初中数学九年级(上册)《一元二次方程》热门应用题

一元二次方程的热门应用题

一、面积问题

例1 张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15米的无盖长方体运输箱，且此长方体运输箱底面的长比宽多2米．现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？

解：设这种运输箱底部宽为x米，则长为（x+2）米．依题意，得x（x+2）×1=15． 化简，得x+2x-15=0．

解之，得x1=3，x2=-5（不合题意，舍去）． 所以这种运输箱底部长为5米，宽为3米． 由长方体展开图知，购买的矩形铁皮面积为 （5+2）×（3+2）=35（米）．

故购回这张矩形铁皮要花35×20＝700元钱． 点评：本题要深刻理解题意中的已知条件，弄清各数据的相互关系，布列方程，并正确决定一元二次方程根的取舍问题．解决此类问题要善于运用转化的思想方法，将实

文案

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标准

际问题转化为数学问题． 二、数字问题

两个数的和等于6,积等于8,求这两个数. 三、销售利润问题

例2 某种新产品进价是120元，在试销阶段发现每件售价（元）与产品的日销量（件）始终存在下表中的数量关系：

（1）请你根据上表所给数据表述出每件售价提高的数量（元）与日销量减少的数量（件）之间的关系． （2）在不改变上述关系的情况下，请你帮助商场经理策划每件商品定价为多少元时，每日盈利可达到1 600元？ 解：（1）由表格中数量关系可知：该产品每件售价上涨1元，其日销量就减少1件．

（2）设每件产品涨价x元，则销售价为（130+x）元，日销量为（70-x）件．

由题意，得［（130+x）-120］（70-x）=1 600， 解得x1=x2=30，130+30=160（元）．

答：每件商品定价为160元时，每日盈利达到1 600

文案

标准

元．

点评：随着市场经济的日益繁荣，市场竞争更是激烈．因此，“销售问题”还将是人们关注的焦点，还会被搬上中考试卷．这不仅较好地锻炼了学生分析问题、解决问题的能力，而且让同学们真正体会到数学的宝贵价值．值得说明的是，第（2）小题还可以用表格中其它两组数据列出方程，结果相同，同学们不妨试一试． 四、旅游消费问题

例3 （南通市）据2005年5月8日《南通日报》报道：今年“五一”黄金周期间，我市实现旅游收入再创历史新高，旅游消费呈现多样化，各项消费所占比例如下图所示，其中住宿消费为3 438.24万元．

（1）求我市今年“五一”黄金周期间旅游消费共多少亿元？旅游消费中各项消费的中位数是多少万元？ （2）对于“五一”黄金周期间的旅游消费，如果我市2007年要达到3.42亿元的目标，那么，2005年到2007年的平均增长率是多少？

文案

标准

解：（1）由图知，住宿消费为3 438.24万元，占旅游消费的22.62％，所以消费共3 438.24÷22.62％＝15 200（万元）=1.52（亿元）．

所以交通消费为15 200×17.56％＝2 669.12（万元）． 所以我市今年“五一”黄金周期间旅游消费中各项消费的中位数是（3 438.24＋2 669.12）÷2＝3 053.68（万元）．

（2）设2005年到2007年旅游消费的年均增长率为x，则

1.52（1+x）=3.42．

得x1=0.5=50％，x2=-2.5（舍去）．

所以2005年到2007年旅游消费的平均增长率为50％． 点评：本题考查通过统计图获取信息的能力及用方程的思想解决实际问题的能力．第（2）小题求年平均增长率，因此属增长率问题．在解答这类题时应该掌握其基本关系式：结果量＝（１＋增长率）n×基础量；结果量＝（1-降

文案

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标准

低率）n×基础量（其中n为增长或降低次数）． 五、节约与环保问题

例4 （宜昌课改实验区）我国人均用纸为28公斤，每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸；用1吨废纸造出来的再生好纸，所能节约的造纸木材相当于18棵大树，而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树．

（1）若我市2005年初中毕业生中环保意识较强的5万人，能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸，那么最少可使多少亩森林免遭砍伐？ （2）宜昌市从2001年初开始实施天然林保护工程，到2003年初成效显著，森林面积大约由1 374.094万亩增加到1 500.545万亩．假设该地区年用纸量的15%可以作为废纸回收利用，并且森林面积年均增长率保持不变，请你按宜昌市总人口为415万人计算：在从2005年初到2006年初这一年度内，我市新增加的森林面积与因废纸回收利用所能保护的森林面积之和最多可能达到多少亩（精确到1亩）？

