知识框架
有理数
1.1 正数与负数
①正数：大于
0的数叫正数。（根据需要，有时在正数前面也加上
0以外的数前面加上负号
0是正数和负数的分界，是唯一的
“+”）中性数。
②负数：在以前学过的
“—”的数叫负数。与正数具有相反意义。
③0既不是正数也不是负数。
注意：搞清相反意义的量：南北；东西；上下；左右；上升下降；高低；增长减少等
1.2 有理数
1、有理数（1）整数:正整数、0、负整数统称整数；（2）分数;正分数和负分数统称分数；
（3）有理数：整数和分数统称有理数。
2、数轴（1）定义：通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫数轴；
（2）数轴三要素：原点、正方向、单位长度；
（3）原点：在直线上任取一个点表示数
的点，不都是表示有理数。
3、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。4、绝对值：（1）数轴上表示数
数的绝对值是两点间的距离。
（2）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；
两个负数，绝对值大的反而小。
0的绝对值是0。
（例：2的相反数是-2；0的相反数是0）
a的绝对值，记作|a|。从几何意义上讲，
a的点与原点的距离叫做数
0，这个点叫做原点；
（4）数轴上的点和有理数的关系：所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上
1.3 有理数的加减法
①有理数加法法则：
1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
2、绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得加法的交换律和结合律
0。
3、一个数同0相加，仍得这个数。
②有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。
1.4 有理数的乘除法
①有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘﹙就是算的时后只乘绝对值
就比较快些﹚；
任何数同0相乘，都得0；乘积是1的两个数互为倒数。乘法交换律/结合律/分配律
②有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数；
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；﹙就是算的时后只除绝对
值就比较快些﹚0除以任何一个不等于
0的数，都得0。
1.5 有理数的乘方
1、求n个相同因数的积的运算，叫乘方，乘方的结果叫幂。在a的n次方中，a叫做底数，n叫做指数。负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0。2、有理数的混合运算法则：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。3、把一个大于≤a <10。
10的数表示成a×10的n次方的形式，使用的就是科学计数法，注意
a的范围为1
4、从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字。四舍五入
而不是从数字的末尾往前四舍五入
。比如：3.5449精
遵从精确到哪一位就从这一位的下一位开始，确到0.01就是3.54而不是3.55.
第二章
知识框架
整式的加减
2.1 整式
1、单项式：由数字和字母乘积组成的式子。系数，单项式的次数
. 单项式指的是数或字母的积的代
数式．单独一个数或一个字母也是单项式．因此，判断代数式是否是单项式，关键要看代数式中数与字母是否是乘积关系，即分母中不含有字母，若式子中含有加、减运算关系，其也不是单项式．2、单项式的系数：是指单项式中的数字因数；3、单项数的次数：是指单项式中所有字母的指数的和．4、多项式：几个单项式的和。判断代数式是否是多项式，
关键要看代数式中的每一项是否是单项式．
每
个单项式称项，常数项，多项式的次数就是多项式中次数最高的次数。多项式的次数是指多项式里次数最高项的次数，这里
ab是次数最高项，其次数是
33
6；多项式的项是指在多项式中，每一个单
项式．特别注意多项式的项包括它前面的性质符号．5、它们都是用字母表示数或列式表示数量关系。
注意单项式和多项式的每一项都包括它前面的符号。
6、单项式和多项式统称为整式。
2.2整式的加减
1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。与字母前面的系数（≠2、同类项必须同时满足两个条件：（1）所含字母相同；（2）相同字母的次数相同，类项与系数大小、字母的排列顺序无关
3、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项。可以运用交换律，结合律和分配律。4、合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，5、去括号法则：去括号，看符号：是正号，不变号；是负号，全变号。6、整式加减的一般步骤：
一去、二找、三合
（1）如果遇到括号按去括号法则先去括号
. （2）结合同类项. （3）合并同类项
且字母部分不变；
0）无关。二者缺一不可．同
第三章
3.1 一元一次方程
1、方程是含有未知数的等式。2、方程都只含有一个未知数（元）
一元一次方程
x，未知数x的指数都是1（次），这样的方程叫做一元一次方程。
；
注意：判断一个方程是否是一元一次方程要抓住三点：1）未知数所在的式子是整式（方程是整式方程）2）化简后方程中只含有一个未知数；3）经整理后方程中未知数的次数是4、等式的性质：
1.
，结果仍相等；
0的数，结果仍相等。
2时，一定要注意0这个数.
