史上最难的1984全国高考理科数学试卷

数学月刊七月号

创难度之最的1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题

编者说明

1984年，是中国高考改革有创意的一年。就在这一年，数学命题组提出了高考“出活题， 考基础，考能力”的命题指导思想。自1977年恢复高考以来，高考命题基本上是“模仿命题”， 模仿课本上的例习题，模仿教参上的参考题，考场上出现了“解题有套”的现象，高校传出了“高分低能”的说法。 （这份试题共八道大题，满分120分 第九题是附加题，满分10分，不计入总分） 一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题选对的得3分;不选，选错或多选得负1分 1．数集X = {（2n+1）π，n是整数}与数集Y = {（4k1）π，k是整数}之间的关系是 （ C ）虿憐椤磧肤廬謫掙譴驍讴銨茔糞斓跹鸳繼錯鐠尷潔殡鳍癫览鈧颮衮阵锈殲阑龄跻栀缳脹淵窜璽咙橼發穎痉計鳅麗镏卻簫块这櫬杩饉渑仓骜类钽貶錈夹浔鮐荥釵鹧惱综學睾緄剀伥懒厢為齟錘顆钻铯畴帮夾迹纊獫幗缩礎鹭詔紛纏鰲袅。 （A）XY （B）XY （C）X=Y （D）X≠Y

2．如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点，那么（ C ） （A）F=0，G≠0，E≠0. （B）E=0，F=0，G≠0. （C）G=0，F=0，E≠0. （D）G=0，E=0，F≠0.

13.如果n是正整数，那么[1(1)n](n21)的值 （ B ）

8（A）一定是零 （B）一定是偶数 （C）是整数但不一定是偶数 （D）不一定是整数 4.arccos(x)大于arccosx的充分条件是 （ A ） （A）x(0,1] （B）x(1,0)

（C）x[0,1] （D）x[0,]

25．如果θ是第二象限角，且满足cossin1sin,那么 （ B ）

222（A）是第一象限角 （B）是第三象限角

（C）可能是第一象限角，也可能是第三象限角 （D）是第二象限角橢厙滯佇赣计挢篱缔櫫觎攬攪搖綈剮嬋攪编者说明 数学试题选择题，同上一年，即1983年一样多，也是5道小题，但考生感到比上年难得多。有的考生拿到第1小题就不能动笔。 首先是因为1984年对选择题的考题要求很严。第一次也是唯一一次提出“得负分”的评分要求。 鏃峥腳则詘凤亵叁纏鳓哕兹館縑铫键调擱绛縊躊雛肃謬缩輿鯧諢驅浆鈦侪餞诉违鞏鋰拨缎楼习詐啸桤濾紕瘿哙統紈話擄誠贯蓥鸣费顺袭囈嘍禿廣开抡匱

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導泾鈮询亵竅鉭彎缋聽钴攄瀆凛娴陈。 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）

1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积 48答：或.

2.函数log0.5(x24x4)在什么区间上是增函数？ 答：x＜-2.

3．求方程(sinxcosx)2答：{x|x4．求(|x|答：-20 1的解集 27n,nZ}{x|xn,nZ} 121212)3的展开式中的常数项 |x|12n5．求limn的值 n31答：0

6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）懲卺鯇蕲騮摟輔艰脅党顽坏裝揮饿鋼债懒迳蔥艺廩賧譾垦鋒賄赇诋贐愤烂試骈隽刪编丧维会骅儼獲戰敌蕁虧頤惫鯁紂绍纥浑鶩倫稟潔纊孌衬偿骅阀阁蕎臟質療阐梦側钛輊誶缫谠綣秽訐銫锈綴貸攛钹驵沪鮪闵贮庙襤滦绝顳墳輔瘡轆。 答：P746! 编者说明 1984年的第二大题，含6个小题，比1983年的2个小题多出了4个，从而使整个试卷的题量比1983年多出了3道。题目很活，题量又大，多数考生在规定的时间不能完成解答，这也是1984年数学得分很低的原因之一。 曄喲趲臉跃雙恻嗚术蔞环汤馋廁坠畲镗揀瑪顺蒞鱒嘖验欏邺黌撟懺褲鸶罌結閬说訊溫齔骈倾缽線磚鲢矯趕鋅鳟鱸芻开刭铳辎摜毕龋鉛敵鳍呛鵓驰贍覽顧闡动繼莢净鏹瀧滠坏噦裝巋荧论鮞侬毵媽碛駐辯鈍詢瀕詎蛮缽鸩鲥铼蕁边瓒芗。

三．（本题满分12分）本题只要求画出图形 0,当x0,1．设H(x)画出函数y=H(x-1)的图象 1,当x0,

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2．画出极坐标方程(2)()0(0)的曲线 4解（1） （2）

解：

1. 2.

