大跨空间网格结构风振响应主要贡献模态的识别及选取

文章编号:1000-6869(2006)01-0009-07

建󰀁筑󰀁结󰀁构󰀁学󰀁报JournalofBuildingStructures

Vol.27,No.1Feb󰀁2006

大跨空间网格结构风振响应主要贡献模态的识别及选取

陈贤川,赵󰀁阳,董石麟

1,2

1

1

(1󰀁浙江大学空间结构研究中心,浙江杭州310027;2󰀁深圳大学建筑工程学院,广东深圳518060)

摘要:首先简单介绍静荷载参与比例的概念和基于虚拟激励法的风振响应分析原理。考虑脉动风荷载的空间相关性,推导出脉动风作用下系统背景响应总应变能的计算公式,以及模态对背景响应总应变能的贡献,从而定义了各阶模态的模态贡献系数及模态组合的累积模态贡献系数计算公式,其中模态贡献系数可以准确地识别出所有能被脉动风激振的模态,而累积模态贡献系数可以作为模态组合合理性判别的量化标准。然后介绍了一种简单的补偿模态构造方法,并提出了模态组合的选取方法和步骤。算例分析验证了模态贡献系数和累积模态贡献系数的有效性,以及低阶主要贡献模态和高阶主要贡献模态的重要性,进而指出目前通过比较前若干阶模态的相对误差或仅考虑补偿模态的模态组合选取方法并不合理。合理的模态组合应包含绝大部分主要贡献模态,以满足累积模态贡献系数大于0󰀁9的要求。关键词:空间网格结构;风振响应;模态贡献系数;主要贡献模态中图分类号:TU393󰀁3󰀁TU312󰀁󰀁文献标识码:A

Identificationandselectionofdominantvibration󰀂modescontributorytowind󰀂induced

vibrationresponseforlarge󰀂spanspacelatticestructures

CHENXianchuan1,2,ZHAOYang1,DONGShilin1

(1.SpaceStructuresResearchCenter,ZhejiangUniversity,Hangzhou310027,China;(2.CollegeofArchitectureandCivilEngineering,ShenzhenUniversity,Shenzhen518060,China)

Abstract:Thispaperfirstpresentsabriefintroductiontotheconceptofstaticloadparticipationratio(SLPR)andtheprincipleforwind󰀂inducedvibrationanalysisbasedonthepseudoexcitationmethod(PEM).Inconsiderationofthepartialcorrelationbetweenwindexcitations,theformulaeforcalculationofcontributionfactorofeachmodetowindresponseandthecorrespondingcumulativecontributionfactorofmodecombinationarethenderived.Themodecontributionfactorcanbeusedtoidentifyaccuratelyallpossiblemodeswhichmaybeinducedbytheturbulentwind,whilethecumulativemodecontributionfactorcanbetakenasacriteriontojustifywhethertheselectedmodecombinationissufficientforthecalculationofthewind󰀂inducedvibrationresponse.Next,asimplecompensationmodeisintroduced,andthemethodofmodeselectionisproposed.Twonumericalexamplesareprovidedtoverifytheeffectivenessofthemodecontributionfactorandcumulativemodecontributionfactor,aswellasthesignificanceofboththelow󰀂orderandhigh󰀂orderdominantcontributionmodes.Finally,itispointedoutthatcurrentmethodsofmodeselectionwhichdependonthecomparisonofrelativeerrorsofmanylow󰀂ordermodesorinvolveonlycompensationmodesarenotsufficient,andthatthereasonablemodecombinationshouldinvolvemostofthedominantcontributionmodesandthecumulativemodecontributionfactoroftheselectedmodecombinationshouldbelargerthan0󰀁9.

