2015-2016学年广东省肇庆市端州中学高一（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．如图所示，U是全集，A、B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A．A∩B B．B∩（∁UA） C．A∪B
D．A∩（∁UB）
2
2．已知全集U=Z，A={0，1，2，3}，B={x|x=2x}，则A∩（∁UB）为（ ） A．{1，3} B．{0，2} C．{0，1，3} D．{2}
3．如图，可表示函数y=f（x）的图象的只能是（ ）
A． B． C．
D．
4．函数的值域是（ ）
A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，0） C．（0，+∞） D．（﹣∞，0）∪（0，+∞）
5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
x
A．y=﹣x，x∈R B．y=2，x∈R C．y=x，x∈R
6．函数y=
3
D．y=，x∈R
的定义域为（ ）
D．（，1）
A．（﹣∞，） B．（﹣∞，1] C．（，1]
7．若a＞0，a≠1，则函数y=a的图象一定过点（ ） A．（0，1） B．（1，1） C．（1，0） D．（0，﹣1）
8．函数f（x）=6﹣x﹣x的单调递减区间是（ ） A．
B．
C．
D．（﹣3，
2
x﹣1
9．设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，+∞）时f（x）是增函数，则f（﹣2），f（π），f（﹣3）的大小关系是（ ）
A．f（π）＞f（﹣3）＞f（﹣2） B．f（π）＞f（﹣2）＞f（﹣3） C．f（π）＜f（﹣3）＜f（﹣2） D．f（π）＜f（﹣2）＜f（﹣3）
10．下列函数图象中，函数y=a（a＞0且a≠1），与函数y=（1﹣a）x的图象只能是（ ）
x
A．
B． C．
2
D．
11．已知y=f（x）是奇函数，当0≤x≤4时，f（x）=x﹣2x，则当﹣4≤x≤0时，f（x）的解析式是（ ）
2222
A．x﹣2x B．﹣x﹣2x C．﹣x+2x D．x+2x
12．已知定义域为R，函数f（x）满足f（a+b）=f（a）•f（b）（a，b∈R），且f（x）＞0，若A．
，则f（﹣2）等于（ ） B．
C．2
D．4
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 13．计算 14．函数
15．已知实数x满足x+x=3，则
16．已知f（x）=
，若f（x）=10，则x= ．
﹣1
的值是 ．
的值域为 ．
= ．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17．设集合A={x|2≤x＜7}，B={x|3＜x＜10}求： （1）A∩B，（∁RA）∩B
（2）若C={x|2x﹣a＞0}，且B⊆C，求a的取值范围．
18．已知函数f（x）=a
x﹣1
（x≥0）的图象经过点，其中a＞0且a≠1．
（1）求a的值； （2）求函数y=f（x）（x≥0）的值域．
19．已知：函数
的定义域为（﹣1，1）；
（1）判断f（x）的奇偶性并予以证明；
（2）证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数．
20．已知函数f（x）=
（a，b为常数，且a≠0满足f（2）=1，方程f（x）=x有唯一解，
求函数f（x）的解析式，并求f[f（﹣3）]的值．
21．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x）=
，其中x是仪器的月产量．（注：
总收益=总成本+利润）
（1）将利润x表示为月产量x的函数；
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？
22．已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y满足f（x+y）=f（x）f（y），f（x）＞0，f（2）=9 （1）求f（0），f（1）；
x
（2）验证函数f（x）=3是否满足上述条件？说明理由； （3）设函数f（x）在R上是增函数，若
，求m的取值范围．
2015-2016学年广东省肇庆市端州中学高一（上）期中数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．如图所示，U是全集，A、B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A．A∩B B．B∩（∁UA） C．A∪B D．A∩（∁UB） 【考点】Venn图表达集合的关系及运算．