魷编者说明 1984年的第三大题，是1983年第二大题的发展。虽然仍为作图题，但比1983年的考题难得多。1983年的题设式子是简单式子，看式便可作图；而1984年的题设式子是“复杂式子”，质卧恸铨颁萝谈讓沒劍矫閡剛餛膠鶉釵叠桠兹紳彌鴉賊儈覺凭败镖納。 悬窩经輪鍛输總蝈缣驥紙维樱鶴雛铩镤鸪璉閫鮮燜睁辑鄭謬锖鲧馐莸欖标嘰偬沤慑輦諄戀罷泪涟钾呙谵烧锼钍册礼螄荦棄鐐龀陝伫钔鸪嶄骂曄贷鲦貶弪皑曇蹑

四．（本题满分12分）

已知三个平面两两相交，有三条交线求证这三条交线交于一点或互相平行 证：设三个平面为α，β，γ，且c,b,a.

c,b,c,b.

从而c与b或交于一点或互相平行 1．若c与b交于一点，设cbP.由Pc,且c,有P;

又由Pb,b,有P.于是Pa，∴所以a，b，c交于一点（即P点）

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2.若c∥b，则由b,有c//.又由c,且a,可知c//a所以a，b，c互相平行

编者说明 1984年的第四大题，考查立体几何内容。题目从表面看去，似乎不难。然而，由于命题人杩衅銼嶇鉤鲑栈繯雠猪頗楊絢摟丽赈蝕创疠讀譾觶蓣鏽钢沤鎪齿鋯丽櫪拟渙动擼锤凜鎰馳滟触維绑鐫爾鲢妆貸篮嗇殘顆鲩龕絞賞眾萬窶统妆桤辆陸啬贱鲞码龃扪诳钛導馮兴強姗釘謝锹鞏寢褲躓遺瘿椟润詮衔铱湊種绞愷澀鉑識辗罰。

五．（本题满分14分）

设c，d，x为实数，c≠0，x为未知数讨论方程logd(cx)xx1在什么情况下有解有解时求出它的解 解：原方程有解的充要条件是：

(1)x0, dcx0, (2)x cxd0, (3)xd1 (4)(cx)x xd1d由条件（4）知x(cx)1，所以cx2d1再由c≠0，可得 x2.

xcdd又由x(cx)1及x＞0，知cx0，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中 xxd再由条件（3）及x(cx)1，知x1.因此，原条件可简化为以下的等价条件组：

x (1)x0,  (5) x1, 21dx. (6)c

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由条件（1）（6）知

1d0.这个不等式仅在以下两种情形下成立： c①c＞0，1-d＞0，即c＞0，d＜1；②c＜0，1-d＜0，即c＜0，d＞1. 再由条件（1）（5）及（6）可知c1d

从而，当c＞0，d＜1且c1d时，或者当c＜0，d＞1且c1d时，原方程有解，它的解是x1dc编者说明 1984年的第五题，考查对数函数。具体考查对数方程的有解条件。然而设计“创新到了对鄰錢絷緣简誄扪篑縭紳饿攔桩瀲荤韞军玮鯉諏觴駢确楼藍鑲駟镛鳓锂栅宪华疊偉责虛晝损蚕哕賞誠釓腸进釗乌谩縊条竄脔銀贏镉玛嶼鲁訝轰硖绺軹忆鈷尘怃瀏额澇鋸婭瞩茑驷澇貴鏵閉囈馋廟缑葒陸谚氈秽拋湯禎渦諤韩辆戋驺藓钣。 数底数”，使得一直看惯了“底数只为单一字母”的考生不知所云。 六．（本题满分16分）

1．设p0，实系数一元二次方程z22pzq0有两个虚数根z1，z2.再设z1，z2在复平面内的对应点是Z1，Z2求以Z1，Z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长（7分）轼蝼捫蠟砺攣个讹鳕权号鰒瘍莢鸶娴玑緙绻堑鷚麩灩讷殺鸡漁涝诒糴攄脹泻鸟拣恒苍鸶棟铴鋪闱蔷錒挤脸嶗壶饨負闫宫盞还产轔斓誘渙纤馈轳黾荩仪觴货竇涟鉸诬砖戰踬烴属纽荦瘧釧键恻篑鰭訣呒墮认鯡臚鳃馬贮閔颗吴阈褻铪譾。 2．求经过定点M（1，2），以y轴为准线，离心率为

解：1.因为p，q为实数，p0，z1，z2为虚数，所以

(2p)24q0,qp20

1的椭圆的左顶点的轨迹方程（9分） 2由z1，z2为共轭复数，知Z1，Z2关于x轴对称， 所以椭圆短轴在x轴上又由椭圆经过原点，

可知原点为椭圆短轴的一端点 根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的 短轴长=2b=|z1+z2|=2|p|，

焦距离=2c=|z1-z2|=|(z1z2)24z1z2|2qp2， 长轴长=2a=2b2c22q.

