高等数学知识点归纳

一. 数列函数: 1. 类型:

(1)数列: *anf(n); *an1f(an) (2)初等函数:

(3)分段函数: *F(x)f1(x)xx0f(x)xx0f2(x),xx; *F(x),;* 0axx0 (4)复合(含f)函数: yf(u),u(x) (5)隐式(方程): F(x,y)0

(6)参式(数一,二): xx(t)yy(t)

(7)变限积分函数: F(x)xaf(x,t)dt

(8)级数和函数(数一,三): S(x)annx,x

n0 2. 特征(几何):

(1)单调性与有界性(判别); (f(x)单调x0,(xx0)(f(x)f(x0))定号) (2)奇偶性与周期性(应用).

3. 反函数与直接函数: yf(x)xf1(y)yf1(x)

二. 极限性质:

1. 类型: *limnan; *limxf(x)(含x); *limxxf(x)(含xx0)

0 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量):

3. 未定型:

00,,1,,0,00,0 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论:

111nn(a0)1, (anbncn)nmax(a,b,c), an n1an!a00

1xxnlnnxx(x0), xlim0x1, xlimex0, xlimx0, limxlnnx0, ex0xx0,x 四. 必备公式:

1. 等价无穷小: 当u(x)0时,

sinu(x)u(x);tanu(x)u(x); 1cosu(x)12u2(x);eu(x)1u(x); ln(1u(x))u(x)(1u(x))1u(x)arcsinu(x)u(x)arctanu(x)u(x)

2. 泰勒公式:

(1)ex1x12!x2o(x2); (2)ln(1x)x12x2o(x2); (3)sinxx134121453!xo(x); (4)cosx12!x4!xo(x);

(5)(1x)1x(1)22!xo(x2).

五. 常规方法: 前提: (1)准确判断0,,1,M(其它如:,0,000,0); 1

(2)变量代换(如:

1t) 1. 抓大弃小(), 2. 无穷小与有界量乘积 (M) x 4. 中值定理: lim[f(xa)f(x)]alimf'()

xx100(注:sin1,x) 3. 1处理(其它如:0,) 4. 左右极限(包括x):

5. 级数和(数一三):

nx1(1)1x(x0); (2)ex(x); ex(x0); (3)分段函数: x, [x], maxf(x) 5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注: 非零因子) 6. 洛必达法则

(1)先”处理”,后法则(00最后方法); (注意对比: limxlnx与xlnxx11xlimx01x)

11111 (2)幂指型处理: u(x)v(x)ev(x)lnu(x)(如: ex1exex(ex1x1))

(3)含变限积分;

(4)不能用与不便用

7. 泰勒公式(皮亚诺余项): 处理和式中的无穷小 8. 极限函数: f(x)limnF(x,n)(分段函数)

六. 非常手段 1. 收敛准则:

(1)anf(n)xlimf(x)

(2)双边夹: *bnancn?, *bn,cna?

(3)单边挤: an1f(an) *a2a1? *anM? *f'(x)0?

2. 导数定义(洛必达?): limfx0xf'(x0)

3. 积分和: lim11nn[f(1n)f(2n)f(nn)]0f(x)dx,

(1)a, (如lim2n!n收敛liman0n1nnnn)

(2)lim(na1a2an)an,

n1 (3){an}与

(anan1)同敛散

n1七. 常见应用:

1. 无穷小比较(等价,阶): *f(x)kxn,(x0)?

(1)f(0)f'(0)f(n1)(0)0,f(n)(0)af(x)axn(xnann!)n!x (2)

x0f(t)dtx0ktndt

2. 渐近线(含斜):

(1)alimf(x)xx,blim[xf(x)ax]f(x)axb

(2)f(x)axb,(1x0)

3. 连续性: (1)间断点判别(个数); (2)分段函数连续性(附:极限函数, f'(x)连续性)

八. [a,b]上连续函数性质

2

1. 连通性:

f([a,b])[m,M] (注:01, “平均”

1. 定义导:(1)f'(a)与f'(x)xa;(2)分段函数左右导; (3)limh0f(xh)f(xh)

h值:f(a)(1)f(b)f(x0)) 2. 介值定理: (附: 达布定理)

(1)零点存在定理: f(a)f(b)0f(x0)0(根的个数); (注: f(x)F(x)xx0, 求:f'(x0),f'(x)及f'(x)的连续性) ,xx0a 2. 初等导(公式加法则):

(1)uf[g(x)], 求:u'(x0)(图形题);

(2)f(x)0(xaf(x)dx)'0.

