22cdd2)(a22abb2)][(c22cdd2)(a22abb2)]

[(cd)2(ab)2][(cd)2(ab)2]

＝(c－d＋a－b)·(c－d－a＋b)·(c＋d＋a＋b)·(c＋d－a－b)．

【易错例题分析】

例 如果a，b是方程xx10的两个实数根，那么代数式aababb 的值是__________． (2002年，湖北黄冈市) 警示：由ab(a2bab2)(ab)(a2abb2)ab(ab)(ab)(a2

33232232abb2)(ab)3，以下则大错特错．

值得一提的是本题应用了一元二次方程的根与系数的关系，这是以后的学习内容，在今后我们将要学到．

正解：原式(a3b3)(a2bab2)

(ab)(a2abb2)ab(ab) (ab)(a2abb2ab)

(ab)(a2b2)

(ab)(a22abb22ab) (ab)[(ab)22ab]．

由已知条件知a＋b＝－1，ab＝－1． ∴ 原式(1)[(1)22(1)]

＝－(1＋2) ＝－3．

【同步达纲练习】 一、选择题

1．用分组分解法把ab－c＋b－ac分解因式，分组的方法有 ( ) A．1种 B．2种 C．3种 D．4种

2．用分组分解abc2bc的因式，分组正确的是 ( ) A．(a2c2)(b22bc) B．(a2b2c2)2bc C．(a2b2)(c22bc) D．a2(b2c22bc)

3．用分组分解法把多项式aababb进行因式分解，不正确的分组方法是

( )

A．(a3a2b)(ab2b3) B．(a3ab2)(a2bb3) C．(a3b3)(a2bab2) D．(a3a2bab2)b3

4．分解8a12ab6abb时，下列分组方法中适当的是 ( ) A．(8a312a2b)(6ab2b3) B．(8a36ab2)(12a2bb3) C．(8a3b3)(12a2b6ab2) D．(8a12ab6ab)b

5．在以下多项式中：a4ba2b；a4b4b1；ab4ab4c；

222222232233223222322316a216b28a1；4a29b224bc16c2；用分组分解法分解时，能够分成三项一组

和一项一组的多项式有 ( )

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

二、填空题

6．ax＋ay－bx－by＝__________．

7．x2y4yx(________)＋(________)； ＝(________)·(________)．

8．1x4xy4y__________．

2222

9．xx8x16__________． 10．aaabbb__________．

三、解答题

11．把下列各式分解因式： (1)x26xy9y22x6y1； (2)x24y242x2y8yx2y2； (3)mn6n6m2mn9； (4)x5yx3y2x2yxy； (5)16a2b2ab；

(6)1aa(a1)a(a1)2a(a1)3． 12．把下列各式分解因式： (1)9(a＋c)(a－c)－b(b＋6c)； (2)2(a2b2)(ab)2(a2b2)2； (3)(a4)(b4)2(ab8)； (4)(a2b21)24a2b2； (5)a2(bc)b2(ca)c2(ab)． 13．当x－y＝1时，求以下代数式的值：

223322323242x4xy3x3y3x2y3xy2y4．

14．已知a，b，c是△ABC的三边长，求证：代数式(abc)4ab的值一定为负数．

222222参考答案

【同步达纲练习】

1．B 2．D 3．D 4．C 5．B 6．(x＋y)(a－b)

7．x24y2，x－2y，x－2y，x＋2y＋1 8．(1－x＋2y)(1＋x－2y) 9．(x2x4)(x2x4)

10．(ab)(a2b2abab1) 11．(1) 原式(x3y)22(x3y)1

(x3y1)2

(2) 原式(x22x2yx2y2)(4y28y4)

x2(y1)24(y1)2 (x2)(x2)(y1)2

(3) 原式(m2n22mn)6m6n9

(mn)26(mn)9 (mn3)2

(4) 原式xy(xx2x1)

42xy[x4(x1)2] xy(x2x1)(x2x1)

(5) 原式2(8ab)(2ab)

332(2ab)(4a22abb2)(2ab) (2ab)(8a24ab2b21)

(6) 原式(a1)a(a1)a(a1)

223(a1)3a(a1)3(a1)4

12．(1) 原式9a9cb6bc

222(3a)2(9c26bcb2)

(3a)2(3cb)2

(3ab3c)(3ab3c)

(2) 原式2(a2b2)(ab)2(ab)2(ab)2

(ab)2[2(a2b2)(ab)2] (ab)2(a2b22ab) (ab)4

(3) 原式a8a16b8b162ab16

22(a22abb2)8(ab)16 (ab)28(ab)16 (ab4)2

(4) 原式(a2b212ab)(a2b212ab)

[(ab)21][(ab)21]

(ab1)(ab1)(ab1)(ab1)

(5) 原式abacbcbac(ab)

22222(a2bb2a)(a2cb2c)c2(ab) ab(ab)c(a2b2)c2(ab) (ab)[abc(ab)c2] (ab)[abacbcc2]

(ab)[a(bc)c(bc)] (ab)(bc)(ac)

13．∵ xy1，

∴ x4xy3x3y3x2y3xy2y4

(x4x3y)(xy3y4)3xy(xy) x3(xy)y3(xy)3xy(xy) (xy)(x3y33xy) x3y33xy

(xy)(x2xyy2)3xy

x2xyy23xy x22xyy2 (xy)2

1

14．∵ a，b，c是△ABC的三边长， ∴ abc,bca

acb,abc0，

∴ (abc)4ab

222222(a2b2c22ab)(a2b2c22ab) [(ab)2c2][(ab)2c2]

(abc)(abc)(abc)(abc)0