高一数学 函数图像的变换

函数图像的变换

一、知识梳理

1.水平平移：

函数yf(xa)的图像是将函数yf(x)的图像沿x轴方向向左（a＞0）或向右（a＜0）平移个单位得到.称之为函数图象的左、右平移变换. 2.竖直平移：

函数yf(x)a的图像是将函数yf(x)的图像沿y轴方向向上（a＞0）或向下（a＜0）平移个单位得到.称之为函数图象的上、下平移变换. 3.要作函数yaaf(x)的图象，只需将函数yf(x)的图象y轴右侧的部分对称到y轴左侧去，而y轴左

侧的原来图象消失.称之为关于y轴的右到左对称变换（简称去左翻右）. 4.要作函数yf(x)的图象，只需将函数yf(x)的图象x轴下方的部分对折到x轴上方即可.叫做关于

x轴的下部折上变换（简称去下翻上）.

5.要作yf(x)的图象，只需将函数yf(x)的图象以y轴为对折线，把ｙ轴右侧的部分折到y轴左侧去.同时，将y轴左侧的部分折到y轴右侧去.叫做关于y轴的翻转变换.

6.要作函数yf(x)的图象，只需将函数yf(x)的图象以x轴为对折线，把x轴上方的图形折到x轴下方去，同时又把x轴下方的图象折到x轴上方去即可.叫做关于x轴的翻转变换.

7.要作函数yf(ax)（a＞0）的图象，只需将函数yf(x)图象上所有点的横坐标缩短（a＞1）或伸长（0＜a＜1）到原来的

1倍（纵坐标不变）即可（若a＜0，还得同时进行关于y轴的翻转变换.这种变a换叫做函数图象的横向伸缩变换.

8.要作函数yAf(x)（Ａ＞0）的图象，只需将函数yf(x)图象上所有点的纵坐标伸长（Ａ＞1）或缩短（0＜Ａ＜1）到原来的Ａ倍（横坐标不变）即可.这种变换叫做函数图象的纵向伸缩变换（若Ａ＜0，还要再进行关于x轴的翻转变换）.

9.要作函数yf(ax)的图象，只需将函数yf(x)的图象发生关于直线x＝

a的翻转变换即可. 2实质上，这种变换是函数图象左右平移变换与关于y轴翻转变换的复合，即先把yf(x)图象发生左右平移得到函数yf(xa)的图象，再关于y轴翻转便得到yf(ax)的图象. 10.要作函数yhf(x)的图象，只需将函数yf(x)的图象发生关于直线y＝

第 1 页 共 11 页

h的翻转变换即可. 2

实质上，这种变换是函数图象的关于x轴的翻转变换与上下平移变换的复合，即先把函数yf(x)的图象发生关于x轴的翻转变换得到yf(x)的图象，再把yf(x)的图象向上（h＞0）或向下（h＜0）平移｜h｜个单位便得到函数yhf(x)的图象.

综合第9、第10变换，要作函数yhf(ax)的图象，只需做出函数yf(x)图象的关于点（的中心对称图形即可. 二、方法归纳

1.作图象：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法.

ah，）22作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质（即单调性、奇偶性、周期性、有界性及变化趋势（渐进性质）；④描点连线，画出函数的图象.

用图象变换法作函数图象，①要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换；②是确定实施怎样的变换.

2.识图象：对于给定的函数图象，能从图象的左右、上下分布范围，变化趋势、对称性等方面的观察，获取有关函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等方面的信息.

3.关注函数图像的变换对函数的性质的影响.

三、典型例题精讲

【例1】函数f(x)loga|x|1(0a1)的图象大致为（ ）

错解分析：错解一：由loga|x|≥0，得loga|x|1≥1，即f(x)≥1，故选B.

错误在于误将loga|x|等同于|logax|，做出误判loga|x|≥0.

错解二：没注意0a1，而默认为a1，故选Ｃ.

解析：考虑0a1，当x0时，f(x)logax1为减函数，淘汰B、Ｃ.

当x1时，f(x)1，故选A. 又例：函数y3log3x的图象大致是（ ）

第 2 页 共 11 页

解析： 由

log3x≥0，得y3log3x≥1，故选A.

x1【例2】函数f(x)1log2x与g(x)2在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）

解析：因函数f(x)1log2x的图象是由ylog2x的图象向上平移1个单位得到，

故B、C、D满足； 又函数g(x)2x111()x1，其图象为y()x的图象向右平移1个单位得到， 22故A、C满足.由此选C.

技巧提示：本题中的错误答案均为对函数进行错误变换而得，因此只要变换正确，就能做出正确的选择.本题亦可用特殊值法得到正确的选项.由f(1)1，可知B、C、D满足；又g(0)2，可知A、C满足.故选C.