Keywords:spacelatticestructures;wind󰀂inducedvibrationresponse;modecontributionfactor;dominantcontributionmodes

基金项目:国家自然科学基金资助项目(50278086),高等学校博

士学科点专项科研基金资助课题(20020335036)。

作者简介:陈贤川(1978-󰀁),男,浙江温州人,工学博士,

讲师。

收稿日期:2004年11月

1󰀁引言

当前大跨空间网格结构的发展十分迅速,并呈现

9

跨度越来越大、屋面材料越来越轻的趋势,对风的敏感性显得日益突出。由于脉动风速谱为频域函数,并且结构需要满足正常使用极限状态要求,在风荷载作用下变形不能太大,结构基本上处于线弹性工作状态,因此在风振响应分析中采用频域法是很自然的选择,也是适宜的。

大跨空间网格结构的自振频率非常密集,在采用频域法进行风振响应分析时,必须考虑多阶模态的影响,这已成为众多学者的共识[1~5]。目前工程分析中习惯上取前10~20阶、或前30~40阶模态进行计算[2];或采用相对合理的做法,即比较不同模态数的计算结果,当相对误差在容许范围内时即认为已经收敛到准确解。但事实上,这些措施并不能保证所选取的模态组合中已经包含了所有起主要贡献的模态。文献[1]、[3]通过数值分析发现大跨结构存在一些高阶模态,它们对风振响应贡献较大,但由于其模态阶次高而往往被忽略,文献[3]称之为󰀂X󰀂模态 。为了补偿由于遗漏高阶主要贡献模态而造成的误差,文献[1]、[3]均采取了构造补偿模态的方法,文献[1]的补偿模态基于脉动风的背景响应,文献[3]则基于平均风位移(文中称为󰀂准X󰀂模态 ),显然后者更便于应用。

文献[1]、[3]指出了高阶主要贡献模态的存在以及补偿模态的构造方法,并用算例验证了补偿模态的有效性,但对各阶模态的贡献并没有给出定量描述,因此引入补偿模态时应考虑前多少阶模态仍存在随意性。文献[6]则认为只取补偿模态即可。事实上脉动风荷载的一个重要特点是具有空间相关性,它可以激起结构的某些低阶模态,同时低阶模态的共振响应较大,因此随意舍弃低阶模态并不合适。

文献[4]根据模态振型参与系数的大小选取模态组合,忽略了模态的频率因素,显然不十分恰当。文献[1]、[3]试图基于系统应变能来判断各模态的贡献,但由于脉动风作用下系统的总应变能不可能求得,因而无法给出定量描述。对于具有固定空间分布{F}的动力荷载,文献[7]给出的静荷载参与比例(StaticLoadParticipationRatio,SLPR)定义了模态对系统在{F}作用下应变能的贡献,可用于衡量所选取模态组合的合理性。对于随机脉动风激励,虚拟激励法[8]可将其等效为简谐激励,从而可以引入静荷载参与比例的概念,求得在脉动风作用下模态对系统应变能的贡献。文献[9]已推导了基于虚拟激励法理论的空间网格结构风10振响应计算公式,公式中自动包含了激励之间的非完全相关性、振型之间耦合项的贡献,因此具有很高的计算效率。

本文首先简要介绍静荷载参与比例的概念和虚拟激励法基本原理,在此基础上,考虑脉动风荷载的空间相关性,推导脉动风作用下系统背景响应总应变能的计算公式,以及模态对背景响应总应变能的贡献,进而定义各阶模态的模态贡献系数及模态组合的累积模态贡献系数计算公式。其中模态贡献系数可以用于主要贡献模态的识别,而累积模态贡献系数可以判断所选取的模态组合的合理性。最后进行算例验证和分析。

2󰀁静荷载参与比例

经有限元离散后,结构系统运动方程可表示为[M]{!u(t)}+[C]{u󰀁(t)}+[K]{u(t)}={f(t)}(1)式中,[K]、[C]、[M]分别为刚度矩阵、阻尼矩阵和质量矩阵。将右端荷载向量写成如下形式

{f(t)}={F(s)}g(t)

(2)

式中,s、t分别表示空间、时间变量,即荷载向量按一定空间分布而随时间变化。在应用振型叠加法求解式(1)时,为了判断所选取的模态组合是否足以反映系统的真实响应,将式(2)中{F}视为静力荷载向量,定义静荷载参与比例为[7]

p2i

m

󰀂2i

rs=i=󰀁1T-1{F}[K]{F}

T

(3)