【分析】集合韦恩图，判断出阴影部分中的元素在B中但不在A中即在B与A的补集的交集中．
【解答】解：由图知，阴影部分中的元素在集合B中但不在集合A中，
所以阴影部分所表示的集合是 B∩（∁UA） 故选B 【点评】本题考查利用集合运算表示韦恩图中的集合、考查韦恩图是研究集合关系的常用工具．
2．已知全集U=Z，A={0，1，2，3}，B={x|x=2x}，则A∩（∁UB）为（ ） A．{1，3} B．{0，2} C．{0，1，3} D．{2} 【考点】交、并、补集的混合运算． 【专题】计算题．
2
【分析】由全集U=Z，B={x|x=2x}={0，2}，先求出CUB={x|x∈Z，且x≠0，且x≠2}，再由A={0，1，2，3}，能求出A∩CUB．
【解答】解：∵全集U=Z，A={0，1，2，3}，
2
B={x|x=2x}={0，2}，
∴CUB={x|x∈Z，且x≠0，且x≠2}， ∴A∩CUB={1，3}． 故选A．
【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
3．如图，可表示函数y=f（x）的图象的只能是（ ）
2
A． B． C．
D．
【考点】抽象函数及其应用．
【专题】函数的性质及应用． 【分析】本题利用函数的定义，对于定义域内的任意的自变量x，有唯一的函数值与之对应，判断出那个图形符合函数的对应法则，得到本题结论．
【解答】解：根据函数的定义，对于定义域内的任意的一个自变量x，有唯一的函数值与之对应，
故任作一条垂直于x轴的直线，与函数的图象最多有一个交点． 故应选D．
【点评】本题考查了函数的定义，本题难度不大，属于基础题． 4．函数
的值域是（ ）
A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，0） C．（0，+∞） D．（﹣∞，0）∪（0，+∞） 【考点】函数的值域． 【专题】计算题．
【分析】根据已知中函数的解析式，我们可使用“反表示法”求函数的值域，即根据已知函数的解析式，写出用y表示x的形式，令表达式有意义，即可求出满足条件的y的取值范围，即原函数的值域．
【解答】解：令y=，则解析式中y的取值范围即为函数的值域 则原函数的解析式可变形为
，
要使该表达式有意义，分母y≠0． ∴y∈（﹣∞，0）∪（0，+∞） 故选D
【点评】本题考查的知识点是函数的值域，函数的值域的求法是函数中的难点之一，其中根据函数的解析式形式，选择适当的方法是求值域的问题．
5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
x
A．y=﹣x，x∈R B．y=2，x∈R C．y=x，x∈R
3
D．y=，x∈R
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】综合题；函数的性质及应用．
【分析】根据基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可． 【解答】解：A中，y=﹣x是奇函数，但单调递减，排除A；
x
B中，y=2是增函数，但是非奇非偶函数，排除B；
3
C中，y=x是奇函数，也是增函数，符合题意； D中，
是偶函数，排除D；
故选C．
【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，属基础题，熟练掌握常见基本初等函数的性质是解决该类题目的基础．
6．函数y=的定义域为（ ） A．（﹣∞，） B．（﹣∞，1] C．（，1]
D．（，1）
【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法． 【专题】计算题． 【分析】直接根据真数大于0以及根号内大于等于0列出关于x的不等式组，解之即可得到答案．
【解答】解：由题得： ⇒⇒⇒（，
1]．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数的定义域及其求法．当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．
7．若a＞0，a≠1，则函数y=a的图象一定过点（ ） A．（0，1） B．（1，1） C．（1，0） D．（0，﹣1） 【考点】指数函数的单调性与特殊点． 【专题】计算题．
【分析】令令x﹣1=0求出x的值，代入解析式求出定点的坐标．