3、解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解。
1）等式两边同时加（或减）同一个数（或式子）
2）等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为
注意：运用性质时，一定要注意等号两边都要同时变；运用性质
3.2 、3.3解一元一次方程
在实际解方程的过程中，以下步骤不一定完全用上，有些步骤还需重复使用还要注意以下几点：
①去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，
不要漏乘不含分母的项；
分
子是一个整体，去分母后应加上括号；去分母与分母化整是两个概念，不要弄错符号；
③移项：把含有未知数的项移到方程的一边，要变符号）
移项要变号；
其他项都移到方程的另一边
（移项不能混淆；
. 因此在解方程时
②去括号：遵从先去小括号，再去中括号，最后去大括号；不要漏乘括号的项；
④合并同类项：不要丢项，解方程是同解变形，每一步都是一个方程，不能像计算或化简题那样写能连等的形式；
⑤系数化为1：:字母及其指数不变系数化成a，得到方程的解。不要分子、分母搞颠倒。
1，在方程两边都除以未知数的系数
3.4 实际问题与一元一次方程
一．概念梳理
⑴列一元一次方程解决实际问题的一般步骤是：①审题，特别注意关键的字和词的意义，弄清相
数量关系；②设出未知数（注意单位）案（包括单位名称）。
⑵一些固定模型中的等量关系及典型例题参照一元一次方程应用题专练学案。二、思想方法（本单元常用到的数学思想方法小结）
⑴建模思想：通过对实际问题中的数量关系的分析，抽象成数学模型，建立一元一次方程的思想⑵方程思想：用方程解决实际问题的思想就是方程思想
数的系数化为
.
⑶化归思想：解一元一次方程的过程，实质上就是利用去分母、去括号、移项、合并同类项、未知
1等各种同解变形，不断地用新的更简单的方程来代替原来的方程，最
x=a的形式. 体现了化“未知”为“已知”的化归思想.
.
. .
.
.
后逐步把方程转化为
.
；③根据相
等关系列出方程；④解这个方程；⑤检验并写出答
⑷数形结合思想：在列方程解决问题时，借助于线段示意图和图表等来分析数量关系，使问题中的
数量关系很直观地展示出来，体现了数形结合的优越性案设计的实际问题的过程中往往也要注意分类思想在过程中的运用
三、数学思想方法的学习
1. 解一元一次方程时，要明确每一步过程都作什么变形，应该注意什么问题3. 列方程解应用题的检验包括两个方面：⑴检验求得的结果是不是方程的解；
⑵是要判断方程的解是否符合题目中的实际意义
4.列方程解应用题的常用公式：（1）行程问题：（2）工程问题：（3）比率问题：（4）顺逆流问题：（5）商品价格问题：
距离=速度·时间工作量=工效·工时部分=全体·比率
速度工效比率
距离时间工作量工时部分全体
全体时间
距离速度工时部分比率
；工作量工效；
；
2. 寻找实际问题的数量关系时，要善于借助直观分析法，如表格法，直线分析法和图示分析法等⑸分类思想：在解含字母系数的方程和含绝对值符号的方程过程中往往需要分类讨论，在解有关方
顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度售价=定价·折·
110
=静水速度-水流速度；
利润率
售价
成本成本
100%；
，利润=售价-成本，
2
长方形
（6）周长、面积、体积问题：S
正方形
C圆=2πR，S圆=πR，C=abc ，V
正方体
=2(a+b)，S长方形=ab，C正方形=4a，
2
圆锥
=a，S环形=π(R-r),V
222
长方体
=a，V
3
圆柱
=πRh ，V
=
13
πRh.
2
四、一元一次方程典型例题
例1. 已知方程2x
m－3
+3x=5是一元一次方程，则m=
.
例2. 已知
x
2是方程
ax－（2a－3）x+5=0的解，求
2
a的值.
例3. 解方程2（x+1）－3（4x－3）=9（1－x）.
点拨：此题的一般解法是去括号后将所有的未知项移到方程的左边，已知项移到方程的右边，其实，我们在去括号后发现所有的未知项移到方程的左边合并同类项后系数不为正，为了减少计算的难度，我们可以根据等式的对称性，把所有的未知项移到右边去，已知项移到方程的左边，最后再写成x=a的形式.
例4. 解方程
111x1864
2
3571.
说明：解方程时，遇到多重括号，一般的方法是从里往外或从外往里运用乘法的分配律逐层去特号，而本题最简捷的方法却不是这样，是通过方程两边分别乘以一个数，达到去分母和去括号的目的。
例5. 解方程4x
1.55x0.80.2
1.20.1
x.