式中,m为模态组合的模态数;pi={ i}{F};󰀂i、{ i}分别为第i阶模态的圆频率和振型。

第i阶模态对静力荷载{F}作用下系统响应的贡献为

pi󰀂2i

=T

{F}[K]-1{F}

2

rsi(4)

󰀁󰀁对于式(2)所示的具有固定空间分布的动荷载,文献[7]指出,当rs大于0󰀁9时所选取的m阶模态组合是合理的。事实上,式(3)、(4)中的分母即为{f(t)}作用下系统背景响应的总应变能,rsi和rs分别表示模态和模态组合对背景响应总应变能的贡献。显然,低阶模态共振响应和背景响应的比值要大于高阶模态,当静荷

载参与比例rs大于0󰀁9时,所忽略的高阶模态对系统总应变能的贡献肯定小于0󰀁1。因此对于具有固定空间分布的动荷载,rs能有效地判断所选取模态组合的合理性。

利用rs判断模态选取合理性的实质就是所选取的模态组合应足以反映系统的背景响应。脉动风是一种空间相关的随机荷载,并不具有固定的空间分布,因此无法应用rs来判断所选取模态组合的合理性。文献[3]指出所选取的模态组合应足以反映系统在平均风作用下的位移,据此推论,用平均风荷载{F}代替式(3)、式(4)中的{F},所得的计算公式应能判别模态和模态组合对系统背景响应的贡献。但事实上该指标没有考虑脉动风的空间相关性,在实际应用中仍有相当的局限,详见算例1的讨论。

个虚拟简谐激励

{fk(t)}={pk}exp(i󰀂t)󰀁(k=1,2,#,r)(11)由此得到结构系统的r个简谐振动方程

[M]{!uk(t)}+[C]{󰀁uk(t)}+[K]{uk(t)}={pk}exp(i󰀂t)󰀁(k=1,2,#,r)应用振型叠加法求解这r个方程,得

{uk(t)}={Uk}exp(i󰀂t)

m

(12)

=i=󰀁1{ i}Hi(i󰀂){ i}{pk}exp(i󰀂t)(13)

󰀁󰀁各自由度位移响应自谱向量为

{Su(󰀂)}=k=󰀁1{|Uk|}2

方。

各自由度位移响应均方根向量为

{#u}=

r

T

(14)

式中,{|Uk|}2表示{Uk}各自由度位移幅值模的平

3󰀁虚拟激励法风振响应分析

在脉动风作用下,任意节点j所受的脉动风荷载为

fj(t)=!sjAj∀Vjvj(t)=2Fj

vj(t)

Vj

(5)

∃{S(󰀂)}d󰀂

+%0

u

(15)

4󰀁模态贡献系数

由式(11)可见,虚拟简谐激励具有固定的空间分布而随时间变化,因此,在激励{fk(t)}作用下第i阶模态对背景响应的贡献由式(4)可得

{ i}{pk}{pk}{ i}󰀂2i

=T

{pk}[K]-1{pk}

T

T

式中,!sj为节点j处的风载体型系数,Aj为节点j处的等效迎风面积,∀为空气密度,Vj、vj(t)分别为节点j处的平均风速和脉动风速,Fj为节点j所受的平均风荷载。式(5)还可表示为如下的向量形式

fjx(t)

Fjx

(6)

fjy(t)=2Fjyvj(t)={Bj}vj(t)

Vj

fjz(t)Fjz

将式(6)对所有节点进行集成,得

{f(t)}=[B]{v(t)}

因此,考虑空间相关性的脉动风荷载互谱矩阵为

[Sf(󰀂)]=[B][Sv(󰀂)][B]T

Choleskey分解

[Sv(󰀂)]=[L][L]

T

rsik(16)

式中,{pk}为虚拟简谐激励{fk(t)}的空间分布向量;分母表示系统在静力荷载{pk}作用下的应变能,即系统在{fk(t)}作用下的背景响应应变能;分子表示第i阶模态对该应变能的贡献[7]。

(7)(8)