又例：函数f(2x3)的图象，可由函数f(2x3)的图象经过下述哪个变换得到（ ）

A.向左平移6个单位 B.向右平移6个单位 C.向左平移3个单位 D.向右平移3个单位

解析：将函数f(2x3)中的x用x3代之，即可得到函数f(2x3)，

所以将函数f(2x3)的图象向右平移3个单位即可得到函数f(2x3)的图象， 故选D.

x2【例3】函数y3的图象与函数y()的图象关于（ ）

x13

A.点（－1，0）对称 B.直线x＝1对称 C.点（1，0）对称

D.直线x＝－1对称

第 3 页 共 11 页

x232xf(2x)， 解析：若记yf(x)3，则()x13由于yf(x)与yf(2x)的图象关于直线x＝1对称，∴ 选B.

技巧提示：若f(x)自身满足f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线x＝a对称；

若f(x)自身满足f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于点（a，0）对称. 两个函数yf(x)与yf(2ax)的图象关于直线x＝a对称； 两个函数yf(x)与yf(2ax)的图象关于点（a，0）对称.

【例4】设f(x)2x2，若ab0，且f(a)f(b)，则ab的取值范围是（ ）

A.(0,2) B.(0,2]

2C.(0,4] D.(0,2)

解析：保留函数y2x在x轴上方的图象，将其在x轴下方的图像翻折到x轴上方区即可得到函数f(x)2x2的图象.

通过观察图像，可知f(x)在区间(,2]上是减函数，在区间[2,0]上是增函数， 由ab0，且f(a)f(b).可知a2b0， 所以f(a)a2，f(b)2b， 从而a222b2，即a2b24，

又(ab)ab2ab42ab＞0，所以0ab2.故选A.

技巧提示：本题考查函数图象的翻折变换，体现了数学由简到繁的原则，通过研究函数y2x的图象和性质，进而得到f(x)2x2的图像和性质.由ab0，且f(a)f(b)，得到a2b24才使得问题变得容易.

又例：直线y1与曲线yx解析：因为函数yx22222222xa有四个交点，则a的取值范围是 .

xa是偶函数，所以曲线yx2xa关于y轴对称.

22当x≥0时，yxxa＝(x)a121， 4其图象如下：

第 4 页 共 11 页

y a O x a14

15a1由直线y1与曲线有四个交点，得，解得1a.

a144故a的取值范围是(1,).

再例：已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x4)f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f(x)m (m＞0)在区间8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4，x1x2x3x4_________.

解析：因为定义在R上的奇函数，满足f(x4)f(x)，所以f(4x)f(x)，

函数图象关于直线x2对称，且f(0)0，

再由f(x4)f(x)知f(x8)f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数， 又因为f(x)在区间[0，2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2，0]上也是增函数. 如图所示，那么方程f(x)m (m＞0)在区间8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4， 不妨设x1x2x3x4，

由对称性知x1x212x3x44所以x1x2x3x41248.

y f(x)=m (m>0) -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x

【例5】定义在R函数f(x)＝

54(2m)x的图象如下图所示，则m的取值范围是（ ） 2xmA.（－∞，－1） B.(－1，2) C.(0，2) D.(1，2)

第 5 页 共 11 页

解析：方法一（排除法）：若m≤0，则函数f(x)(2m)x的定义域不为R，

x2m与图象信息定义域为R不符，故排除掉A、B. 取m＝1，f(x)＝

x，此函数当x＝±1时，f(x)取得极值， 2x1与所给图形不符，排除C.选D.

方法二：显然f(x)为奇函数，又f(1)＞0，f(1)＜0，即

m2＜0，解得－1＜m＜2. 1m又f(x)取得最大值时，x＝m＞1， ∴ m＞1，∴ 1＜m＜2.故选D.

技巧提示：根据已给图形确定解析式，需要全面扑捉图象信息.m对奇偶性影响不大，但对定义域、极值点影响明显.

又例：当参数1,2时，连续函数yA.012 B.021 C.120 D.210 解析：由条件中的函数是分式无理型函数，

先由函数在(0,)是连续的，

可知参数10,20，即排除C，D项， 又取x1，知对应函数值y1Ｏ x1x 则（ ） (x0) 的图像分别对应曲线C1和C2，

y ＣＣx 111，y2112，

由图可知y1y2,所以12，即选B项.

【例6】定义区间[x1,x2](x1x2)的长度为x2x1，已知函数f(x)|log1x|的定义域为[a,b]，值域

2为[0,2]，则区间[a,b]的长度的最大值与最小值的差为 .

第 6 页 共 11 页

错解分析：函数f(x)|log1x|的图象如图.

