华东师大初中七年级上册数学整式的加减(一)——合并同类项(提高)知识讲解

【学习目标】

1．掌握同类项及合并同类项的概念，并能熟练进行合并； 2. 掌握同类项的有关应用；

3. 体会整体思想即换元的思想的应用． 【要点梳理】

【高清课堂：整式加减（一）合并同类项 同类项】

要点一、同类项

定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．

要点诠释：

(1)判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可． (2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关．

(3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项． 要点二、合并同类项

1. 概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．

2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变． 要点诠释：合并同类项的根据是乘法的分配律逆用，运用时应注意： (1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄； (2)系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)． 【典型例题】 类型一、同类项的概念

1． 判别下列各题中的两个项是不是同类项： (1)-4ab与5ba；(2)23

32

23

1221xyz与xy2z2；(3)-8和0；(4)-6a2b3c与8ca2． 3332

【答案与解析】 (1)-4ab与5ba是同类项；(2)不是同类项；(3)-8和0都是常数，是同

22

类项；(4)-6ac与8ca是同类项．

【总结升华】辨别同类项要把准“两相同，两无关”，“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；“两无关”是指：①与系数及系数的指数无关；②与字母的排列顺序无关．此外注意常数项都是同类项.

2．（2016•邯山区一模）如果单项式5mxy与﹣5nxy是关于x、y的单项式，且它们是同类项．求

2013

（1）（7a﹣22）的值；

a2a﹣32014

（2）若5mxy﹣5nxy=0，且xy≠0，求（5m﹣5n）的值． 【思路点拨】（1）根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得关于a的方程，解方程，可得答案；

（2）根据合并同类项，系数相加字母部分不变，可得m、n的关系，根据0的任何整数次幂都得零，可得答案．

a2a﹣3

【答案与解析】解：（1）由单项式5mxy与﹣5nxy是关于x、y的单项式，且它们是同类项，得a=2a﹣3，解得a=3；

201320132013

∴（7a﹣22）=（7×3﹣22）=（﹣1）=﹣1；

a2a﹣3

（2）由5mxy﹣5nxy=0，且xy≠0，得 5m﹣5n=0， 解得m=n；

a

2a﹣3

∴（5m﹣5n）=0=0．

【总结升华】本题考查了同类项，利用了同类项的定义，负数的奇数次幂是负数，零的任何正数次幂都得零．

举一反三：

【变式】（2015•石城县模拟）如果单项式﹣xy与xy是同类项，那么a、b的值分别为（ ） A. a=2，b=3 B. a=1，b=2 C. a=1，b=3 D. a=2，b=2 【答案】C

解：根据题意得：a+1=2，b=3， 则a=1．

类型二、合并同类项

【高清课堂：整式加减（一）合并同类项 例2】

3．合并同类项：

a+13

2b

20142014

13x2x243x22x5；26a25b22ab5b26a2； 35yx24xy22xy6x2y2xy5;

232343x12x151x41x （注：将“x1”或“1x”看作

整体）

【思路点拨】同类项中，所含“字母”，可以表示字母，也可以表示多项式，如（4）． 【答案与解析】

（1）原式32x23x245xx21x2x1 （2） 原式=6a26a25b25b22ab2ab

（3）原式=5x2y6x2y2xy2xy4xy25xy4xy5

22223323（4）原式3x15x12x14x12x16x1

【总结升华】无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄. 举一反三： 【变式1】

化简：（1）

1312xyx3y2xyx3 （2） (a-2b)2+(2b-a)-2(2b-a)2+4(a-2b) 543311231123xyxyx3x3y2()xy()x3y25334533421xyx3y2.

1512

【答案】原式

（2） (a-2b)2+(2b-a)-2(2b-a)2+4(a-2b)

=(a-2b)2-2(a-2b)2+4(a-2b)-(a-2b) =(1-2)(a-2b)2+(4-1)(a-2b) =-(a-2b)+3(a-2b).