第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)

一. 基本概念:

1. 差商与导数: f'(x)limf(xx)f(x)f(x)f(x0)x0x; f'(x0)limxx

0xx0 (1)

f'(0)limf(x)f(0)x0x(注:limf(x)x0xA(f连续)f(0)0,f'(0)A)

(2)左右导: f''(x0),f(x0); (3)可导与连续; (在x0处, x连续不可导; xx可导)

2. 微分与导数:

ff(xx)f(x)f'(x)xo(x)dff'(x)dx

(1)可微可导; (2)比较f,df与\"0\"的大小比较(图示);

二. 求导准备:

1. 基本初等函数求导公式; (注: (f(x))') 2. 法则: (1)四则运算; (2)复合法则

(3)反函数

dx1dyy' 三. 各类求导(方法步骤):

3

(2)F(x)xxbaf(t)dt求F'(x)注: (f(x,t)dt)',(f(x,t)dt)',(baaaf(t)dt)')

(3)yf1(x)f(x),xx0xx,求f''(x0),f(x0)及f'(x0) (待定系数)

203. 隐式(f(x,y)0)导:

dydx,d2ydx2 (1)存在定理;

(2)微分法(一阶微分的形式不变性). (3)对数求导法.

xx(t)dyd24. 参式导(数一,二): yy(t), 求:dx,ydx2 5. 高阶导f(n)(x)公式:

(eax)(n)aneax; (1nabx)(n)bn!(abx)n1; (sinax)(n)ansin(ax2n); (cosax)(n)ancos(ax2n)

(uv)(n)u(n)vC1(n1)nuv'C2(n2)nuv\"注:

f(n)(0)与泰勒展式:

n)f(x)a0a1xa2x2anaf((0)nxnn!

四. 各类应用:

1. 斜率与切线(法线); (区别: yf(x)上点M0和过点M0的切线) 2. 物理: (相对)变化率速度; 3. 曲率(数一二): f\"(x)(1f'2(x))3(曲率半径, 曲率中心, 曲率圆)

4. 边际与弹性(数三): (附: 需求, 收益, 成本, 利润) 五. 单调性与极值(必求导) 1. 判别(驻点f'(x0)0): (1) f'(x)0f(x); f'(x)0f(x);

(2)分段函数的单调性

(3)f'(x)0零点唯一; f\"(x)0驻点唯一(必为极值,最值). 2. 极值点:

(1)表格(f'(x)变号); (由limf'(x)xxx0,limf'(x)f''(x)0xx0,lim0xxx0x20x0的特点)

(2)二阶导(f'(x0)0)

注(1)f与f',f\"的匹配(f'图形中包含的信息);

(2)实例: 由f'(x)(x)f(x)g(x)确定点“xx0”的特点. (3)闭域上最值(应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优)

3. 不等式证明(f(x)0)

(1)区别: *单变量与双变量? *x[a,b]与

x[a,),x(,)?

(2)类型: *f'0,f(a)0; *f'0,f(b)0

*f\"0,f(a),f(b)0; *f\"(x)0,f'(x0)0,f(x0)0 (3)注意: 单调性端点值极值凹凸性. (如: f(x)Mfmax(x)M) 4. 函数的零点个数: 单调介值

六. 凹凸与拐点(必求导!): 1. y\"表格; (f\"(x0)0)

2. 应用: (1)泰勒估计; (2)f'单调; (3)凹凸. 七. 罗尔定理与辅助函数: (注: 最值点必为驻点)

1. 结论: F(b)F(a)F'()f()0 2. 辅助函数构造实例: (1)f()F(x)xaf(t)dt

(2)f'()g()f()g'()0F(x)f(x)g(x) (3)f'()g()f()g'()0F(x)f(x)g(x) (4)f'()()f()0F(x)e(x)dxf(x);

4

3. f(n)()0f(x)有n1个零点f(n1)(x)有2个零点

注(1)F(x)xaf(t)dt(连续不一定可导);