【解答】解：令x﹣1=0得，x=1，代入数y=a=1，
x﹣1
∴函数y=a的图象一定过点（1，1）， 故选B．
【点评】本题考查了指数函数的图象过定点（0，1）的应用，令指数为零求解即可，是基础题．
8．函数f（x）=6﹣x﹣x的单调递减区间是（ ） A．
B．
C．
D．（﹣3，
2
x﹣1
x﹣1
【考点】塞瓦定理；二次函数的性质．
【专题】数形结合；配方法；函数的性质及应用．
【分析】利用二次函数的单调性即可得出． 【解答】解：f（x）=6﹣x﹣x=﹣∴函数f（x）的单调递减区间是
2
+， ，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9．设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，+∞）时f（x）是增函数，则f（﹣2），f（π），f（﹣3）的大小关系是（ ）
A．f（π）＞f（﹣3）＞f（﹣2） B．f（π）＞f（﹣2）＞f（﹣3） C．f（π）＜f（﹣3）＜f（﹣2） D．f（π）＜f（﹣2）＜f（﹣3） 【考点】偶函数；函数单调性的性质． 【专题】计算题．
【分析】由偶函数的性质，知若x∈[0，+∞）时f（x）是增函数则x∈（﹣∞，0）时f（x）是减函数，此函数的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，故比较三式大小的问题，转化成比较三式中自变量﹣2，﹣3，π的绝对值大小的问题．
【解答】解：由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，+∞）时f（x）是增函数则x∈（﹣∞，0）时f（x）是减函数，
故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小， ∵|﹣2|＜|﹣3|＜π
∴f（π）＞f（﹣3）＞f（﹣2） 故选A．
【点评】本题考点是奇偶性与单调性的综合，对于偶函数，在对称的区间上其单调性相反，且自变量相反时函数值相同，将问题转化为比较自变量的绝对值的大小，做题时要注意此题转化的技巧．
10．下列函数图象中，函数y=a（a＞0且a≠1），与函数y=（1﹣a）x的图象只能是（ ）
x
A． B． C． D．
【考点】指数函数的图像变换． 【专题】函数的性质及应用．
x
【分析】分a＞1，0＜a＜1两种情况判断两函数的单调性，再结合y=y=a图象过定点（0，1）即可选出答案．
x
【解答】解：若a＞1，则1﹣a＜0，y=a递增，y=（1﹣a）x递减；
x
若0＜a＜1，则1﹣a＞0，y=a递减，y=（1﹣a）x递增，
x
所以y=a与函数y=（1﹣a）x单调性相反，排除选项A，D；
x
又y=y=a递的图象过定点（0，1），所以排除B， 故选C．
【点评】本题考查指数函数图象、一次函数图象的特征，考查学生的作图识图能力．
11．已知y=f（x）是奇函数，当0≤x≤4时，f（x）=x﹣2x，则当﹣4≤x≤0时，f（x）的解析式是（ ）
2222
A．x﹣2x B．﹣x﹣2x C．﹣x+2x D．x+2x 【考点】函数奇偶性的性质． 【专题】计算题．
【分析】由题意设x＞0利用已知的解析式求出f（﹣x）=x+2x，再由f（x）=﹣f（﹣x），求出x＞0时的解析式．
【解答】解：由题意可得：设﹣4≤x≤0，则0≤﹣x≤4；
2
∵当0≤x≤4时，f（x）=x﹣2x，
2
∴f（﹣x）=x+2x，
因为函数f（x）是奇函数， 所以f（﹣x）=﹣f（x），
2
所以﹣4≤x≤0时f（x）=﹣f（﹣x）=﹣x﹣2x， 故选：B．
【点评】本题的考点是利用函数的奇偶性求函数的解析式（即利用f（x）和f（﹣x）的关系），把x的范围转化到已知的范围内求对应的解析式．
12．已知定义域为R，函数f（x）满足f（a+b）=f（a）•f（b）（a，b∈R），且f（x）＞0，若A．
，则f（﹣2）等于（ ） B．
C．2
D．4
2
2
【考点】抽象函数及其应用． 【专题】计算题．
【分析】函数f（x）满足f（a+b）=f（a）•f（b）（a，b∈R），且f（x）＞0，令x=0可求 f（0），然后由
可求f（2），然后由f（0）=f（2）f（﹣2）=1 可求f（﹣2）
【解答】解：∵函数f（x）满足f（a+b）=f（a）•f（b）（a，b∈R），且f（x）＞0
2
∴f（0）=f（0）∴f（0）=1 ∵
∴f（2）=f（1）．f（1）=
∴f（0）=f（2）f（﹣2）=1
∴f（﹣2）=4 故选D．
【点评】本题主要考查了利用赋值法求解函数值，关键是要选择特殊的函数值进行求解．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 13．计算
