福师1203考试批次《高等数学(一)》复习题及参考答案

说明：本课程复习题所提供的答案仅供学员在复习过程中参考之用，有问题请到课程论坛提问。

福师1203考试批次《高等数学(一)》复习题及参考答案一

一、单项选择题（每题2分，共20分） 1. lnxdx( )

A.xlnxxC B.lnxxC C.lnxx D.lnx 参考答案：A

2. 设f(x)arctantdt，则f(x)( )

1xA

1 B tanx C cotx D arctanx 1x2参考答案：D

3.函数( )的原函数为ln(5x). A.

11 B. C.x D.5x x5x参考答案：A

4. ddf(x)( )

A.df(x) B.f(x) C.df(x) D.f(x)C 参考答案：A

x2xk3，则k（ ） 5. 若limx2x2A. 2 B.3 C.4 D.5 参考答案：A

6．函数f(x)=lnx- ln(x-1)的定义域是（ ）

A．(-1,+∞) B．(0,+∞) C．(1,+∞) D．(0,1)

参考答案：C 7．极限limtan2x（ ）

x06x11A．0 B． C． D．3

23参考答案：B

8．设f(x)=arccos(x2)，则f＇(x)=（ ）

A．11x2 B．2x1x2 C．11x4 D．2x1x4

参考答案：D 9．x=0是函数f(x)=ex参考答案：D 10．初值问题xdxydy0的隐式特解为（ ）

y|3x22x的（ ）

D．非极值点

A．零点 B．驻点 C．极值点

A．x2y213 B．x2y26 C．x2-y2-5 Dx2-y210

参考答案：A

二、解答题（每题8分，共56分）

2xdx 11. 01x21参考答案：ln5

2x2sinx12. lim

x1x参考答案：利用洛必塔法则和等价无穷小来进行求解，结果为0.

3x2axb13. 若lim3,求值a,b.

x1sin(x1)参考答案：x趋于1时，x2axb0，利用洛必塔法则

x2axb2xalimlim32xax1sin(x1)x1cos(x1)14. 求函数f(x)xarctan参考答案：

x2是原函数的跳跃间断点 xlnx，求y 21x参考答案：

x13，所以a=1，b=-2.

1的间断点并确定其类型 x215. 设yy'xlnx112x

1x2xxlnx1x216. 设y=x5x，求dy. 参考答案：

解：对原函数两边取对数得lny=lnx5x5xlnx11两边关于x求导数得y'5lnx+5x5(lnx+1)yx y'5x5x(lnx+1)dy5x5x(lnx+1)dx

17. 求不定积分xln(x1)dx 参考答案：

112x22解：xln(x1)dxln(x1)dxxln(x1)dxx12212x211xln(x1)dx2x111x2ln(x1)x1dxdx2x12x112xln(x1)lnx1C221111x2ln(x1)x2xlnx1C2422

三、应用题（每题8分，共16分）

18．将一长为l的铁丝截成两段，并将其中一段围成正方形，另一段围成圆形，为使正方形与圆形面积之和最小，问这两段铁丝的长应各为多少？ 参考答案：

解：设围成正方形的铁丝长x,则围成圆形的铁丝长为1-x,x1x正方形的边长为,圆形的半径为,则正方形和圆形的面积和为42x21xx1xy=44216x1xy'=824令y'=0，则y的驻点是x=+411y\"0824x=是y的极小值点+44围成正方形的铁丝长,则围成圆形的铁丝长为。+4+4222

19.欲做一个容积100米3 的无盖圆柱形容器，问此圆柱形的底面半径r和高h分别为多少时，所用材料最省？并求此时所用材料的面积。 参考答案：

100r2设所用材料面积为A,则解：r2h100hAr22rhr2A'2r200,2r3200,(r0)r

A'0得唯一实驻点r0故当r03100,1001003100（米），h0（米）时所用材料最省。r0220030310（米2）.r0此时Ar02四、证明题（8分）

20. 设f(x)(x1)g(x)，且g(x)在点x1处连续，证明：f(x)在点x1处可导.

参考答案：

证明：f(x)=(x1)g(x)f(1)=(11)g(1)0f(x)f(1)又f'(1)limx1x1(x1)g(x)f(1)limx1x1 (x1)g(x)limx1x1limg(x)x1g(1)f(x)在x=1可导

福师1203考试批次《高等数学（一）》复习题及参考答案二

一、单项选择题（每题2分，共20分） 1.函数f(x)=

2sinx1x2是（ ）

A.奇函数 B.偶函数 C.有界函数 D.周期函数

参考答案：C

2.设f(x)=2x,则f″(x)=（ ）

A.2x·ln22 B.2x·ln4 C.2x·2 D.2x·4

参考答案：A 3.函数f(x)=

x33-x的极大值点为（ ）

A.x=-3 B.x=-1 C.x=1 D.x=3

参考答案：B

4.下列广义积分收敛的是（ ）

A.

dxx1 B.