0.5
说明：一见到此方程，许多同学立即想到老师介绍的方法，那就是把分母化成整数，即各分数分子分母都乘以10，再设法去分母，其实，仔细观察这个方程，我们可以将分母化成整数与去分母两步一步到位，第一个分数分子分母都乘以以10.
例6. 解方程
2，第二个分数分子分母都乘以
5，第三个分数分子分母都乘
x6
x12
x20
x30
1.
知识链接：此题如果直接去分母，或者通分，数字较大，运算烦琐，发现分母20=4×5，30=5×6，联系到我们小学曾做过这样的分式化简题，故采用拆项法解之比较简便
例7. 参加某保险公司的医疗保险，住院治疗的病人可享受分段报销，则如下表，某人今年住院治疗后得到保险公司报销的金额是
住院医疗费（元）不超过500的部分超过500～1000的部分超过1000～3000的部分……
A. 2600元
B. 2200元
C. 2575元
6=2×3，12=3×4，
.
?保险公司制度的报销细
）
1260元，那么此人的实际医疗费是（报销率（%）0 60 80 …D. 2525元
点拨：解答本题首先要弄清题意，读懂图表，从中应理解医疗费是分段计算累加求和而得的
. 因
说明：解方程时，遇到多重括号，一般的方法是从里往外或从外往里运用乘法的分配律逐层去特号，而本题最简捷的方法却不是这样，是通过方程两边分别乘以一个数，达到去分母和去括号的目的。
例5. 解方程4x
1.55x0.80.2
1.20.1
x.
0.5
说明：一见到此方程，许多同学立即想到老师介绍的方法，那就是把分母化成整数，即各分数分子分母都乘以10，再设法去分母，其实，仔细观察这个方程，我们可以将分母化成整数与去分母两步一步到位，第一个分数分子分母都乘以以10.
例6. 解方程
2，第二个分数分子分母都乘以
5，第三个分数分子分母都乘
x6
x12
x20
x30
1.
知识链接：此题如果直接去分母，或者通分，数字较大，运算烦琐，发现分母20=4×5，30=5×6，联系到我们小学曾做过这样的分式化简题，故采用拆项法解之比较简便
例7. 参加某保险公司的医疗保险，住院治疗的病人可享受分段报销，则如下表，某人今年住院治疗后得到保险公司报销的金额是
住院医疗费（元）不超过500的部分超过500～1000的部分超过1000～3000的部分……
A. 2600元
B. 2200元
C. 2575元
6=2×3，12=3×4，
.
?保险公司制度的报销细
）
1260元，那么此人的实际医疗费是（报销率（%）0 60 80 …D. 2525元
点拨：解答本题首先要弄清题意，读懂图表，从中应理解医疗费是分段计算累加求和而得的
. 因
说明：解方程时，遇到多重括号，一般的方法是从里往外或从外往里运用乘法的分配律逐层去特号，而本题最简捷的方法却不是这样，是通过方程两边分别乘以一个数，达到去分母和去括号的目的。
例5. 解方程4x
1.55x0.80.2
1.20.1
x.
0.5
说明：一见到此方程，许多同学立即想到老师介绍的方法，那就是把分母化成整数，即各分数分子分母都乘以10，再设法去分母，其实，仔细观察这个方程，我们可以将分母化成整数与去分母两步一步到位，第一个分数分子分母都乘以以10.
例6. 解方程
2，第二个分数分子分母都乘以
5，第三个分数分子分母都乘
x6
x12
x20
x30
1.
知识链接：此题如果直接去分母，或者通分，数字较大，运算烦琐，发现分母20=4×5，30=5×6，联系到我们小学曾做过这样的分式化简题，故采用拆项法解之比较简便
例7. 参加某保险公司的医疗保险，住院治疗的病人可享受分段报销，则如下表，某人今年住院治疗后得到保险公司报销的金额是
住院医疗费（元）不超过500的部分超过500～1000的部分超过1000～3000的部分……
A. 2600元
B. 2200元
C. 2575元
6=2×3，12=3×4，
.
?保险公司制度的报销细
）
1260元，那么此人的实际医疗费是（报销率（%）0 60 80 …D. 2525元
点拨：解答本题首先要弄清题意，读懂图表，从中应理解医疗费是分段计算累加求和而得的
. 因
说明：解方程时，遇到多重括号，一般的方法是从里往外或从外往里运用乘法的分配律逐层去特号，而本题最简捷的方法却不是这样，是通过方程两边分别乘以一个数，达到去分母和去括号的目的。
例5. 解方程4x
1.55x0.80.2
1.20.1
x.