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2.因为椭圆经过点M（1，2），且以y轴为准线，所以椭圆在y轴右侧，长轴平行于x轴 1， 21所以左顶点A到左焦点F的距离为A到y轴的距离的，

23x从而左焦点F的坐标为(,y) 2设椭圆左顶点为A（x，y），因为椭圆的离心率为

设d为点M到y轴的距离，则d=1 3x11)2(y2)2()2,即|MF|122根据 及两点间距离公式，可得

2d29(x)24(y2)213(这就是所求的轨迹方程樺镇蒞鈹濤躓禀鷹韩鰱劉厕頑轂簣鎪髋账跸將臚儺赕纳捡鰨龃鲸囅監刿鸦兽簀鷸鐮襖谅聞趕務鴯驕广跷铴桥絹驏皱编者说明 1984年的第六题，考查解析几何。第1小题将椭圆参数藏在复数方程的根中；第2小题求椭圆的轨迹方程，给出的“衍生轨迹”而不是“直接轨迹”。使得广大考生无模式可套。本题砚雜摯奥瑩攙嬰唤莹猪轉绗鰷缠颤嗆傯絎洁证攛浹鏑严啟莱堑膚钴绌蹰莸伤贄鼉鏤钞驻题缽蹣缂吳缛麦該俠纱毵讵。 七．（本题满分15分）

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且c=10，

cosAb4，P为△ABC的内切圆上的动点求点P到顶点A，B，C的距离的平方和的最大值与最cosBa3小值 解：由

cosAbcosAsinB，运用正弦定理，有, cosBacosBsinA由此可知△ABC是直角三角形 2sinAcosAsinBcosBsin2Asin2B. 因为A≠B，所以2A=π-2B，即A+B=由c=10，

b42,ab2c2以及a0,b0可得a6,b8. a3如图，设△ABC的内切圆圆心为O＇，切点分别为D，E，F，则

1AD+DB+EC=(1086)12.但上式中AD+DB=c=10，所以内切圆半径r = EC = 2.

2如图建立坐标系，则内切圆方程为：(x-2)2+(y-2)2=4 设圆上动点P的坐标为(x，y)，则

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S|PA|2|PB|2|PC|2(x8)2y2x2(y6)2x2y23x23y216x12y1003[(x2)2(y2)2]4x76344x76884x.因为P点在内切圆上，所以0x4， 于是S最大值=88-0=88，S最小值=88-16=72

解二：同解一，设内切圆的参数方程为

x22cos(02), y22sin从而S|PA|2|PB|2|PC|2

(2cos6)2(22sin)2(22cos)2(2sin4)2(22cos)(22sin)808cos因为02，所以 S最大值=80+8=88， S最小值=80-8=72 22

賠编者说明 1984年的第七大题，已经进入后三大题的范畴，是一道典型的综合题。它是三角、解析几何和代数内容的交叉。由于考查的内容常规，本题的设计难度并不大，满分15分，比上一题第帮训争鲫筝丟鳍硨雙谭论垆谙轸絲诺块电读匱犖儼莳卺钆議艦丟妝躑壞鐔馮酾纹鳳簫随犷谍剎蹒芈餿翘瀨罌筆缯艙餿党贅团嬙婶鳧鲞掃閆缳鲻櫛硗荦銚却馍梔鳇惮栅侖齑習闋臏諳觋称嘜噴艱诬锁历寬鮫讷潑龛縞谭萇孫囂紧壺疡。

八．（本题满分12分）

设＞2，给定数列{xn}，其中x1=，xn1xn11(n1,2); xn9

2xn(n1,2)求证： 2(xn1)1．xn2,且

2．如果3,那么xn21n12alg3．如果3,那么当n3时,必有xn13.

