【理论】玻尔氢原子理论的相对论修正

【关键字】理论

目 录

引言 ........................................................................................................................................... 1 玻尔理论.................................................................................................................................... 1 氢原子相对论性玻尔理论 ........................................................................................................ 2 类氢原子相对论性玻尔理论 .................................................................................................... 5 参考文献.................................................................................................................................... 8

玻尔氢原子理论的相对论修正

孙娜娜

安徽师范大学物理与电子信息学院，芜湖 241000

摘 要：通过以狭义相对论动力学方程取代玻尔氢原子理论中的牛顿力学方程，导出了一个相对论性得玻尔氢原子和类氢原子理论。给出了氢原子和类氢原子中电子运动速度、半径以及系统的总能量的表达式，并与玻尔理论的对应表达式进行了比较。相对论模型的优点之一是能够更加精确地预言类氢原子的电离能，之二是能够证明自然界中元素的原子序数的上限是精细结构常数的倒数。 关键词：氢原子，玻尔理论，相对论修正 1．引言

玻尔理论[1-8]是一个半典范半量子的理论，半典范是指原子中的电子绕原子核的运动用牛顿力学方程描述，半量子则是指电子的角量子满足量子化条件。由于学生在学习玻尔氢原子理论这一知识点之前已学过相对动力学方程，因而难免会提出下述问题：玻尔氢原子理论中为什么采用牛顿力学方程而不采用相对论动力学方程[9,10]？因为按照玻尔氢原子理论，氢原子中电子运动的速率可以达到c/137，属于高速运动。如果将玻尔理论中描述电子运动的牛顿力学方程改为相对论动力学方程，那么又会怎样的结果呢？本论文正是对这一问题进行探讨。 2．玻尔理论

丹麦物理学家玻尔（N.Bohr,1885~1962为了解决典范理论所遇到的困难，于1913年在卢瑟福有核模型基础上，把普朗克的能量子概念和爱因斯坦的光子概念运用到原子系统，提出了两条基本假设：

（1）定态假设：原子系统存在一系列不连续的能量状态，处于这些状态的原子中的电子只能在一定的轨道上绕核作圆周运动，但不辐射能量。这些状态为原子系统的稳定状态，简称定态，相应的能量只能是一些不连续的值，，…称为能级。

（2）频率假设：原子可以从一个具有较高能量的定态跳到另一个较低能量的定态，这个过程称为跃迁。在跃迁过程中，原子辐射出一个光子，其频率由下式决定

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反之，原子如果要由一个较低能量的定态跃迁到另一个较高能量的定态，必须吸收一个频率恰好满足上式的光子。

玻尔在此基础上选择了最简单的氢原子来研究，并提出了第三个假设——角动量量子化假设：电子以速率v在半径为r的圆周上绕核运动时，只有电子的角动量等于的整数倍的那些轨道才是稳定的。该假设又称为角动量量子化条件。 3．氢原子相对论性玻尔理论

图1 氢原子的玻尔模型

玻尔理论的突出特征是：氢原子中的电子绕原子核的运动(图1)用牛顿力学方程 (1)

来描述；电子以速率v在半径为r的圆周上绕核运动时，只有电子的角动量等于的整数倍的那些轨道才是稳定的(角动量量子化条件)

(2)

相对论性玻尔氢原子理论的出发点是将玻尔理论中所用的牛顿力学方程(1)改为相对论动力学方程

(3)

其中是电子中静止质量、是电子的速度、是电子的速率、是电子所受的作用力。 在玻尔理论中，电子的速率必须是与时间无关的常量，否则电子的角动量将与时间有关因而不能满足角动量量子化条件(2)。实际上，利用，有 即

(4)

如果常量，则。由于电子的速率是与时间无关的常量，因而在相对论动力学方程(3)可以简化为

匀速率圆周运动的加速度为 因此，我们有

(5)

另一方面，电子所受的库仑力为

(6)

由以上两式，我们得到电子绕核作圆周运动的过程中速率与半径的关系

(7)

利用角动量量子化条件(2)消去，我们得到 即，氢原子中电子绕核作圆周运动的速率为 或者

(8)

其中是精细结构常数。

利用角动量量子化条件(2)和式(8)，还可以得到氢原子中电子作圆周运动的轨道半径

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其中是玻尔半径。

现在，我们用相对论理论来分析氢原子系统的总能量。由于原子核被假定是固定的[设核的静止质量为]，因此氢原子系统的总能量为 利用式(7)和(8)，进一步有

(10)

从上式中减去静止能量，得到氢原子系列的能级表达式

(11)

对于第一轨道(n1)，

E1mc2氢原子系统的电离能为

121 (12)

EiE1mc2112利用1x11x1x2 (13)

28，可以将电离能展开为

11Eimc22482同样，可将式(10)展开为

将e2/c代入上式，有

 (14)

48memeEMc2mc222442n8n (15)

上式中前两项为氢原子系统的静止能量，第三项正是用非相对论玻尔理论得到的结果，而第四项是相对论修正项。

4．类氢原子相对论性玻尔理论

玻尔模型适用于所有的类氢原子，即由一个电子和一个核电荷数为Z的原子核所组成的原子系统。现将前述相对论性玻尔模型推广应用到类氢原子。

图2类氢原子的玻尔模型

理论上，类氢原子与氢原子的区别在于库仑力。类氢原子中的电子所受的库仑力为

Ze2ˆr (16) F2er由式(16)和(5)有

Ze2mv2 (17) 22r1v/c3文档收集于互联网，如有不妥请联系删除.