1dxdxdx C. D.

11x11x2x参考答案：D

5.正弦曲线的一段y=sin x(0xπ)与x轴所围平面图形的面积为（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

参考答案：B

6. 曲线yex3sinx1在点（0，2）处的法线方程为( ) A.y1111x2 B.yx2 C.yx3 D.yx3 2222参考答案：A

7. limx21x1lnx( ) A.2 B.3 C.4 D.5 参考答案：A

8.yx21在[1,1]上的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 参考答案：A 9．曲线y=

4x(x1)2的渐近线的条数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

参考答案：B

10．设sin x是f(x)的一个原函数，则f(x)dx（ A．sin x+C B．cos x+C C．-cos x+C 参考答案：A

二、解答题（每题8分，共56分）

11. 若lim(x21xx1axb)0，求常数a,b的值。参考答案：

解：lim(x21xx1+ax+b)lim(1+a)x2+(ab)x1+bxx1(1+a)x+(ab)1+blimxx11x

(1+a)x+(ab)1+b若1+a0,即a-1时,limxx,11x不符合题意.故a-1(ab)1+b于是原极限limxx011x即ab=0；求得b=-a=112．求极限limxx(2x)3x. 参考答案：

）

D．-sin x+C

解：lim(xx3xx223x23x)lim()lim(1)xx2x2x2x32x22222lim(1)(1)x2x2xe6

13．求极限limx0tanxsinxsinx3.

参考答案：

sinxsinxtanxsinx1cosxcosxlimlimlimx0x0x0cosxsin2xsin3xsin3x

12x1cosx21limlimx0sin2xx0x2214．设ycos2xlnx，求y″.

cos2xcos2xy'cosxlnx'2cosxsinxlnxsin2xlnxxxcos2xsin2x2xcosxsinxcos2xy\"sin2xlnx'2cos2xlnxxxx22xsin2xxsin2xcosxx2x22xsin2xcos2x2cos2xlnxx22cos2xlnx15．求不定积分参考答案：

2

x2ax22dx

令xasint(t2x2a2sin2t22a2x2dxacostacostdtasintdt

221cos2ta1aa2dt(tsin2t)C(tsintcost)C2222a2xxa2x2(arcsin)C22aa),则a2x2acost,dxacostdt16. 计算不定积分e参考答案：

2x1dx.

t21解：令2x1t，则x=,且dxtdt2所以e2x1dxettdttdettetetdttetetC2x1e2x1e2x1C 17. 设y=

1,求y(5). 1x参考答案：

解：y=1x123y'11xy\"(1)(2)1x,y(n)(1)nn!1xy(5)(1)55!1x

三、应用题（每题8分，共16分）

(n1)(51)

61201x18．欲做一个底面为长方形的带盖长方体盒子，其底边长成1∶2的关系且体积为72cm3，问其长、宽、高各为多少时，才能使此长方体盒子的表面积最小？ 参考答案：

解：设长方体底边的宽为x,则长为2x,设高为h, 由其体积为72cm3得2x2h72 则h72,那么长方体盒子的表面积为 2x27272S22x2xh2xh22x2x22x22x2x3672108216222x222x24xxxxx216S'8x20x解得x3 432x3432S\"x383240xx3故x3是S的极小值点,也是最小值点. S\"8所以其长、宽、高各为6厘米、3厘米、4厘米时，此长方体盒子的表面积最小。

19．某厂每批生产A商品x台的费用为C（x）=5x+200（万元），得到的收入为R（x）=10x-0.01x2（万元），问每批生产多少台，才能使利润最大？ 参考答案：

L(x)R(x)C(x)10x0.01x25x2000.01x25x200

L'(x)0.02x50

解得x=250，L\"(x)0.020

故x=250是L(x)的极大值点，且唯一，故是L(x)的最大值点，即

每批生产250台，才能使利润最大。

四、证明题（8分）

20．设f(x)在[0,1]上连续，且f(0)=0, f(1)=1. 证明：至少存在一点（0，1），使f()=1-. 参考答案：

证明：

设g(x)f(x)1x，可知g(x)在[0,1]连续，且g(0)10,g(1)10

由零点定理可知，(0,1)使得g()0 即f()=1-.