4.（2015•大丰市一模）若﹣2ab与5ab的和是单项式，则m+n= ．

m42n+7

【思路点拨】两个单项式的和仍是单项式，这说明﹣2ab与5ab是同类项． 【答案】-1

m42n+7

【解析】解：由﹣2ab与5ab是同类项，得

m4

2n+7

2

，

解得

．

m+n=﹣1，

故答案为：﹣1．

【总结升华】要善于利用题目中的隐含条件． 举一反三：

【变式】若5ab与0.2ab可以合并，则x ，y . 【答案】3,3 类型三、化简求值

5. 化简求值：

（1）当a1,b2时，求多项式5ab（2）若4a3b(3b2)20，

求多项式2(2a3b)3(2a3b)8(2a3b)7(2a3b)的值． 【答案与解析】（1）先合并同类项，再代入求值：

22x33y9329111ababa3b2aba3b5的值． 24249132911)ab(5)aba3b5 2244323 =4abab5

323323将a1,b2代入，得：4abab541(2)1(2)519 （2）把(2a3b)当作一个整体，先化简再求值：

22原式=(28)(2a3b)(37)(2a3b)10(2a3b)10(2a3b)

原式=(由4a3b(3b2)0可得：4a3b0,3b20 两式相加可得：4a6b2，所以有2a3b1

代入可得：原式=10(1)10(1)20

【总结升华】此类先化简后求值的题通常的步骤为：先合并同类项，再代入数值求出整式的值． 举一反三：

【高清课堂：整式的运算（一）—合并同类项 例4】 【变式】已知3x【答案】

a322y4与2xyb2是同类项，求代数式3b26a3b2b22a3b的值.

解：3xa3y4与2xyb2是同类项，a31,b24.a2,b6.3b26a3b2b22a3b3b22b26a3b2a3bb24a3b,当a2,b6时，原式62426228.

类型四、综合应用

6. 若多项式-2+8x+(b-1)x+ax与多项式2x-7x-2(c+1)x+3d+7恒等，求ab-cd. 【答案与解析】

2

3

3

2

3法一：由已知

ax+(b-1)x+8x-2≡2x-7x-2(c+1)x+(3d+7)

3

2

3

2

a2,a2,b6,b17, ∴  解得：

c5,82(c1),d3.23d7.∴ab-cd=2×(-6)-(-5)×(-3)=-12-15=-27.

法二：说明：此题的另一个解法为：由已知

(a-2)x+(b+6)x+[2(c+1)+8]x-(3d+9)≡0. 因为无论x取何值时，此多项式的值恒为零.所以它的各项系数皆为零，即从而得

a20,a2, 解得： b6, b60, 2(c1)80,c5, (3d9)0.d3.【总结升华】若等式两边恒等，则说明等号两边对应项系数相等；若某式恒为0，则说明各项系数均为0；若某式不含某项，则说明该项的系数为0． 举一反三：

【变式1】若关于x的多项式-2x+mx+nx+5x-1的值与x的值无关，求(x-m)+n的最小值. 【答案】 -2x+mx+nx+5x-1=nx-2x+mx+5x-1=(n-2)x+(m+5)x-1 ∵ 此多项式的值与x的值无关，

2

2

2

2

2

2

2

2

3

2

n20,n2∴  解得: 

m50.m5当n=2且m=-5时， (x-m)2+n=[x-(-5)]2+2≥0+2=2. ∵(x-m)2≥0，

∴当且仅当x=m=-5时，(x-m)2=0，使(x-m)2+n有最小值为2.

2x【变式2】若关于x,y的多项式：xymxynxy四次三项式，求m+n的值．

【答案】分别计算出各项的次数，找出该多项式的最高此项：

因为xm2m22m23m3m3ymn，化简后是

y2的次数是m，mxm2y的次数为m1，nx3ym3的次数为m，2xm3y的次

m2数为m2，

又因为是三项式 ,所以前四项必有两项为同类项，显然x后为0，

所以有m5,1n0 ，mn5(1)4．

y2与nx3ym3是同类项，且合并