1993考研数学三真题及答案解析

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)3x252

(1)limsin

x5x3x.(2)已知yf

dy3x22

则,fxarctanx,

dx3x2

.*



x0.(ln3)n(3)级数的和为n2n0(4)设4阶方阵A的秩为2,则其伴随矩阵A的秩为.(5)设总体X的方差为1,根据来自X的容量为100的简单随机样本,测得样本均值为5,则X的数学期望的置信度近似等于0.95的置信区间为.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设fx

1xsin,x0,2xx0,0,

则fx在点x0

处()(A)极限不存在(C)连续但不可导(B)极限存在但不连续(D)可导(2)设fx为连续函数,且Fx

lnx1xftdt,则Fx等于1

flnxx1fx1x

()(A)111flnx2fxxx111flnx2fxxx

(B)(C)(D)flnxf

(3)n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的(A)充分必要条件(C)必要而非充分条件(4)假设事件A和B满足P(BA)1,则(A)A是必然事件(C)AB

(B)P(BA)0.(D)AB

(B)充分而非必要条件(D)既非充分也非必要条件()()(5)设随机变量X的密度函数为(x),且(x)(x).F(x)是X的分布函数,则对任意实数a,有(A)F(a)1()a0(x)dx.(B)F(a)

a1

(x)dx20

(C)F(a)F(a)(D)F(a)2F(a)1

三、(本题满分5分)zyx

设zfx,y是由方程zyxxe0所确定的二元函数,求dz.四、(本题满分7分)xa22x已知lim4xedx,求常数a的值.axxa

x

五、(本题满分9分)设某产品的成本函数为Caqbqc,需求函数为q

2

1

(dp),其中C为成本,qe为需求量(即产量),p为单价,a,b,c,d,e都是正的常数,且db,求:(1)利润最大时的产量及最大利润;(2)需求对价格的弹性;(3)需求对价格弹性的绝对值为1时的产量.六、(本题满分8分)假设:(1)函数yf(x)(0x)满足条件f(0)0和0f(x)e1;(2)平行于y轴的动直线MN与曲线yf(x)和ye1分别相交于点P1和P2;(3)曲线yf(x),直线MN与x轴所围封闭图形的面积S恒等于线段PP12的长度.求函数yf(x)的表达式.x

x

七、(本题满分6分)假设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,过点A(0,f(0))与B(1,f(1))的直线与曲线yf(x)相交于点C(c,f(c)),其中0c1.证明:在(0,1)内至少存在一点,使f()0.八、(本题满分10分)k为何值时,线性方程组x1x2kx34,2x1kx2x3k,xx2x4312有惟一解,无解,有无穷多组解?在有解情况下,求出其全部解.九、(本题满分9分)设二次型22

fx12x2x32x1x22x2x32x1x3

经正交变换XPY化成fy22y3,其中X(x1,x2,x3)和Y(y1,y2,y3)是三维列2

2

T

T

向量,P是3阶正交矩阵.试求常数,.十、(本题满分8分)设随机变量X和Y同分布,X的概率密度为32

x,0x2,f(x)8其他.0,

(1)已知事件AXa和BYa独立,且PAB(2)求1

的数学期望.2X3

.求常数a.4

十一、(本题满分8分)假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数Nt服从参数为t的泊松分布.(1)求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；(2)求在设备已经无故障工作8小时的情形下,再无故障运行8小时的概率Q.1993年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】65

sin2x2x,3x2523x25

sin2lim2lim【解析】lim

x5x3xx5x3xx

2

xlimsint1,而limxt02txsin

3x25236limsin21.x5x3x5534

极限3x256x3lim2洛lim,x5x3xx10x5

所以(2)【答案】【解析】令gx

3x212

,则有g01,gx,则g03,23x23x2由复合函数求导法则知dydx

(3)【答案】fg0g03f13arctan1

x0

3.4

22ln3

【解析】利用几何级数求和公式xn

n0



1ln3(x1),令x,即得1x2

(ln3)n12.nln322ln3n0

1

2

(4)【答案】0

【解析】本题考查伴随矩阵的定义及矩阵的秩的定义.由于rA2,说明A中3阶子式全为0,于是A的代数余子式Aij0,故A0.*

所以秩rA

0.

*

若熟悉伴随矩阵A秩的关系式*

n, rAn,

rA*1,rAn1,



0,rAn1,

易知rA

0.