由上述虚拟激励法基本原理可知,脉动风的作用等效于全部r个虚拟激励的共同作用。因此,在脉动风作用下第i阶模态对系统背景响应总应变能的贡献为

r

其中的[Sv(󰀂)]为非负定Hermite阵,对其进行

(9)

Ei(󰀂)=k=󰀁1Eik(󰀂)

TT

1r{ i}{pk}{pk}{ i}=k=󰀁21󰀂2iTT

1{ i}[P][P]{ i}=22󰀂i

式中,[L]为n∀r下三角矩阵,n为节点数,r为[Sv(󰀂)]的秩。将式(9)代入式(8),可得

[Sf(󰀂)]=[B][L]([B][L])T

T

(17)

=[P][P]

󰀁󰀁以[P]的每个列向量作为幅值,可以得到如下r

(10)

式中,[P]为由{pk}作为列向量而构成的n∀r阶矩阵。将式(8)、式(10)代入式(17),可得

111{ i}[Sf(󰀂)]{ i}

Ei(󰀂)=

2󰀂2i

TT

1{ i}[B][Sv(󰀂)][B]{ i}=2󰀂2i

T

(18)

m阶模态(称之为截断模态),然后按式(23)、式(24)计

算各阶模态的模态贡献系数∃i及相应的累积模态贡献系数∃。∃越接近1,表明选取的模态组合越合理。实际应用中,参考抗震分析中质量参与系数大于0󰀁9的要求,本文也要求模态组合的累积模态贡献系数大于

将脉动风速互谱矩阵[Sv(󰀂)]在频域内积分

[Sv]=

∃

0

%

[Sv(󰀂)]d󰀂(19)

0󰀁9。若∃小于0󰀁9,表明所选取的模态组合并不合适,可能遗漏了某些高阶贡献模态,也可能是截断模态的阶数不够高。对于可能遗漏的高阶模态,本文采用文献[3]基于平均风位移计算静力补偿模态的方法,模态振型可表示为

m

式(18)两边积分,可写为

TT

1{ i}[B][Sv][B]{ i}Ei=

2󰀂2i脉动风作用下系统背景响应总应变能为

r

(20)

E(󰀂)=k=󰀁1Ek(󰀂)

1T-1=k=󰀁1{pk}[K]{pk}21r-1T=k=󰀁1󰀁diag[K]{pk}{pk}2

r

1-1T

󰀁=󰀁diagk=1[K]{pk}{pk}

21=󰀁diag[K]-1[P][P]T(21)2

式中,󰀁diag(#)表示矩阵对角元素之和。

式(21)两边积分,并将式(8)、式(10)、式(19)代入

r

{u&}={ u}-i󰀁{ i}qi

=1

T

={ u}-i󰀁{ u}i}{ i}[M]{ =1

m

(25)

式中,{ u}为平均风位移,{ i}为特征值分析得到的第

i阶模态振型。也可将其表示为正则化的静力补偿模态振型

{ b}=

1{u&}T{u&}[M]{u&}{ b}T[K]{ b}{ b}T[M]{ b}

(26)

与此振型相应的频率为

1fb=

2%=

可得

1-1T

E=2󰀁diag[K][B][Sv][B](22)

󰀁󰀁综合式(20)、式(22),即得脉动风作用下第i阶模态的模态贡献系数

Ei{ i}T[B][Sv][B]T{ i}∃=2i=-1T

E󰀂i󰀁diag[K][B][Sv][B]义为

∃=i=󰀁1∃i

m

1{ b}T[K]{ b}(27)2%

󰀁󰀁将上述静力补偿模态加入截断模态作为新的模态组合,按式(23)、式(24)计算该组合的∃。如果∃大于0󰀁9,表明经过静力补偿后的模态组合可较精确地反映系统在脉动风作用下的响应;否则,说明截断模态的阶数不够高,即前m阶模态尚未能包含所有对风振响应起重要作用的低阶主要贡献模态,此时,需要计算更高阶的截断模态,重复上述步骤直到∃大于0󰀁9。

(23)