2y 2 Ｏ １ x 令f(x)|log1x|2，得x124或x4. ∴f(14)f(4)2，又f(1)0，

∴[a,b]长度的最大值为413；最小值为11434. 故所求最大值与最小值的差为33944. 解析：函数f(x)|log1x|的图象如上图.

2令f(x)|log1x|2，得x14或x4. 2∴[a,b]长度的最大值为414154；最小值为11434. 故所求最大值与最小值的差为

154343. 技巧提示：准确作出函数的图象，正确理解区间长度的意义是解决此类问题的关键.

又例:已知函数f(x)logxa(2b1)(a0,a1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是（A.0a1b1 B.0ba11 y C.0b1a1

D.0a1b11

O x

解析：由图易得a1，∴0a11

1 取特殊点x0，1f(0)logab0. 即1log1aalogabloga1， 第 7 页 共 11 页

）

∴0a1b1.故选A.

【例7】若不等式9x2k(x2)2的解集为区间a,b，且b－a＝2，则k= . 分析:本题主要考查解不等式、直线过定点问题，我们可以在同一坐标系下作出y19x2，

y2k(x2)2的图像，根据图像确定k的值。

解析： 令y19x2，y2k(x2)2，

在同一个坐标系中作出其图象，

y -3 （-2，20 ） 3 x 因9x2k(x2)2的解集为区间a,b，且b－a＝2， 结合图象知b＝3、a＝1，

即直线与圆的交点坐标为(1,22).∴k2222 ∴k=2.

12技巧提示：看似与函数无关，但利用函数的图象，运用数形结合思想把问题置于直观简捷状态，就容易解决.若先平方整理求解，运算量大，极易出错.

四、课后训练

1.将函数y3的图象向左平移2个单位得到曲线C，若曲线C关于原点对称，那么实数a的值为（ ） xaA.1 B.2 C.1 D.2

2.已知函数f(x1)的图象过点0,2，那么函数f(x)的图象一定经过（ ） A.0,2 B.（1，2） C.（2，2） D.（-1，2）

3.已知定义域为R的函数f(x)在(8，)上为减函数，且函数yf(x8)为偶函数，则（ ）. A.f(6)f(7) B.f(6)f(9) C.f(7)f(9) D.f(7)f(10)

第 8 页 共 11 页

4.已知函数f(x)|lgx|，若0ab，且f(a)f(b)，则a与b关系为（ ） A.ab1 B.ab1 C.ab1 D.2ab

5.用min{a，设f(x)min{2,x2,10x}（x0），则f(x)b，c}表示a、b、c三个数中的最小值，的最大值为（ ）

A.4 B.5 C.6 D.7 6.方程2xx23的实数解的个数为 . 7.函数yf(x1)与yf(1x)的图象关于直线 对称.

8.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(2x)f(2x)，又当x(0,2)时，f(x)时，f(x)的解析式为 .

9.曲线y14x2(–2≤x≤2)与直线yr(x2)4有两个交点时，求实数r的取值范围.

10.设曲线C的方程是yxx，将C沿x轴、y轴正方向分别平移t、s(t0)个单位长度后得到曲线

3x1， 则当x(4,2)xC1.（1）写出曲线C1的方程；

（2）证明曲线C与C1关于点A(,)对称；

ts22t2（3）如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明：st 4

五、参考答案

1.B 2.B 3.D 4.B 5.C

第 9 页 共 11 页

解析：由题意知函数f(x)是三个函数y12，y2x2，y310x中的较小者，

作出三个函数在同一坐标系下的图象，可知A（4，6）为函数f(x)图象的最高点.故选C. 6.答案：2

解析：利用数形结合，分别作出函数y2xx与函数y3x的图像，

2观察两图象有几个交点，交点的横坐标即为原方程的实数解. 7.答案：x1. 8. 答案：f(x)539. 答案：,

1241. x4解析：方程y14x2的曲线为半圆，yr(x2)4为过（2，4）的直线.数形结合即得到答案. 10.解析 （1）曲线C1的方程为y(xt)(xt)s；

3（2）在曲线C上任意取一点B1(x1,y1)，设B2(x2,y2)是B1关于点A的对称点，

则有

x1x2ty1y2s,， 2222∴x1tx2,y1sy2.

代入曲线C的方程，得x2,y2的方程：sy2(tx2)(tx2). 即y2(x2t)(x2t)s 可知点B2(x2,y2)在曲线C1上.

反过来，同样证明，在曲线C1上的点A的对称点在曲线C上. 因此，曲线C与C1关于点A对称. （3）因为曲线C与C1有且仅有一个公共点，

3yxx∴方程组 有且仅有一组解， 3y(xt)(xt)s33消去y，整理得3tx3tx(tts)0， 这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根， ∴9t12t(tts)0，

第 10 页 共 11 页

43223

t3即得t(t4t4s)0，因为t0，所以st.

43第 11 页 共 11 页