数值分析复习总结题

第一章 引论

1、当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时, 一般要经历哪几个 阶段? 在哪些阶段将有哪些误差产生?（12分）

答：一般会有以下几阶段：实际问题-数学模型-数值方法-计算结果；

建模过程中肯能会产生的误差：模型误差，观测误差；选用数值方法可能会产生的误差：截断误差；计算过程中可能会产生的误差：舍入误差和传播误差。

第二章 多项式插值

1. 利用Lagrange插值公式求下列各离散函数的插值多项式（结果要简化）：

（1）

（2）

解(1)：

方法一. 由 Lagrange 插值公式

L3(x)f0l0(x)f1l1(x)f2l2(x)f3l3(x)

xi -1 -3 -1 -3/2 0 -1/2 0 0 1/2 0 1/2 0 1 1 1 1/2 fi xi fi x(x112)(x1)1l0(x)x(x2)(x1),

(1)(3)(2)32l1(x)(x1)(x12)(x1)122(x21)(x12)，

l2(x)(x1)x(x1)28(x1)x, 3311()222(x1)x(x12)l3(x)(x1)x(x12). 1212可得： L3(x)x2(x12)

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数值分析复习总结题

5、已知

f(x)在xi,i0(1)4的函数值如下表

xi 0 1 2 3 4 0 1 8 27 64 f(xi) 利用插值公式计算 解：函数

f(0.5)的值。 （12分）

f(x)的差分表如下

xi fi fi 2fi 3fi 4fi

0 0

1

1 1 6

7 6

2 8 12 0

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数值分析复习总结题

19 6

3 27 18

37

4 64

x0.5，则t(0.50)/10.5，由Newton向前插值公式，

可分别求得

N1(x)f0f0t010.50.5 1!f02f0N2(x)f0tt(t1)0.25

1!2!3f0N3(x)N2(x)t(t1)(t2)0.125

3!4f0N4(x)N3(x)t(t1)(t2)(t3)0.12500.125

4!

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数值分析复习总结题

第四章、数值积分算法

梯形公式：

baf(x)dx中矩形公式：辛普生公式：

bababa[f(a)f(b)] 2abf(x)dx(ba)f()

2baabf(x)dx[f(a)4f()+f(b)]

62梯形公式和中矩形公式都具有一次代数精度，而辛普生公式具有三次代数精度。

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数值分析复习总结题

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数值分析复习总结题

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数值分析复习总结题

4． 试给出[a,b]上复化辛普森求积公式, 并描述其自适应算法.

复化辛普生公式自适应求积算法的具体步骤： 步1：n1,hba,sn11abf(a)4f()f(b)； 62，

步2：

113s{2f[a(k)h]f[a(k)h]2f[a(k)h]}424k0s21hs1s； 26步3：判断s1s2?，若是，转步5； 步4：n2n,步5：输出s2；

hh,s1s2转步2；

2

14、利用辛甫生求积公式计算积分：012dx，并估计其误差 。（10分）(注意

1x与复化辛普生公式的区别) 解：由辛甫生求积公式，

1111 0dx(10)[f(0)4f()21x62f(1)]

011dx21x411[14]65247600.78333

arctgx00.785488

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1数值分析复习总结题

误差：

Rs0.785490.783330.216102

1、已知函数f(x)在[a,b]上的各离散点: ax1x2x3x2nx2n1b

处的函数值 f(xi), i1,2,,2n1. 试构造f(x)在[a,b]上的分段2次 插值多项式.

2.已知函数f(x)在[a,b]上的各离散点: ax0x1x2xn1xnb

处的函数值 f(xi), i0,1,2,,n.

1) 构造f(x)在[a,b]上的分段线性插值多项式.

2) 假定f(x)在[a,b]上有连续的2阶导数, 试估计以上分段插值的误差.

2.设f(x)x2，求f(x)在区间[0,1]上的分段线性插值函数fh(x)，并估计误差，取等距节点，且h1/10.

解 f(x)x，

2xiih ， i0,1,,10 ， h110

设 xixxi1 ，则： fh(x)f(xi) (ih)2xxi1xxi f(xi1)xixi1xi1xix(i1)hxih ((i1)h)2hhi(i1)(2i1)  x10100 误差估计：

|f(x)fh(x)|f2!ixx(i1)hmax(xih)(x(i1)h).

第五章 线性代数方程组的解法(高斯消去法、迭代法)

1、 用Gauss逐步消去法解方程组

121x10 223x3

2130x32 解：消元：

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数值分析复习总结题

121x10 第1步：021x23 011x32121x10第2步：021x23

1102x32回代：

x11, x21, x31

2、利用Gauss顺序消元法求解方程组:(要求写出消元过程和回代过程)

x12x26x39 2x15x22x31 . （10分） 4xx12x15 312 解：消元过程：

691269126912 25210910190910194112150912210022

x12x26x39 (1) 9x210x319 (2) 2x2 (3)3回代过程： 由（1）得： 代入（2）

x31

 x21

均回代到（1）

 x11

 x11， x21， x31

3、用Gauss顺序消元法求解方程组:(要求写出消元过程和回代过程)

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数值分析复习总结题

x1x22x322x1x2x32 . （10分） 4x1x22x31 解：消元过程：

112211221120134121036

x1x22x32 (1) x23x32 (2)