4. 特例: 证明f(n)()a的常规方法:令F(x)f(x)Pn(x)有n1个零点

(2)

xxa(xt)f(t)dtaf(t)dtf(x) (f(x)连续)

(P 2. 不定积分性质:

n(x)待定)

(1)(f(x)dx)'f(x); d(f(x)dx)f(x)dx

5. 注: 含1,2时,分家!(柯西定理)

 (2)

6. 附(达布定理): f(x)在[a,b]可导,c[f'(a),f'(b)],[a,b],f'(x)dxf(x)c; df(x)f(x)c

二. 不定积分常规方法 使:f'()c 1. 熟悉基本积分公式

八. 拉格朗日中值定理

2. 基本方法: 拆(线性性) 1. 结论: f(b)f(a)f'()(ba); ((a)(b),'()0)

(k1f(x)k2g(x))dxk1f(x)dxk2g(x)dx

2. 估计:

ff'()x

3. 凑微法(基础): 要求巧,简,活(1sin2xcos2x) 九. 泰勒公式(连接f,f',f\"之间的桥梁) 如: dx11dxdx 1.

结

论

:

ad(axb),xdx2dx2,xdlnx,x2dx f(x)f(x0)f'(x0)(xx0)12!f\"(x10)(xx0)23!f\"'()(xx0)3;

xdxd1x21x2,(1lnx)dxd(xlnx)

2. 应用: 在已知f(a)或f(b)值时进行积分估计

4. 变量代换:

十. 积分中值定理(附:广义): [注:有定积分(不含变限)条件时使用] (1)常用

(三角代换,根式代换,倒代 第三讲: 一元积分学

xsint,axbt,1xt,ex1t

一. 基本概念: (2)作用与引伸(化简): x21xt

1. 原函数F(x):

5. 分部积分(巧用):

(1)F'(x)f(x); (2)f(x)dxdF(x); (3)

f(x)dxF(x)c

(1)含需求导的被积函数(如lnx,arctanx,xaf(t)dt);

5

换):

(2)“反对幂三指”: (3)特别:

naxxedx,nxlnxdx,

注: (1)分段积分, 对称性(奇偶), 周期性

(2)有理式, 三角式, 根式 (3)含

xf(x)dx (*已知f(x)的原函数为F(x); *已知f'(x)F(x))

a1sinxb1cosxdx; (2)

baf(t)dt的方程.

6. 特例: (1)

p(x)ekxdx,p(x)sinaxdx快速法;

4. 变量代换: bf(x)dxf(u(t))u'(t)dt

asinxbcosx(3)v(x)un(x)dx 三. 定积分: 1. 概念性质:

(1)积分和式(可积的必要条件:有界, 充分条件:连续) (2)几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值) *a0)b0axx2dx(a8a2; *(xaba2)dx0 (3)附:

baf(x)dxM(ba),

baf(x)g(x)dxMbag(x)dx)

(4)定积分与变限积分, 反常积分的区别联系与侧重

2: 变限积分(x)xaf(t)dt的处理(重点)

(1)f可积连续, f连续可导 (2)

(xf(txa)dt)'f(x);

((xt)f(t)dt)'xaaf(t)dtxaf(x)dt(xa)f(x)

(3)由函数F(x)xaf(t)dt参与的求导, 极限, 极值, 积分(方程)问题

3. NL公式:

baf(x)dxF(b)F(a)(F(x)在[a,b]上必须连续!)

a (1)af(x)dxa00f(ax)dx(xat),

(2)

aaaf(x)dxf(x)dx(xt)aa0[f(x)f(x)]dx(如:

41)

41sinxdx (3)Inn1n20sinxdxnIn2,  (4)2220f(sinx)dx0f(cosx)dx;

0f(sinx)dx20f(sinx)dx,

(5)

0xf(sinx)dx20f(sinx)dx,

5. 分部积分

(1)准备时“凑常数”

; (2)已知f'(x)或f(x)xba时, 求

af(x)dx

6. 附: 三角函数系的正交性:

220sinnxdx20cosnxdx0sinnxcosmxdx0

220sinnxsinmxdx0cosnxcosmxdx(nm)0

220sinnxdx20cos2nxdx

6

四. 反常积分: 1. 类型: (1) (2)