解：（1）5万名初中毕业生废纸回收使森林免遭砍伐的最少亩数为

5×10×10÷1 000×18÷80=112.5（亩）．

文案

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标准

（2）设2001年到2003年初我市森林面积年均增长率为x，

则1 374.094（1+x）=1 500.５45． 故x1=0.045=4.5%，x2=-2.045（舍去）． 所以2005年初到2006年初全年新增森林面积： 1500.545×10×（1+4.5％）×4.5％≈737 385（亩）． 又全市回收废纸所能保护的森林面积最多为

415×10×28×１5％÷1 000×18÷50≈6 275（亩）． 新增森林面积和保护森林面积之和为： 737 385+6 275=743 660（亩）．

点评：此例不仅考查了同学们解答实际应用问题的能力，还对同学们发扬节约精神、增强环保意识起到潜移默化的作用． 六、航海问题

某军舰以20节的速度由西向东航行, 一艘电子侦察船以30节的速度由南 向北航行,它能侦察出周围50海里 (包括50海里)范围内的目标.如图, 当该军舰行至A处时,电子侦察船

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北 A 东

●标准

正位于A处的正南方向的B处,瓶AB=90海里.如果军舰和侦察船仍按原来速度沿原方向继续航行,那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰 ?如果能,最早何时能侦察到?如果不能,请说明理由. 七、图表信息应用问题 单一图象信息的应用问题：

例1．美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容，某市城区近几年来通过拆旧房，植草、栽树，修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加，如图1，

（1）根据图中提供的信息，回答下列问题： 2005年底的绿地面积为 公顷； 比2004年底增加了 公顷；

在2003年、2004年、2005年这三年中绿地 面各增加最多的一年是 。

（2）为了满足城市发展的需要，计划在2007年底使绿地面积达到72.6公顷，试求2006年、2007年两年绿地面积的年平均增长率。

解析：环境保护是当今社会的一个热点点问题。本题主要考查在阅读、理解、读图的基础上用一元二次方程解决实

文案

标准

际问题的能力。认真观察图象从中获取有用的信息是解题的关键。

解：（1）60，4，2004；

（2）设平均增长率为x，由题意得60(1x)272.6，即

(1x)21.21。x112,

1x1.1,x10.1,x22.1（不合题意舍去）。答：略。

多个图象信息的应用问题：

例2．某开发区为改善居民的住房条件，第年都新建一批住房，人均住房面积逐年增加（人均住房面积=该区住房面积，单位：平方米/人），该开发区2003年至2005年，

该区人口总数每年年底人口总数和人均住房面积统计结果如图2（1），（2）

请根据上面两图所提供的信息解答下面问题： （1）该区2004和2005两年中哪一年比上年增加的住房面积多？多增加了多少？

（2）由于经济发展的需要，预计2007年底，该区居民

文案

标准

将增加2万人，住房面积要达到13平方米/人，试求2006和2007这两年该区住房总面积的年平均增长率应达到百分之几？

解析：由于此题是两个图象的组合，所以应把两个图形结合起来获取获取信息。

解：（1）2005年比2004年增加住房面积20×10-18×9.6=27.2；2004年比2005增加住房面积18×9.6-17×9=19.8；多增加了：27.2-19.8=7.4（万平方米）。 （2）设住房总面积的年平均增长率应达到x,由题意得：

2200（1x）13(202)22（1x）286，解得：（1x）1.43，，即200x10.196,x22.196（不合题意舍去）。

所以2006和2007这两年该区住房总面积的年平均增长率应达到19.6%。

一元二次方程应用新题型

一、条件探求型

例1 要建一个面积为150m的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一面墙，墙长为am，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为35m．

文案

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标准

（1）求鸡场的长与宽各是多少？

（2）题中，墙的长度a对题目的解起着怎样的作用？ 分析：第（2）小题着眼于作为条件出现的常数a，探索这一条件对题目的解有何影响，需根据第（1）小题的结果进行研究．

解：（1）设平行于墙的一边长为xm，则另一边的长为

35x， 2 根据题意，得35x2x150，

解得x1=15，x2=20．

当x=15时，35x10；当x=20时，35x15．

222 答：略．

（2）由题意可知：当a<15时，此题无解；当15≤a<20时，此题只有一个解；当a≥20时，此题有两解． 二、方案设计型

例2 某中学有一块长为am，宽为bm的矩形场地，计划在该场地上修筑宽都为2米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形小场地建成草坪．

（1）如图1，请分别写出每条道路的面积（用含a或含b的代数式表示）；

文案

标准

（2）已知a∶b=2∶1，并且四块草坪的面积之和为312m2，试求原来矩形场地的长与宽各为多少米？ （3）在（2）的条件下，为进一步美化校园，根据实际情况，学校决定对整个矩形场地作如下设计（要求同时符合下述两个条件）：