的值是 ．
【考点】对数的运算性质． 【专题】计算题．
【分析】直接利用对数的运算法则，求出表达式的值即可．
【解答】解：故答案为：．
===．
【点评】本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力． 14．函数
的值域为 ．
【考点】函数的值域．
【专题】数形结合；转化思想；函数的性质及应用． 【分析】利用指数函数的单调性即可得出． 【解答】解：∵x∈[﹣1，2]，∴∴f（x）∈
．
．
∈
．
∴函数f（x）的值域为：故答案为：
．
【点评】本题考查了指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．已知实数x满足x+x=3，则【考点】有理数指数幂的运算性质． 【专题】计算题． 【分析】设【解答】解：设
=t＞0，将其平方即可求出．
=t＞0，则t=x+x+2=5，∴
2
﹣1
﹣1
= ．
．
故答案为．
【点评】熟练掌握指数幂的运算是解题的关键．
16．已知f（x）=
，若f（x）=10，则x= ﹣3或5 ．
【考点】函数的值．
【专题】计算题；分类讨论．
2
【分析】当x≤10时，由 x+1=10，求得 x 的值，当x＞0时，由2x=10，求得 x 的值．
2
【解答】解：当x≤10时，由 x+1=10，x=﹣3． 当x＞0时，由2x=10，得 x=5， 故答案为：﹣3或5．
【点评】本题考查利用分段函数求函数的值，体现了分类讨论的数学思想，分类讨论是解题的关键．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17．设集合A={x|2≤x＜7}，B={x|3＜x＜10}求： （1）A∩B，（∁RA）∩B
（2）若C={x|2x﹣a＞0}，且B⊆C，求a的取值范围． 【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合． 【分析】（1）找出A与B的交集即可，根据全集R求出A的补集，找出A补集与B的交集即可；
（2）由B为C的子集，确定出a的范围即可． 【解答】解：（1）集合A={x|2≤x＜7}，B={x|3＜x＜10}， ∴A∩B={x|3＜x＜7}； ∴∁RA={x|x＜2或x≥7}， 则（∁RA）∩B={x|7≤x＜10}；
（2）∵C={x|2x﹣a＞0}={x|x＞}，且B⊆C， ∴≤3，
∴a≤6，
故a的取值范围为（﹣∞，6]．
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，以及集合的包含关系判断及其应用，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
18．已知函数f（x）=a
x﹣1
（x≥0）的图象经过点，其中a＞0且a≠1．
（1）求a的值； （2）求函数y=f（x）（x≥0）的值域．
【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域． 【专题】计算题．
【分析】（1）由f（x）的图象过点（2）先判断函数（x）∈（0，2]．
【解答】解：（1）由题意得所以
在[0，+∞）上是减函数
所以
即
．
在[0，﹣∞）上是减函数，所以f（x）max=2，所以f
（2）由（1）得因为函数
所以当x=0时f（x）由最大值 所以f（x）max=2 所以f（x）∈（0，2]
所以函数y=f（x）（x≥0）的值域为（0，2]． 【点评】本题属于基础题型主要考查利用函数的单调性求函数的最值，在高考中以选择题或填空题的形式考查．
19．已知：函数
的定义域为（﹣1，1）；
（1）判断f（x）的奇偶性并予以证明；
（2）证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数．
【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明． 【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用． 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可判断f（x）的奇偶性并予以证明；
（2）根据对数的运算法则结合对数函数的单调性即可证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数． 【解答】（1）解：f（﹣x）=log2则f（x）是奇函数． （2）证明：f（x）=log2（