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利用式(4)和角动量量子化条件(2)消去半径r，我们得到 即，类氢原子的速率为 或者

vZe2ZcZe2cZvn，nncnncnn1,2, (18)

利用式(2) 、(4)和(18)，可以得到类氢原子中电子作圆周运动的轨道半径 rna0nn2Z2Z注意到，对于第一轨道(n=1)，如果Z1Z1/137，我们得到一个负数的平方根。利用式(17)和(18)，可以得到类氢原子系统的总能量

n1,2, (19)

m EMc221v/c22Ze2222cMcmc1Z/n2 (20) r从上式中减去静止能量，得到类氢原子系统的能级表达式

2 En(relativistic levels)mc21Z/n21n1,2, (21)

对于第一轨道(n=1)，

2E1mc21Z1 (22)

同样，如果Z1Z1/137，我们也得到一个负数的平方根。

类氢原子系统的电离能为

2 EiE1mc211Z (23)

12利用1x112x8x，可以将电离能展开为

24Eimc21Z128Z其中第一项等于玻尔用经典模型所得到的电离能

 (24) 2222ZeZe22121Ei(classical)mc2Zmc2 (25) c2a0类氢原子系统的电离能随核电荷数的变化关系如图3所示。

图3 类氢原子系统的电离能随核电荷数的变化关系

相对论模型的重要意义之一是能够更精确地预言类氢原子系统的电离能。实际上，对于氢原子(Z = 1), 用经典模型预言的电离能与用相对论模型预言的电离能相等，都是13.606eV。但是，对于类氢锡离子(Z = 50)，用经典模型预言的电离能为34.0142 keV，用相对论模型预言的电离能为35.2286 keV，超过前者1 keV (相对误差大于3%)。对于类氢汞离子(Z = 80)，用经典模型预言的电离能为87.0764 keV，用相对论模型预言的电离能为96.1158 keV (相对误差大于10%)。

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对于类氢镄离子(Z = 100)，用经典模型预言的电离能为136.057 keV，用相对论模型预言的电离能为161.614 keV (相对误差接近20%)。

相对论模型的另一个重要意义在于：类氢原子中电子的速率、半径和能量表达式

提示我们——如果不违背狭义相对论(电子的速率超过光速) 或者不出现负数的平方根(出现虚半径和虚能量)，那么Z必须小于1。因此，相对论性类氢原子玻尔模型预示

Z1Z1/137 (26)

这个关系给出了自然界中原子序数Z的上限[11,12]，此预言它与现今的实验事实是一致的。到目前为止，已发现的最重的原子是Z=118的原子，Ununoctium，它是在2006年发现的。 参考文献

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[4]黄时中，大学物理学(下册)，中国科学技术大学出版社，2006年，p255-258 [5]杨福家，原子物理学(第三版)，高等教育出版社，2000年，p44-49 [6]褚圣麟，原子物理学，高等教育出版社，1979年，p22-75 [7]周世勋，量子力学教程，高等教育出版社，1979年，p9-11

[8]曾谨言，量子力学导论(第二版)，北京大学出版社，1998年，p5-9

[9]黄时中，大学物理学(上册)，中国科学技术大学出版社，2005年，p121-138 [10]李强，陈昌永，娄底师专学报2001年第4期，p26-27

[11]吴斗思，元素周期系界限探讨，天津纺织工学院学报，1999年第2期，p25-30 [12]王进贤，邢志良，元素周期表研究进展，西北师范大学学报，1999年第3期，p113-117

A relativistic version of Bohr model for Hydrogen atom

Sun Nana, College of Physics and Electronic Information

Abstract: By virtue of using the equation of movement in special relativity instead

of that in Newton’s classical mechanics, a concise relativistic modification of the standard Bohr model for hydrogen atom and hydrogen-like atoms with circular orbits is presented. The expressions for the speeds and radius of each circular orbit, and the total energies are derived explicitly and are compared with those given in standard Bohr model. The advantage of the relativistic model is that it can more precisely predict the ionization energies of hydrogen-like atoms, and that it shows the inverse of the fine-structure constant sets an upper limit for the atomic number of atomic elements in nature.

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Key words: Hydrogen atom; Bohr model; relativistic version

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