条件①：在每块草坪上各修建一个面积尽可能大的菱形花圃（花圃各边必须分别与所在草坪的对角线平行），并且其中有两个花圃的面积之差为13m；

条件②：整个矩形场地（包括道路、草坪、花圃）为轴对称图形．

请你画出符合上述设计方案的一种草图（不必说明画法与根据），并求出每个菱形花圃的面积．

解：（1）这两条道路的面积分别为2am与2bm． （2）设b=xm，则a=2xm， 依题意，得

x·2x-（2x+4x-4）＝312． 整理，得x-3x-154=0， 解得x1=14，x2=-11（舍去）． 所以b=14，a=2x=28． 即矩形的长为28m，宽为14m．

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标准

（3）符合设计方案的一种草图如图2所示，其中四个菱形花圃中，第1个与第2个，第3个与第4个花圃的面积分别相等．

设AE＝x，则FB=14-2-x=12-x（m），AG28213（m）．

2 依题意，得113x1(12x)1313．

22 解得x=7（m）．

所以大菱形花圃的面积为171345.5（m），

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2 小菱形花圃的面积为1(127)1332.5（m）．

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2 （注：其他符合设计方案的三种花圃见图3，图4，图5，同上法仍可求得大、小花圃的面积分别为45.5m与32.5m）

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三、创意自编型

例3 编一道关于增长率的一元二次方程应用题，并解答．

编题要求：

文案

标准

（1）题目完整，题意清楚；

（2）题意与方程的解都要符合实际；

分析：题目只给出大致的编题要求，可视为一种情境，除此以外的内容，诸如条件、解法、结果等均未确定，需要自行设置，属于综合开放题的范畴．

因为是编题，我们可以先根据要求列出方程，为了使应用题好编并且便于计算，尽量使题目中的已知数据和结果都是整数，比如预定方程为：100（1+x）=144． 据此编一道应用题为：

某钢厂7月份产值为100万元，计划9月份产值可达144万元． 那么，这两个月的产值平均每月的增长率是多少？

一元二次方程解法的综合应用

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标准

一、与不等式知识的综合应用

例1 证明关于x的方程（m-8m+17）x+2mx+1=0不论m为何值时，都是一元二次方程．

分析：方程含二次项系数，要证明“不论m为何值时，方程都是一元二次方程”，只需证明二次项系数m-8m+17的值不等于0．

证明：因为二次项系数m-8m+17＝m-8m+16+1=（m-4）

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+1，

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又因为（m-4）≥0，

所以（m-4）＋1＞0，即m-8m+17＞0．

所以不论m为何值时，原方程都是一元二次方程． 二、与题目中隐含条件的综合应用

例2 若关于x的一元二次方程（m-1）x+3mx+（m+3）（m-1）=0有一个根是0，则m的值为（ ） Ａ．-3或1 Ｂ．3或-1 Ｃ．-3 Ｄ．1

分析：由题意知，0是方程的根，故由根的定义知：x=0满足方程，所以把x=0代入原方程，得（m+3）（m-1）=0，故m=-3或m=1，但题设明确指出是关于x的一元二次方程，因此隐含了条件m-1≠0，即m≠1，故正确答案为C． 三、与三角形三边关系定理的综合应用

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例3 请根据下面的解题过程回答问题．

一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，第三边长是整数acm，且a满足a-10a+21=0，求三角形的周长． 解：由已知可得4＜a＜10，即a为5，6，7，8，9，（第一步）

当a=5时，代入a-10a+21=5-10×5+21≠0， 故a=5不是方程的根，

同理可知a=6，a=8，a=9都不是方程的根，a=7是方程的根（第二步），

所以△ABC的周长为3+7+7=17（cm）．

上述过程中，第一步是根据______，第二步应用了______的数学思想，确定a的大小是根据______． 答案：依次为：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；分类讨论；方程根的定义． 说明：上述解题过程中使用分类讨论的方法比较繁琐，实际解题时可先解方程求出a的值，再取出符合条件的a值较为简便．

四、与整体思想的综合应用

例4 已知a是方程x-3x+1=0的根，求代数式

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a32a25a1的值． 2a1 分析：因为此题所求的代数式比较复杂，因此可考虑应用整体思想，且以运用根的定义为解题突破口． 解：由根的定义知，a+1=3a． 两边都乘以a，得a+a=3a， 所以a=3a-a， 所以a-2a-5a+1 =（3a-a）-2a-5a+1 ＝（a+1）-6a=3a-6a=-3a． 所以原式3a3a1． 2a13a22

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说明：方程根的定义及整体思想在数学中有着广泛的应用，特别是在条件等式的代数式求值中的应用更为广泛．

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