*

注：按定义A11AA*12

A1nA21An1A22An2,



A2nAnn

伴随矩阵是n阶矩阵,它的元素是行列式A的代数余子式,是n1阶子式.(5)【答案】(4.804,5.196)

【解析】此题是求一个一般总体、大样本、方差已知的关于期望值的置信区间,可以用正态总体的区间估计公式近似求其置信区间.因X的方差为1,设X的期望为,则U

当置信度为10.95,时0.05,有正态分布表知uXN(0,1)./n2u0.0251.96.因此用公式：I(x

u,xu).n2n2将x5,1,n100,u1.96代入上式,得到所求的置信区间为I(4.804,5.196).2二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(C)【解析】利用函数连续定义判定.由于当x0时,sin

1

为有界变量,x2x0

x为无穷小量,则1

0,且f00.x2limfxlim

x0

xsin于是fx在x0处连续.故(A)(B)不正确.又因为lim

x0

xsin1

f0x2lim

x0x0

xsin1

x2lim1sin1不存在,所以fxx0xx2x在x0处不可导,所以选(C).【相关知识点】函数连续定义：如果函数在x0处连续,则有limf(x)limf(x)f(x0).xx0

xx0

(2)【答案】(A)【解析】111flnx11

Fxflnxf22f.

xxxxxx

【相关知识点】积分上限函数的求导公式：dxftdtfxxfxx.xdx(3)【答案】(B)【解析】AA有n个线性无关的特征向量.由于当特征值12时,特征向量1,2线性无关.从而知,当A有n个不同特征值时,矩阵A有n个线性无关的特征向量,那么矩阵A可以相似对角化.因为当A的特征值有重根时,矩阵A仍有可能相似对角化(当特征根的代数重数等于其几何重数的时候),所以特征值不同仅是能相似对角化的充分条件,故应选(B).(4)【答案】(D)【解析】P(BA)1的充分必要条件是P(AB)

1,即P(AB)P(A).显然四个选项中,P(A)

当AB时,ABA,可得P(AB)P(A).因此AB是P(BA)1的充分条件.因此选(D).(5)【答案】(B)【解析】题目即考查概率论方面的知识,在计算过程中又用到定积分的一些知识.由积分的性质,换元积分,并改变积分上下限有F(a)(x)dx(t)dt(x)dx,





a

a

xt

a



随机变量X的密度函数为(x),则0







(x)dx1,又由于(x)(x),所以1

,(偶函数积分的性质)02

a0a1即(x)dx(x)dx(x)dx(x)dx.a0a2

aa1a

于是F(a)(x)dx(x)dx(x)dx(x)dx(x)dx.a0020

(x)dx(x)dx



故应选(B).三、(本题满分5分)【解析】方法一：利用一阶微分形式的不变性,将方程两端微分,得dzdydxezyxdxxezyxdzdydx0.

整理后得1xe

zyx

dz1xe

zyx

ezyxdx1xezyxdy.

1xezyxezyx

由此,得dzdxdy.1xezyx方法二：应先求出函数对x,y的偏导数,将zyxxe

zyx

0两边分别对x,y求偏导,zyx

zxezyxzx1ex10,zyxzzy10,y1xe

解之得zx

1x1ezyx

1xezyx,zy1.故dzzxdxzydy

1x1ezyx

1xezyxdxdy.四、(本题满分7分)【解析】2a2axa

limlim1lim1xxxaxaxxa

xx

xa2ax

2axa

,令

2a

t,则当x时,t0,xa2a

lim1x

xa

xa2a

lim1te,t0

2axlimxxa

1

t所以而2a

lim1x

xa

xa2ax2axa

ee2a.





a

4xe

22x

dx2

b



a

xde

22x

22x2x

2xea4axedx





lim2b2e2b2a2e2a2xde2x

a

2x

2a2e2a2xe

a

2e2xdx

a



2b2a2b2a

2a2e2alim2be2aelimeebb

2a2e2a2ae2ae2a,由e

2a

2a2e2a2ae2ae2a,得a2a0,所以a0或a1.

五、(本题满分9分)【解析】(1)利润函数为LpqC(deq)q(aq2bqc)(db)q(ea)q2c,对q求导,并令dLdLdb

.0,得(db)2(ea)q0,得q

dqdq2(ea)dbd2L

因为所以,当时为利润函数的极大值点,根据题意也是利q2(ea)0,2

2(ea)dq

润的最大值点,所以Lmax

(db)2

c.4(ea)(2)因为q(p)

11peqd

.(dp),所以q(p),故需求对价格的弹性为q

eeqeqd

.2e

(3)由1,得q

六、(本题满分8分)【解析】由题设可得示意图如右.设P1(x,f(x)),P2(x,e1),则SPP12,即x



x

0

f(t)dtex1f(x).x

x

两端求导,得f(x)ef(x),即f(x)f(x)e.由一阶线性非齐次微分方程求解公式,得p(x)dxp(x)dxf(x)e(q(x)edxC)

dxdx1

e(exedxC)(exexdxC)exCexex.