福师1203考试批次《高等数学（一）》复习题及参考答案三

一、单项选择题（每题2分，共20分） 1．函数yarcsinx211的定义域是（ ） x21A．[-2，2] B．-2，-1∪1，2 C．[2,2] D．（-∞，-1）

∪（1，+∞） 参考答案：B

2．在同一坐标系下，方程y2x与xlog2y代表的图形（ ）

A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．是同一条曲线 D．关于直线y=x对称

参考答案：C

3．函数yxln(1x2)的极值（ ）

A．是-1-ln2 B．是0 C．是1-ln2 D．不存在

参考答案：D

4.设y=cos

1，则( ) xA.当x→0时，y为无穷小量 B.当x→0时y为无穷大量

C.在区间（0,1）内y为无界变量 D.在区间（0,1）内y为有界变量

参考答案：D

5.d(lnxsinx)( )

A.lnx+sinx B.

11cosx C.lnx+sinx+C D.cosxC

xx参考答案：C

16.设f (x)是定义在对称区间（-l,l）的函数，g(x)=[f (x)+f (-x)]，则（ ）

2A.g(x)是偶函数 B.g(x)是奇函数 C.g(x)是非奇非偶函数 D.g(x)是有界函数

参考答案：A

17.limxsin（ ） x0xA.0 B.1 C.∞ D.不存在也不是∞

参考答案：A

8.下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是( )

A.2x-1 (x→0) B.

1sinx (x→0) C. (x→1) D.2-x-1(x→1) 2x(x1)参考答案：A

9. 曲线yx3的拐点坐标是( )

A.(0,0) B.( 1,1) C.(2,2) D.(3,3)

参考答案：A

10. 已知yf(lnx)，则y( )

f(lnx)f(lnx) B.f(lnx) C.f(lnx) D. xx参考答案：A

A.

二、解答题（每题8分，共56分）

lncotx. 11.求极限limx0lnx参考答案：

1csc2xlncotxx解：limlimcotxlim()x0x01x0lnxsinxcosx

xx1lim()lim()1x0xcosxx0cosx12.设函数y(cotx)，求y.

1x参考答案：

解：对y(cotx)两边分别求对数可得：1lncotx,x再对上式两边分别求导，可得：lny111-csc2xy2lncotxyxxcotx11lncotx1y-yxxsinxcosxylncotx2y-xxsin2x-(cotx)lncotx2xxsin2xx，求y′. 1x1x1x

13.设y2arctan参考答案：

x11解：y'2'22xx1xx1211x1x1x121x1x122x1x1x(1x)x'1x

14.设y=

1,求y(5). 1x123参考答案：

解：y=1xy'11xy\"(1)(2)1x,y(n)(1)nn!1xy(5)(1)55!1x15．求不定积分参考答案：

(n1)(51)

61201xdx.

1x94x294x94x94x12x11arcsind94x223894x212x1arcsin94x2C2341x2dx12dxx2dx

3x,x116．函数f(x)，在x1处是否连续？是否可导？

2x1,x1参考答案：

f(1)3x1x1limf(x)lim3x3x1x1limf(x)lim2x13x1x1x1f(1)limf(x)limf(x)limf(x)故f(x)在x=1连续f'(1)limf(x)f(1)3x3lim3x1x1x1x1f(x)f(1)2x13f'(1)limlim2x1x1x1x1f'(1)f'(1)故f(x)在x=1不可导17.求不定积分参考答案：

ln(1x2)x3dx

ln(1x2)122解：dxln(1x)dxx3212x1ln(1x2)x2dx21x2x2ln(1x2)11 dx222x1xxln(1x2)x1dx22x2x1xln(1x2)12lnxln(1x)C22x2

三、应用题（每题8分，共16分）

18.求曲线yex与直线y0，x1之间位于第一象限内的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积. 参考答案：

解：S=e-0dxex011x10e1e2111Vxexdxe2x12022e0

19.求内接于半径为R的半圆而周长最大的矩形的各边边长. 参考答案：

设该矩形的一边长为x，则另一边长为2R2x2,则周长为L=2x+2R2x22xL'=21-R2x2解得x=

R2x22x0222Rx

545R,则另一边长也为R55

四、证明题（8分）

20．证明：当x>0时，1x<1参考答案：

x1x2111x1f'(x)221x21x当x0时，f(x)>0,，所以函数在区间(0,+)上为增函数 证明：令f(x)1此时，f(x)=1即1x>1x2x1x>f(0)=02x 2