 3x31 (3)回代过程： 由（1）得： x313

代入（2）

 x23

均回代到（1）  x113  x113， x23， x313 4、 用列主元消去法解方程组

021x15110x32. 232x30解： 第1步：232x10110x2123 0x352 第2步：230121x10x30212 x352 第3步：23021x10x501212 x3310 / 15

221070122132 031数值分析复习总结题

232x10 第4步：021x25 317004x34 回代： x171617, x2, x3 333 五、（12分）用列主元消去法解方程组 021x5110y3 232z0 6、已知方程组

5x1x2x36x15x22x31 x2x4x3231分别写出求解方程组的Jacobi迭代格式和GaussSeidel迭代格式， 并判别两种迭代格式的收敛性 .（12分） 解: 求解方程组的Jacobi迭代格式：

(k1)(k)61(k)x11xx52535(k1)(k)2(k)11xx x2

51535x(k1)1x(k)1x(k)3412243 求解方程组的GaussSeidel迭代格式：

(k1)(k)61(k)x11xx52535(k1)(k1)2(k)11xx5 x25153x(k1)1x(k1)1x(k1)3412243 收敛性：

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数值分析复习总结题

511由于A152是严格对角占优矩阵

124因而，求解方程组的Jacobi迭代格式收敛。

因 (B2)1, Gauss-Seidel 迭代方法发散。

7．(P203)试分别给出求解线性代数方程组AXB的Jacobi迭代、Gauss—Seidle迭代 解：将A(aij)分裂为

ADLU 其中

Ddiag(a11,a22,,ann)

0a21Lan10an,n100，U00a120a1n,

an1,n0 Jacobi迭代方法

若aii0，迭代格式

x(k1)GJx(k)g ①

D1(LU)；(若该矩阵的特征值的绝对值的最大的

其中Jacobi迭代矩阵：GJ

值小于1就是收敛，反之发散)

gD1b

①式可写为分量形式

x(k1)in1[biaijx(jk)] , k0. （*1） aiij1ji方法（*1）或①称为Jacobi迭代方法. Gauss—Seidle迭代方法

若aii0，迭代格式

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数值分析复习总结题

x(k1)GGx(k)g ②

其中，

Gauss-Seidel迭代矩阵：GG 大的值小于1就是收敛，反之发散)

(DL)1U(若该矩阵的特征值的绝对值的最

g(DL)1b

其分量形式

x(k1)ii1n1(k1)[biaijxjaijx(jk)],i1,2,,n. （*2） aiij1ji1(k1)即，在计算新分量xi(k1)时，利用新值xj，j1,2,,i1。

迭代法（*2）或②称为Gauss—Seidel迭代方法 。 8、已知方程组

5x1x2x36 x15x22x31 x2x4x3231（1）分别写出求解方程组的Jacobi迭代式和Gauss-Seidel迭代格式，并判别两种迭代式的

收敛性。

（2）利用Gauss顺序消元法解方程组。（要求写出消元过程和回代过程） 9、给定方程组

11122x11x1 12122x31证明Jacobi迭代方法收敛而G-S迭代方法发散. 解：方程组：

122x11 111 x21 1221x3 Jacobi方法：迭代矩阵：

B1D(DA) 特征方程：det(IB1)0 或： det(D)det(D(LU))0

11a11 a21a12a13a23a22a32a31a3322110 2213 / 15

数值分析复习总结题

0 ，(B1)0 ， Jacobi方法收敛 Gauss-Seidel迭代方法： 迭代矩阵：

B2(DL)U, det(IB2)0 , （特征方程）

或B2的特征化为下面方程的根： det((DL)U)0 即：

13a11 a21a313a12a13a23a22a322a3322210 0, 2222 444220

32 440 ， (2)0

2 10 ， 1,22 （重根） 故G-S迭代方法发散。

第七章 非线性方程数值分析(牛顿迭代方法)

七、（12分）试写出求解方程组 223x1x20,233x1x2x110 的牛顿迭代格式，并给出计算终止的条件？

第八章 欧拉方法

2、 试列出解初值问题

a11y1a12y2,y1(0)y10,y1 0a21y1a22y2,y2(0)y2.y2的改进Euler格式.

解 求解此初值问题的改进Euler格式为：

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数值分析复习总结题

hh111212yyayayayaym1m11m12m11m112m122 

hhy2y2ay1ay2ay1ay2m1m21m22m21m122m122122y(xm)，y2(xm)。 y0 、y0 已知；这里 y1 、ymm无限逼近1写成矩阵形式为

y1m1 2ym13、 已知初值问题

y1ha11a12y1ha11a12y1mmm1222 aym221a22ym2a21a22ym1yx2y , 0x0.3 y(0)2 取步长h0.1, 用欧拉公式求出初值问题的解函数y的数值解.（10分）(保留4位小数)

2yn1ynhf(xn,yn)yn0.1(xnyn)

解:建立具体的Euler公式,

将y0y(0)2 , xnx0nh0.1n , (n0,1,2,3)代入可得

2y1y00.1(x0y0)20.1(02)2.22y2y10.1(x1y1)2.20.1(0.122.2)2.421

2y3y20.1(x2y2)2.4210.1(0.222.421)2.6671八、（12分）用Euler方法求解常微分方程初值问题 y(x)f(x,y(x)),axb, y(a)y0,y0R.

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