211xx

由初始条件f(0)0,得C.因此,所求函数为f(x)(ee).22

【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程yp(x)yq(x)的通解公式为:p(x)dxp(x)dx

ye(q(x)edxC),其中C为常数.七、(本题满分6分)【解析】因为f(x)分别在[0,c]和[c,1]上满足拉格朗日中值定理的条件,故存在1(0,c),2(c,1),使得f(c)f(0)f(1)f(c)

,f(2),c01cf(c)f(0)f(1)f(c)f(1)f(0)

f(1)f(0),由于点C在弦AB上,故有c01c10

f(1)

从而f(1)f(2)f(1)f(0).

这表明f(x)在区间[1,2]上满足罗尔定理的条件,于是存在(1,2)(0,1),使得f()0.八、(本题满分10分)【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换,第一行和第三行互换,再第一行分别乘以1、1加到第二行和第三行上,再第二行和第三行互换,再第二行乘以

1k

加到第三行上,有2

11k41124

1k1k22A1k1k

112411k4

24112411

02

0k13k42k28

2

2k283k400k1112402k28.(1k)(4k)

k(k4)00

2

(1)当k1且k4时,r(A)r(A)3,方程组有唯一解,即k22kk22k42k

x1,x2,x3.k1k1k1

(2)当k1时,r(A)3,r(A)2方程组无解.11241030

(3)当k4时,有A02280114.00000000

因为r(A)r(A)23,方程组有无穷多解.取x3为自由变量,得方程组的特解为(0,4,0).又导出组的基础解系为(3,1,1),所以方程组的通解为k,其中k为任意常数.【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A是mn矩阵,线性方程组Axb有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵AAb的秩,即r(A)r(A).(或者说,b可由A的列向量1,2,,n线表出,亦等同于1,2,,n与1,2,,n,b是等价向量组)设A是mn矩阵,线性方程组Axb,则（1）有唯一解（2）有无穷多解T

T



r(A)r(A)n.r(A)r(A)n.

（3）无解

r(A)1r(A).b不能由A的列向量1,2,,n线表出.九、(本题满分9分)1【解析】经正交变换二次型f的矩阵分别为A111

10

1.,B

12

由于P是正交矩阵,有PAPB,即知矩阵A的特征值是0,1,2.那么有22

A20,

0.

EA20.

【相关知识点】二次型的定义：含有n个变量x1,x2,,xn的二次齐次多项式(即每项都是二次的多项式)fx1,x2,,xnaijxixj,其中aijaji,i1j1

nn

称为n元二次型,令xx1,x2,,xn,Aaij,则二次型可用矩阵乘法表示为T

fx1,x2,,xnxTAx,

其中A是对称矩阵AA,称A为二次型fx1,x2,,xn的矩阵.T

十、(本题满分8分)【解析】(1)依题意,因为随机变量X和Y同分布,则PAPXaPYaPB,又事件AXa和BYa独立,故PABPAPB.估计广义加法公式：23

PABPAPBPAPB2PAPA.42313PA2PA0.P(A)P(A)解以P(A)为未知量的方程得,(因不合题422

意).再依题设条件可知1

P(A)P{Xa}2

3





a

f(x)dx

3321

xdx(8a3).a88

2

再解以a为未知量的方程:8a4,得a4.(2)直接根据公式可求得随机变量函数的数学期望:121323312

E2fxdxxdxdxxx20x2808X8

2

0

3.4十一、(本题满分8分)【解析】本题的关键在于理解随机变量Nt的意义,事件{Ntk}表示设备在任何长为t

(t)kt的时间内发生k次故障,其概率为P{Ntk}e(k0,1,2).k!由于T表示相继两次故障之间时间间隔,故当t0时,FtPTt0;当t0时,事件Tt与Tt是互逆事件,并且Tt表示在长为t的时间内没有发生故障,它等价于事件Nt0.(1)易见T是只取非负值的连续型随机变量.当t0时,FtPTt0;

当t0时,事件Tt与Nt0等价.于是有FtPTt1PTt1PNt01et.

因此1et,t0

.Ft

0,t

计算得知T服从参数为的指数分布.(2)由于指数分布具有“无记忆性”,因此QPT16|T8PT81PT81F(8)1(1e8)e8.