5. 平均值(中值定理):

abf(x)dx,af(x)dx,f(x)dx (f(x)连续) (1)f[a,b]1bf(x)dx;

baaxf(x)dx: (f(x)在xa,xb,xc(acb)处为无穷间

f(t)dtTf(t)dta断)

2. 敛散;

3. 计算: 积分法NL公式极限(可换元与分部) 4. 特例: (1)

1xpdx; (2)1110xpdx

五. 应用: (柱体侧面积除外)

1. 面积, (1)Sbd1a[f(x)g(x)]dx; (2)Scf(y)dy;

(3)S12r2()d; (4)侧面积:Sba2f(x)1f'2(x)dx

2. 体积: (1)V22d12bxba[f(x)g(x)]dx; (2)Vyc[f(y)]dy2axf(x)dx (3)Vxx0与Vyy0

3. 弧长: ds(dx)2(dy)2 (1)yf(x),x[a,b] sba1f'2(x)dx

(2)xx(t)t2yy(t),t[t1,t2] stx'2(t)y'2(t)dt

1 (3)rr(),[,]: sr2()r'2()d

4. 物理(数一,二)功,引力,水压力,质心,

(2)f[0)0xlimx, (f以T为周期:f0T)

第四讲: 微分方程

一. 基本概念

1. 常识: 通解, 初值问题与特解(注: 应用题中的隐含条件) 2. 变换方程:

(1)令xx(t)y'\"Dy\"(如欧拉方程)

(2)令uu(x,y)yy(x,u)y'(如伯努利方程) 3. 建立方程(应用题)的能力 二. 一阶方程:

1. 形式: (1)y'f(x,y); (2)M(x,y)dxN(x,y)dy0; (3)y(a)b 2. 变量分离型: y'f(x)g(y)

(1)解法:

dyg(y)f(x)dxG(y)F(x)C

(2)“偏”微分方程:

zxf(x,y); 3. 一阶线性(重点): y'p(x)yq(x)

x (1)解法(积分因子法): M(x)exp(x)dx0y1M(x)[xxM(x)q(x)dxy00] 7

(2)变化: x'p(y)xq(y);

(3)推广: 伯努利(数一) y'p(x)yq(x)y 4. 齐次方程: y'(yx)

(1)解法: uyxuxu'(u),dudx(u)ux

(2)特例: dya1xb1ycdx1a 2xb2yc2 5. 全微分方程(数一): M(x,y)dxN(x,y)dy0且NxMy dUMdxNdyUC

6. 一阶差分方程(数三): y0yxcaxx1ayxbxp(x)y*nxxxQ(x)b三. 二阶降阶方程

1. y\"f(x): yF(x)c1xc2 2. y\"f(x,y'): 令y'p(x)y\"dpdxf(x,p) 3. y\"f(y,y'): 令y'p(y)y\"pdpdyf(y,p) 四. 高阶线性方程: a(x)y\"b(x)y'c(x)yf(x) 1. 通解结构:

(1)齐次解: y0(x)c1y1(x)c2y2(x)

(2)非齐次特解: y(x)c1y1(x)c2y2(x)y*(x) 2. 阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)ypyqy0，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：()r2prq0，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y,y,y的系数；2、求出()式的两个根r1,r23、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解： r1，r2的形式 (*)式的通解 两个不相等实根(p24q0) yc2x1er1xc2er 两个相等实根(p24q0) y(c1cr1x2x)e 一对共轭复根(p24q0) yex(c1cosxc2sinx) r1i，r2ip4qp2 2，2 二阶常系数非齐次线性微分方程

ypyqyf(x)，p,q为常数f(x)exPm(x)型，为常数；

f(x)ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型 3. 欧拉方程(数一): ax2y\"bxy'cyf(x), 令

xetx2y\"D(D1)y,xy'Dy

五. 应用(注意初始条件):

8

1. 几何应用(斜率, 弧长, 曲率, 面积, 体积); 注: 切线和法线的截距

2. 积分等式变方程(含变限积分); 可设

xaf(x)dxF(x),F(a)0

3. 导数定义立方程: 含双变量条件f(xy)的方程

4. 变化率(速度)

5. Fmadvdtd2xdt2 6. 路径无关得方程(数一):

QxPy 7. 级数与方程:

(1)幂级数求和; (2)方程的幂级数解

法:yaa201xa2x,a0y(0),a1y'(0)

8. 弹性问题(数三)

第五讲: 多元微分与二重积分

一. 二元微分学概念

1. 极限, 连续, 单变量连续, 偏导, 全微分, 偏导连续(必要条件与充分条件), (1)ff(x0x,y0y),xff(x0x,y0),yff(x0,y0y) (2)limf,fxfxlimx,ffylimyy (3)fdfxxfyydf,limf(x)2(y)2 (判别可微性)

注: (0,0)点处的偏导数与全微分的极限定义: ff(x,0)f(0,0)x(0,0)limxx,flimf(0,y)f(0,0)0y(0,0)y0y

2. 特例:

xy (1)f(x,y)x2y2(0,0): (0,0)点处可导不连续;

0,(0,0) (2)f(x,y)xyx2y2(0,0): (0,0)点处连续可导不可微;

0,(0,0)二. 偏导数与全微分的计算:

1. 显函数一,二阶偏导: zf(x,y) 注: (1)xy型; (2)zx(x0,y0); (3)含变限积分

2. 复合函数的一,二阶偏导(重点): zf[u(x,y),v(x,y)]

熟练掌握记号f''\"\"\"1,f2,f11,f12,f22的准确使用

3. 隐函数(由方程或方程组确定): (1)形式: *F(x,y,z)0; *F(x,y,z)0G(x,y,z)0 (存在定理)

(2)微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性): FxdxFydyFzdz0 (要求: 二阶导)

(3)注: (x0,y0)与z0的及时代入

9

(4)会变换方程. 三. 二元极值(定义?);

1. 二元极值(显式或隐式): (1)必要条件(驻点); (2)充分条件(判别)

2. 条件极值(拉格朗日乘数法) (注: 应用)

(1)目标函数与约束条件: zf(x,y)(x,y)0, (或: 多条件)

双纽线(xy)a(xy) D:xy1 4. 特例:

(1)单变量: f(x)或f(y) (2)利用重心求积分: 要求: 题型心(x,y)

222222(kxky)dxdy, 且已知D的面积S12DD与重

(2)求解步骤: L(x,y,)f(x,y)(x,y), 求驻点即可. 3. 有界闭域上最值(重点).

(1)zf(x,y)MD{(x,y)(x,y)0}

5. 无界域上的反常二重积分(数三) 五: 一类积分的应用( 1. “尺寸”: (1)

f(M)d:DD;;L;;):

(2)实例: 距离问题

四. 二重积分计算:

1. 概念与性质(“积”前工作): (1)

dSD; (2)曲面面积(除柱体侧面);

2. 质量, 重心(形心), 转动惯量;

3. 为三重积分, 格林公式, 曲面投影作准备.

第六讲: 一. 级数概念

1. 定义: (1){an}, (2)Sna1a2d,

D无穷级数(数一,三)

an; (3)limSn (如n (2)对称性(熟练掌握): *D域轴对称; *f奇偶对称; *字母轮换对称; *重心坐标;

(3)“分块”积分: *DD1n)

(n1)!n1D2; *f(x,y)分片定义; *f(x,y)奇偶

注: (1)liman; (2)

n 2. 计算(化二次积分):

(1)直角坐标与极坐标选择(转换): 以“D”为主; (2)交换积分次序(熟练掌握). 3. 极坐标使用(转换): f(xy)

22qn(或1); (3)“伸缩”级数:(an1an)收敛an{an}收敛.

2. 性质: (1)收敛的必要条件: liman0;

nx2y2222 附: D:(xa)(yb)R; D:221;

ab

10

(2)加括号后发散, 则原级数必发散(交错级数的讨论); (3)s2ns,an0s2n1ssns;

二. 正项级数

1. 正项级数: (1)定义: an0; (2)特征: Sn; (3)收敛SnM(有界)

5. 注意事项: 对比 四. 幂级数: 1. 常见形式: (1)

an;

(1)annn;

an;

a2n之间的敛散关系

lnkn11 2. 标准级数: (1)p, (2), (3)

nnnlnkn 3. 审敛方法: (注:2abab,a22lnbaxnn, (2)

a(xx)n0, (3)

a(xx)n02n

blna)

2. 阿贝尔定理:

(1)结论: xx敛Rx*x0; xx散Rx*x0

** (1)比较法(原理):ak1n(估计), 如npf(x)dx; P(n)n0Q(n)

(2)比值与根值: *limun1nu *limnun (应用: 幂级数收敛半径计算)

nn三. 交错级数(含一般项):

(1)n1an(an0)

1. “审”前考察: (1)an0? (2)an0?; (3)绝对(条件)收敛?