对于m阶模态参与组合的情况,累积模态贡献系数定

(24)

󰀁󰀁本文的模态贡献系数定义在背景响应总应变能的准确计算公式基础上,任意一阶模态贡献系数的计算与其它模态无关,模态贡献系数和累积模态贡献系数都是一个客观值,只取决于模态和模态组合本身。因此,模态贡献系数可用于识别主要贡献模态,累积模态贡献系数可用于判断所选取的模态组合的合理性。

6󰀁算例分析与讨论

以下算例中脉动风速谱采用Davenport谱,空间相干函数采用Shiotani经验公式。

算例1󰀁某K6󰀂3型单层网壳(图1),跨度20m,矢高2m,杆件均为

2

[10]

63󰀁5∀2󰀁5的圆钢管,屋面均布恒载

5󰀁静力补偿模态及模态组合的选取

对于一个系统,首先按照特征值分析方法确定前120󰀁5kN/m。采用周边固定铰支座,支座高度10m。基本风压0󰀁5kN/m2,B类地貌,风载体型系数近似地取-1󰀁0,高度系数近似地取1󰀁0。结构阻尼比取0󰀁02。

本算例网壳共有57个自由度,按特征值分析计算

图1󰀁网壳结构布置图

Fig󰀁1󰀁Structurallayoutofthereticulatedshell

出所有57阶模态,分别按式(4)和式(23)计算出各阶模态的rsi(示于图2)和模态贡献系数∃i(示于图3)。可见,两个指标都能判断出第19阶模态为高阶主要贡献模态;而模态贡献系数∃i则可更为全面地同时识别出第7、8、9阶模态为低阶主要贡献模态。

图2󰀁各阶模态rsi柱状图Fig󰀁2󰀁Histogramofrsiofeachmode

图4󰀁选取不同模态组合计算的节点竖向位移响应(单位:mm)

Fig󰀁4󰀁Verticalnodaldisplacementscalculated

bydifferentmodecombinations(unit:mm)

表1󰀁算例1各模态组合的累积模态贡献系数及误差Table1󰀁Cumulativemodecontributionfactorsanderrorsfor

selectedmodecombinationsofnumericalexample1

前18rs

0󰀁027

前191󰀁01󰀁00

全部57仅补偿前6阶+相阶模态1󰀁01󰀁00

模态1󰀁00󰀁74127󰀁7

应补偿模态

1󰀁00󰀁79620󰀁9

前9阶+相应补偿模态

1󰀁00󰀁9365󰀁4

阶模态阶模态

图3󰀁各阶模态∃i柱状图Fig󰀁3󰀁Histogramof∃iofeachmode

∃0󰀁275

&∃/%29󰀁8

图4给出了选取不同模态组合计算的各节点竖向位移,其中选取全部57阶模态计算的位移响应为准确解(图4c)。按2󰀂范数计算各模态组合的计算结果相对于该准确解的误差&,见表1所示,表中同时给出了∃各组模态的rs及累积模态贡献系数∃。

由表1可见,前19阶模态的rs及∃都接近1󰀁0,相应的误差为0;而前18阶模态的rs仅为0󰀁027,∃为0󰀁275,相应的误差接近30%。由于第19阶模态正是

高阶主要贡献模态,因此,rs及∃都可用于判断所选取的模态组合是否遗漏高阶主要贡献模态。此外,当选取的模态组合包含了高阶主要贡献模态或者静力补偿模态时,rs指标都接近1󰀁0。而事实上,舍弃了低阶主要贡献模态的模态组合(仅取补偿模态、前6阶+相应补偿模态)计算结果仍具有很大的误差。可见,在考虑了静力补偿模态后,rs即失去了对模态组合合理性的判别作用;与此相反,此时累积模态贡献系数∃可近似估

13计模态组合计算结果的误差。因此,大跨空间网格结构在进行风振响应分析时应该采用∃指标来判断所选取模态组合的合理性。

由表1还可看出,当仅取补偿模态进行计算时,误差达27󰀁7%;甚至前6阶+相应补偿模态计算的结果仍有20󰀁9%的误差;而前9阶模态包含了低阶主要贡献模态,考虑相应补偿模态后其计算结果仅有5󰀁4%的误差。因此,合理的模态组合必须包含低阶主要贡献模态及相应的补偿模态。