0.5
说明：一见到此方程，许多同学立即想到老师介绍的方法，那就是把分母化成整数，即各分数分子分母都乘以10，再设法去分母，其实，仔细观察这个方程，我们可以将分母化成整数与去分母两步一步到位，第一个分数分子分母都乘以以10.
例6. 解方程
2，第二个分数分子分母都乘以
5，第三个分数分子分母都乘
x6
x12
x20
x30
1.
知识链接：此题如果直接去分母，或者通分，数字较大，运算烦琐，发现分母20=4×5，30=5×6，联系到我们小学曾做过这样的分式化简题，故采用拆项法解之比较简便
例7. 参加某保险公司的医疗保险，住院治疗的病人可享受分段报销，则如下表，某人今年住院治疗后得到保险公司报销的金额是
住院医疗费（元）不超过500的部分超过500～1000的部分超过1000～3000的部分……
A. 2600元
B. 2200元
C. 2575元
6=2×3，12=3×4，
.
?保险公司制度的报销细
）
1260元，那么此人的实际医疗费是（报销率（%）0 60 80 …D. 2525元
点拨：解答本题首先要弄清题意，读懂图表，从中应理解医疗费是分段计算累加求和而得的
. 因
说明：解方程时，遇到多重括号，一般的方法是从里往外或从外往里运用乘法的分配律逐层去特号，而本题最简捷的方法却不是这样，是通过方程两边分别乘以一个数，达到去分母和去括号的目的。
例5. 解方程4x
1.55x0.80.2
1.20.1
x.
0.5
说明：一见到此方程，许多同学立即想到老师介绍的方法，那就是把分母化成整数，即各分数分子分母都乘以10，再设法去分母，其实，仔细观察这个方程，我们可以将分母化成整数与去分母两步一步到位，第一个分数分子分母都乘以以10.
例6. 解方程
2，第二个分数分子分母都乘以
5，第三个分数分子分母都乘
x6
x12
x20
x30
1.
知识链接：此题如果直接去分母，或者通分，数字较大，运算烦琐，发现分母20=4×5，30=5×6，联系到我们小学曾做过这样的分式化简题，故采用拆项法解之比较简便
例7. 参加某保险公司的医疗保险，住院治疗的病人可享受分段报销，则如下表，某人今年住院治疗后得到保险公司报销的金额是
住院医疗费（元）不超过500的部分超过500～1000的部分超过1000～3000的部分……
A. 2600元
B. 2200元
C. 2575元
6=2×3，12=3×4，
.
?保险公司制度的报销细
）
1260元，那么此人的实际医疗费是（报销率（%）0 60 80 …D. 2525元
点拨：解答本题首先要弄清题意，读懂图表，从中应理解医疗费是分段计算累加求和而得的
. 因
说明：解方程时，遇到多重括号，一般的方法是从里往外或从外往里运用乘法的分配律逐层去特号，而本题最简捷的方法却不是这样，是通过方程两边分别乘以一个数，达到去分母和去括号的目的。
例5. 解方程4x
1.55x0.80.2
1.20.1
x.
0.5
说明：一见到此方程，许多同学立即想到老师介绍的方法，那就是把分母化成整数，即各分数分子分母都乘以10，再设法去分母，其实，仔细观察这个方程，我们可以将分母化成整数与去分母两步一步到位，第一个分数分子分母都乘以以10.
例6. 解方程
2，第二个分数分子分母都乘以
5，第三个分数分子分母都乘
x6
x12
x20
x30
1.
知识链接：此题如果直接去分母，或者通分，数字较大，运算烦琐，发现分母20=4×5，30=5×6，联系到我们小学曾做过这样的分式化简题，故采用拆项法解之比较简便
例7. 参加某保险公司的医疗保险，住院治疗的病人可享受分段报销，则如下表，某人今年住院治疗后得到保险公司报销的金额是
住院医疗费（元）不超过500的部分超过500～1000的部分超过1000～3000的部分……
A. 2600元
B. 2200元
C. 2575元
6=2×3，12=3×4，
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?保险公司制度的报销细
）
1260元，那么此人的实际医疗费是（报销率（%）0 60 80 …D. 2525元
点拨：解答本题首先要弄清题意，读懂图表，从中应理解医疗费是分段计算累加求和而得的
. 因
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