注: 若liman1na1,则nun发散

2. 标准级数: (1)

(1)n11n; (2)(1)n11np; (3)(1)n11lnpn 3. 莱布尼兹审敛法(收敛?) (1)前提:

an发散; (2)条件: an,an0; (3)结论:

(1)n1an条

件收敛.

4. 补充方法:

(1)加括号后发散, 则原级数必发散; (2)s2ns,an0s2n1ssns.

11

(2)注: 当xx*条件收敛时Rxx* 3. 收敛半径,区间,收敛域(求和前的准备) 注(1)nannxn,annxn与anx同收敛半径 (2)

axn(xx)2nn与

an0之间的转换

4. 幂级数展开法:

(1)前提: 熟记公式(双向,标明敛域)

ex1x12!x213!x3,R 12(exex)112!x214!x4,R

12(exex)x13!x315!x5,R

sinxx13!x3155!x,R

cosx1112!x24!x4,R;

11x1xx2,x(1,1)11x1xx2,x(1,1) ;

ln(1x)x12x213x3,x(1,1] ln(1x)x12x213x3,x[1,1)

arctanxx13x3155x,x[1,1]

(2)分解: f(x)g(x)h(x)(注:中心移动) (特别: 1ax2bxc,xx0) (3)考察导函数: g(x)f'(x)f(x)x0g(x)dxf(0)

(4)考察原函数: g(x)x0f(x)dxf(x)g'(x)

5. 幂级数求和法(注: *先求收敛域, *变量替换): (1)S(x),

(2)S'(x),(注意首项变化)

(3)S(x)()',

(4)S(x)\"S(x)\"的微分方程 (5)应用:

ananxnS(x)anS(1).

6. 方程的幂级数解法

7. 经济应用(数三):

(1)复利: A(1p)n; (2)现值: A(1p)n

五. 傅里叶级数(数一): (T2)

1. 傅氏级数(三角级数): S(x)a02ancosnxbnsinnx n1 2. Dirichlet充分条件(收敛定理): (1)由f(x)S(x)(和函数)

(2)S(x)12[f(x)f(x)] a1f(x)cosnxdx 3. 系数公式: a10f(x)dx,n,n1,2,3,bn1f(x)sinnxdx 4. 题型: (注: f(x)S(x),x?) (1)T2且f(x),x(,](分段表示)

(2)x(,]或x[0,2]

(3)x[0,]正弦或余弦 *(4)x[0,](T) *5. T2l

6. 附产品: f(x)S(x)a02ancosnxbnsinnx n1

S(xa02a10)ncosnx0bnsinnx0[f(x0)f(x0)]

n1212

第七讲: 向量,偏导应用与方向导(数一)

一. 向量基本运算

1. k1ak2b; (平行ba) 2. a; (单位向量(方向余弦) a01aa(cos,cos,cos))

3. ab; (投影:(b)babaaa; 垂直:abab0; 夹角:(a,b)ab)

4. ab; (法向:naba,b; 面积:Sab) 二. 平面与直线 1.平面

(1)特征(基本量): M0(x0,y0,z0)n(A,B,C) (2)方程(点法式):

:A(xx0)B(yy0)C(zz0)0AxByCzD0

(3)其它: *截距式xaybzc1; *三点式

2.直线L

(1)特征(基本量): M0(x0,y0,z0)s(m,n,p) (2)方程(点向式): L:xx0yy0zmnz0p (3)一般方程(交面式): A1xB1yC1zD10AB

2x2yC2zD20

(4)其它: *二点式; *参数式;(附: 线段AB的参数表

xa1(a2a1)t示:yb1(b2b1)t,t[0,1]) zc1(c2c1)t 3. 实用方法:

(1)平面束方程: :A1xB1yC1zD1(A2xB2yC2zD2)0

(2)距离公式: 如点M0(x0,y0)到平面的距离dAx0By0Cz0DA2B2C2

(3)对称问题;

(4)投影问题.