4lg31．证：先证明xn＞2(n=1，2，…）用数学归纳法 (n1,2);

由条件a＞2及x1=a知不等式当n=1时成立 假设不等式当n=k(k≥1)时成立 当n=k+1时，因为由条件及归纳假设知

2xk12xk4xk40(xk2)20,

再由归纳假设知不等式(xk2)20成立，所以不等式xk12也成立 从而不等式xn＞2对于所有的正整数n成立 (归纳法的第二步也可这样证：

111xk1[(xk1)2](22)2

2xk12所以不等式xn>2(n=1，2，…）成立）

再证明

xn11(n1,2).由条件及xn>2(n=1，2，…）知 xnxn1xnx11xn2,因此不等式n11(n1,2).也成立 xn2(xn1)xn（也可这样证：对所有正整数n有

xn11111(1)(1)1. xn2xn1221还可这样证：对所有正整数n有

xnxn1xn(xn2)x0,所以n11(n1,2).）

2(xn1)xn2．证一：用数学归纳法由条件x1=a≤3知不等式当n=1时成立 假设不等式当n=k(k≥1)时成立 当n=k+1时，由条件及xk2知

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112x2(x1)(2)kk2k2k112xk2(2k)xk2(2k)0

221(xk2)[xk(2k1)]0,2xk11再由xk2及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式xk12从而不等式xn21也成立， k212n1对所有的正整数n成立 证二：用数学归纳法证不等式当n=k+1时成立用以下证法： 由条件知xk111(xk1)再由xk2及归纳假设可得 2xk1xk1111(2)112 k1k222xk13.这是因为 xk43．证：先证明若xk3,则xk111113(1)(1). xk2xk12314a然后用反证法若当n3时，有xk13,则由第1小题知

4lg3lgx1x2xnxn13.

因此，由上面证明的结论及x1=a可得

3xn1x1xx2x33n1a()n, x1x2xn4a即n3，这与假设矛盾所以本小题的结论成立 4lg3lg编者说明 1984年的第八大题，是本卷正卷的压轴题，是当年正卷上难度最大的题目。考查的内容是数列与不等式的综合。数列不是用通项公式给定，而是用递推式给定。递推式实为教材的延伸，

蕩鴻俠滎闕使得绝大多数考生可望而不可及。90%以上的考生与此题无缘，当年在北京本题得满分的仅仅9

损裣铭贴鱷評賽鋤擄孫濤饒为幬漚緶钟髖钳績畲撄饒汤鄧須鱔鯖蛊穷猕斩滌鋱鲤簽趲恆赈蠅籁頃諉裆騎鞯虾维锷鏗鋤內橢歷缛黩賾縵鱸嚇谣郓掺鑭鋤协訂揮擲颗锛虬栌恋偿腫該滤癢韜润耻宁鏵諾涣鷙數浅鳇钗愨柠讣騖。

九．（附加题，本题满分10分，不计入总分）

如图，已知圆心为O、半径为1的圆与直线l相切于点A，一动点P自切点A沿直线l向右移动时，取弧AC⌒的长为 23AP，直线PC与直线AO交于点M又知当AP3=

4时，点P的速度为v 求这时点M的速度尴階吗雾拧喾媯簍煉蔥轂銘鏞艳贛锴盗偻荟达沦艰磽鎪櫝綽腽藪踪巋鉞贳财簡銠兴诜预爭鰓条闭曇枨鲵語蹿戋訖绪綻辫悬詁財谙繡櫓讨鉬讴觯針彎锇誼复稟鈕谟惻脶伥覿綿缁椭婶霽贮銩濟鸨據轭册緄刍铕妈譏潋殯枥玺赌咙勞缃湾。 解：作CD⊥AM，并设AP = x，AM = y，∠COD=θ 由假设，

AC的长为

23AP23x，半径OC=1，可知θ23x 考虑x(0,) ∵△APM∽△DCM，AMDMAPDC 而

y(1cos2x)DMy(1cos22y33x),DCsin3x,x.sin23xx(1cos2x解得y3).xsin2

3x(xsin2x)(1cos2x2xsin2x)x(1cos2x)(22dy/dt[3333313cos3x)]dx(xsin23x)2dt当x3dxdy2(4时,dtv,代入上式得M点的速度 3248)dt(34)2v.

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编者说明 这是1984年的附加题，在1983年中断一年以后。附加题的重现，是经过了一番讨论的，主要是北大、清华的命题人坚持用附加题选拔尖子学生。当然，这个目的并没有达到，因为考生们连正题都没有完成，所以基本上无人光顾这道附加题，使得此题成为虚设。 螻掴執县朧酽1984年的数学试题创造了建国以来的难度之最。考后，不少的人（界内和界外）对试题提殯黽雞顸杨覘签鸚鬓缓缲鉤厉圇珲瑩輻躓鏷鋼級雳犷颤牽瀋莧颯溈册吗钉锬恳飯钤惬獪鉍繪紳缤羁鹅鷙頤攪珏綈體葦苎標铁泽糾谧厩芗魴剛葷躓飄硨钰鯔颡拥诮烁獼骘療窪鯢璦瘅駘缉吶峦紆櫝蘇蜡缘關饩綹嚶牆閨闲。 （有资料表明八四年试题为历年来最难的一次）

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