）=log2（1+x）﹣log2（1﹣x），
=log2（
）=﹣log2（
﹣1
）=﹣f（x），
∵y=log2（1+x）为增函数，y=log2（1﹣x），为减函数， ∴y=og2（1+x）﹣log2（1﹣x）是增函数． 【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用函数奇偶性的定义以及函数单调性的性质是解决本题的关键．
20．已知函数f（x）=
（a，b为常数，且a≠0满足f（2）=1，方程f（x）=x有唯一解，
求函数f（x）的解析式，并求f[f（﹣3）]的值． 【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】由题意列方程组，求出a，b的值，从而求出函数的解析式，进而求出函数值． 【解答】解：∵f（2）=1，∴2a+b=2①， ∵f（x）=x有唯一解，
∴ax+（b﹣1）x=0，△=（b﹣1）=0②， 由①②得：a=，b=1， ∴f（x）=∴f[f（x）]=
， ，
2
2
∴f[f（﹣3）]=．
【点评】本题考查了函数的解析式问题，待定系数法是常用方法之一，本题属于基础题．
21．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x）=
，其中x是仪器的月产量．（注：
总收益=总成本+利润）
（1）将利润x表示为月产量x的函数；
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 【考点】函数模型的选择与应用． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】（1）根据利润=收益﹣成本，由已知分两段当0≤x≤400时，和当x＞400时，求出利润函数的解析式；
（2）根据分段函数的表达式，分别求出函数的最大值即可得到结论． 【解答】解：（1）由于月产量为x台，则总成本为20000+100x， 从而利润f（x）=
；
2
（2）当0≤x≤400时，f（x）=300x﹣﹣20000=﹣（x﹣300）+25000，
∴当x=300时，有最大值25000；
当x＞400时，f（x）=60000﹣100x是减函数， ∴f（x）=60000﹣100×400＜25000． ∴当x=300时，有最大值25000，
即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元．
【点评】本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用分段函数的表达式结合一元二次函数的性质求出函数的最值是解决本题的关键．
22．已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y满足f（x+y）=f（x）f（y），f（x）＞0，f（2）=9 （1）求f（0），f（1）；
x
（2）验证函数f（x）=3是否满足上述条件？说明理由； （3）设函数f（x）在R上是增函数，若
，求m的取值范围．
【考点】抽象函数及其应用．
【专题】计算题；转化法；函数的性质及应用． 【分析】（1）运用特殊值求函数值，令x=y=0可解得f（0），令x=y=1可解得f（1）； （2）直接用函数解析式验证；
（3）运用函数的单调性和特殊函数值解不等式． 【解答】解：（1）令x=y=0代入得，f（0）=f（0）•f（0）， 由于f（x）＞0，所以f（0）＞0，则f（0）=1， 再令x=y=1得，f（2）=f（1）•f（1）=9， 所以，f（1）=3；
x
（2）函数f（x）=3满足上述条件，理由如下：
x+yxy
f（x+y）=3=3•3=f（x）•f（y），
x
即f（x）=3满足f（x+y）=f（x）•f（y）；
（3）根据题意，不等式可化为：f（m）•f（2m）＞27，其中，
22
f（m）•f（2m）=f（m+2m）， 27=3•f（2）=f（1）•f（2）=f（3），
2
所以，f（m+2m）＞f（3）， 再根据f（x）为R上的增函数，
2
所以m+2m＞3，解得，m＜﹣3或m＞1， 即实数m的取值范围为：（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．
【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用，涉及函数值的确定，函数性质的验证，以及运用单调性解不等式，属于中档题．
2
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