三. 曲面与空间曲线(准备) 1. 曲面

(1)形式: F(x,y,z)0 或zf(x,y); (注: 柱面f(x,y)0) (2)法向n(Fx,Fy,Fz)(cos,cos,cos) (或n(zx,zy1))

2. 曲线

xx(t) (1)形式:yy(t), 或F(x,y,z)0zz(t)G(x,y,z)0;

(2)切向: s{x'(t),y'(t),z'(t)} (或sn1n2)

3. 应用

(1)交线, 投影柱面与投影曲线;

13

(2)旋转面计算: 参式曲线绕坐标轴旋转;

(3)锥面计算.

四. 常用二次曲面

1. 圆柱面: xyR 2. 球面: xyzR

变形: xyRz, z22222222222 (2)切平面与法线:

2. 曲线

(1)切向: xx(t),yy(t),zz(t)s(x',y',z') (2)切线与法平面 3. 综合: :F0 , sn1n2 G0R2(x2y2),

六. 方向导与梯度(重点) 1. 方向导(l方向斜率):

(1)定义(条件): l(m,n,p)(cos,cos,cos) (2)计算(充分条件:可微):

2222222 xyz2az, (xx0)(yy0)(zz0)R

3. 锥面: z2x2y2 22 变形: xyz, zax2y2 4. 抛物面: zxy,

变形: xyz, za(xy) 5. 双曲面: xyz1 6. 马鞍面: zxy, 或zxy

五. 偏导几何应用 1. 曲面 (1)

法

向

:

22222222uuxcosuycosuzcos lzfxcosfysin l 附: zf(x,y),l0{cos,sin}2222f22fcos2fsincosfsin (3)附: xxxyyy2l

2. 梯度(取得最大斜率值的方向) G: (1)计算:

(a)zf(x,y)Ggradz(fx,fy);

F(x,y,z)0n(Fx,Fy,Fz), 注:

(b)uf(x,y,z)Ggradu(ux,uy,uz)

zf(x,y)n(fx,fy1)

14

(2)结论

(a)ulGl0; (b)取lG为最大变化率方向; (c)G(M0)为最大方向导数值. 第八讲: 三重积分与线面积分(数一)

一. 三重积分(

fdV)

 1. 域的特征(不涉及复杂空间域):

(1)对称性(重点): 含: 关于坐标面; 关于变量; 关于重心 (2)投影法: Dxy{(x,y)x2y2R2}z1(x,y)zz2(x,y) (3)截面法: D(z){(x,y)x2y2R2(z)}azb (4)其它: 长方体, 四面体, 椭球 2. f的特征: (1)单变量

f(z), (2)

f(x2y2), (3)f(x2y2z2)(4)faxbyczd 3. 选择最适合方法: (1)“积”前: *

dv; *利用对称性(重点)

 (2)截面法(旋转体): Ibadz), f(x2y2))

Dfdxdy(细腰或中空, f(z(z) (3)投影法(直柱体): Iz2(x,y)Ddxdyz1(x,y)fdz

xy

(4)球坐标(球或锥体): I20dsindR00f()2d,

(5)重心法(faxbyczd): I(axbyczd)V 4. 应用问题:

(1)同第一类积分: 质量, 质心, 转动惯量, 引力 (2)Gauss公式 二. 第一类线积分(fds)

L 1. “积”前准备:

(1)dsL; (2)对称性; (3)代入“L”表达式

L 2. 计算公式: xx(t)yy(t)t[a,b]fdsLbaf(x(t),y(t))x'2(t)y'2(t)dt 3. 补充说明: (1)重心法:

(axbyc)ds(axbyc)L;

L (2)与第二类互换:

AdsAdr

,

LL 4. 应用范围 (1)第一类积分 (2)柱体侧面积

zx,yds

L三. 第一类面积分(

fdS)

 1. “积”前工作(重点): (1)

dS; (代入:F(x,y,z)0)

 (2)对称性(如: 字母轮换, 重心) (3)分片 2. 计算公式:

15

(1)zz(x,y),(x,y)D22xyIy,z(x,y))1zxzydxdy

Df(x,xy (2)与第二类互换:

AndSAdS

四: 第二类曲线积分(1):

P(x,y)dxQ(x,y)dy (其中L有向)

L 1. 直接计算: xx(t)yy(t),t:tIt21t2t[Px'(t)Qy'(t)]dt

1 常见(1)水平线与垂直线; (2)x2y21 2. Green公式: (1)

PdxQdy(QLDxPy)dxdy; (2): *

PQPL(AB)yy换路径; *yQy围路径 (3)

(QxPy但D内有奇点)

L(变形)

LL* 3. 推广(路径无关性):PyQy (1)PdxQdydu(微分方程)uBA(道路变形原理)

L(AB) (2)P(x,y)dxQ(x,y)dy与路径无关(f待定): 微分方程.

L 4. 应用

功(环流量):IFdr (有向,F(P,Q,R),drds(dx,dy,dz))



五. 第二类曲面积分 1. 定义: PdydzQdzdxRdxdy, 或R(x,y,z)dxdy (其中含侧)

 2. 计算:

(1)定向投影(单项):

R(x,y,z)dxdy, 其中:zz(x,y)(特别:水平面);

 注: 垂直侧面, 双层分隔

(2)合一投影(多项,单层): n(zx,zy,1)

PdydzQdzdxRdxdy[P(zx)Q(zy)R]dxdy

 (3)化第一类(不投影): n(cos,cos,cos)

PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)dS

 3. Gauss公式及其应用: (1)散度计算: divAPQxyRz (2)Gauss公式: 封闭外侧, 内无奇点

PdydzQdzdxRdxdydivAdv

 (3)注: *补充“盖”平面:; *封闭曲面变形

(含奇点)

0 4. 通量与积分: AdS (有向n,AP,Q,R,dSndS(dydz,dzdx,dxdy))



六: 第二类曲线积分(2):

P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz

16

1. 参数式曲线: 直接计算(代入)

注(1)当rotA0时, 可任选路径; (2)功(环流量):IFdr

·一些初等函数： ·两个重要极限：

exex2xeex双曲余弦:chx2shxexex双曲正切:thxchxexex双曲正弦:shxarshxln(xarchxln(xarthx11xln21xx21）x21) 2. Stokes公式: (要求: 为交面式(有向), 所张曲面含侧) (1)旋度计算: RA(lim,,)(P,Q,R) xyzsinx1x0x1lim(1)xe2.718281828459045...xxF0 (2)交面式(一般含平面)封闭曲线: 同侧法向n{Fx,Fy,Fz}或

G0{Gx,Gy,Gz};

(3)Stokes公式(选择): (a)化为

·和差化积公式：

Adr(A)ndS



·三角函数的有理式积分：

fdS PdydzQdzdxRdxdy; (b)化为R(x,y,z)dxdy; (c)化为2u1u2x2dusinx，　cosx，　utg，　dx

21u21u21u2

·半角公式： sin

2 sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]

tg1cos1cos　　　　　　　　　　　　cos2221cos1cossin1cos1cossin　　ctg1cossin1cos21cossin1cos2 sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]

17

·两个常用积分公式



/20sinnxdxsinn/20n1n342.......n是奇数。nn253 n1n33xdx......n是偶数。nn244

·导数公式

(tgx)sec2x(arcsinx)1(ctgx)csc2x1x2(secx)secxtgx(arccosx)1(cscx)cscxctgx1x2(ax)axlna(arctgx)11x2(logax)1xlna(arcctgx)11x2 ·基本积分表

tgxdxlncosxCdxctgxdxlnsinxCcos2xsec2xdxtgxCsecxdxlnsecxtgxCdx2sin2xcscxdxctgxCcscxdxlncscxctgxCsecxtgxdxsecxCdxcscxctgxdxcscxCa2x21aarctgxaCdxaxdxaxlnaCx2a21xa2alnxaCshxdxchxCdxa2x212alnaxaxCchxdxshxCdxa2x2arcsinxaCdx2x2a2ln(xxa2)C22Inn1nsinxdxcosnxdx00nIn2x2a2dxx22a2a2xln(xx2a22)Cx2a2dxxa22x2a22lnxx2a2C

a2x2dxx2a2x2a2x2arcsinaC18