算例2󰀁图5所示K6󰀂8型单层球面网壳,跨度50m,矢高6m,杆件均为

2

献系数∃为98󰀁1%,由算例1讨论可知,选取这组模态

的计算结果应已具有足够的精度,将其作为其它各组模态计算结果相对误差的判别标准,所得误差用&110表示,见表2。表中同时给出各组模态的∃以及相对误差&99,∋-(表示该项不适用。

由表2可见,前40阶和前99阶模态的计算结果相对误差仅为3󰀁6%。如果根据相对误差来判别解的收敛性,则本算例前40~99阶模态的计算结果都有可能被误认为已经具有足够的精度。但事实上,前99阶模态的累积模态贡献系数∃仅为0󰀁555,其计算结果仍有11󰀁5%的相对误差。

表2还列出了只考虑补偿模态、前20阶+相应补偿模态、前40阶+相应补偿模态的累积模态贡献系数∃和相对误差&110。通过比较可以发现,当不包含高阶主要贡献模态时,∃指标会低估该模态组合对风振响应的贡献,此时∃有效地表明了模态组合的不合理性;而考虑了补偿模态后,∃可以有效地估计模态组合相应计算结果的误差。因此,采用累积模态贡献系数∃来评估模态组合的合理性不仅是适宜的,而且是应该的。

表2󰀁算例2各组模态的累积模态贡献系数及误差Table2󰀁Cumulativemodecontributionfactorsanderrorsfor

selectedmodecombinationsofnumericalexample2

前40前50∃&99/%&110/%

0󰀁4890󰀁5093󰀁614󰀁6

2󰀁313󰀁4

前990󰀁555011󰀁5

前110仅补偿前20阶+相前40阶+相0󰀁981-0

0󰀁487-49󰀁3

0󰀁798-12󰀁2

0󰀁948-1󰀁9

阶模态阶模态阶模态阶模态模态应补偿模态应补偿模态

108∀6的圆钢管,屋面均布恒载

2

0󰀁45kN/m,活载0󰀁5kN/m。采用周边固定铰支座,支

座标高20m。基本风压0󰀁55kN/m2,C类地貌,风载体型系数根据荷载规范取值。结构阻尼比取0󰀁02。

图5󰀁网壳结构布置图

Fig󰀁5󰀁Structurallayoutofthereticulatedshell

图6给出了该结构前150阶模态的模态贡献系数∃i柱状图,可见,第100和110阶模态为该结构的高阶主要贡献模态,而低阶主要贡献模态主要集中于前40阶内。

分别取前40阶、50阶、99阶、110阶模态计算网壳结构的脉动风位移响应。前110阶模态的累积模态贡

7󰀁结论

(1)本文基于静荷载参与比例的概念和虚拟激励法基本原理,同时考虑脉动风荷载的空间相关性,推导了各阶模态的模态贡献系数及模态组合的累积模态贡

献系数计算公式。其中模态贡献系数可以准确地识别出对风振响应贡献较大的各阶模态,而累积模态贡献系数则可以有效地判断出所选取模态组合的合理性。

(2)对于大跨空间网格结构,低阶和高阶主要贡献模态之间可能间隔几十阶模态,而包含了所有低阶主要贡献模态的各模态组合计算的风振响应相对误差很小。因此,仅根据相对误差的大小来判断解的收敛性

图6󰀁各阶模态∃i柱状图Fig󰀁6󰀁Histogramof∃iofeachmode

14是不合理的。

(3)在选取模态组合进行风振响应分析时,静力补偿模态可以有效地代替高阶主要贡献模态,同时某些能被脉动风激振的低阶模态的贡献也不容忽视。合理的模态组合应该包含了绝大部分主要贡献模态,以满足累积模态贡献系数∃大于0󰀁9的要求,此时计算结果的误差将在可以预期的范围内。

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