一．填空题（共12小题）1．（2014•上海）若实数x，y满足xy＝1，则x2+2y2的最小值为【考点】基本不等式及其应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由已知可得y＝【解答】解：∵xy＝1，∴x2+2y2≥2xy＝2，时取等号，，代入要求的式子，由基本不等式可得．2．当且仅当x2＝2y2，即x＝±故答案为：2．【点评】本题考查基本不等式，属基础题．2．（2021春•杨浦区校级期中）n2个人排成一个n行，n列的方阵，现要从中选出n个代表，要使得每一行，每一列都有代表，则有【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】整体思想；转化法；排列组合；数学运算．【分析】根据条件利用分步计数原理进行计算即可．【解答】解：如果选出的n个人中有两人来自同一行，则一定存在一行没有代表，所以应当从每一行选出一个代表，同理也应当从每一列选出一个代表，则第一行代表有n种方法，第二行代表有n﹣1种方法，依此类推，则共有n•（n﹣1）•（n﹣2）•••×2×1＝n!，故答案为：n!【点评】本题主要考查简单计数问题，利用分步计数原理是解决本题的关键，是基础题．3．（2021春•浦东新区校级期中）已知＝6．第5页共24页n!种不同的选法．＝（3，0，2），＝（x，0，4），若∥，则x【考点】共线向量与共面向量；向量的数量积判断向量的共线与垂直．【专题】方程思想；定义法；空间向量及应用；数学运算．【分析】利用向量平行的性质直接求解．【解答】解：∵＝（3，0，2），＝（x，0，4），∥，∴，解得x＝6．故答案为：6．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．4．（2018春•奉贤区期末）抛物线x2＝y上一点M到焦点的距离为1，则点M的横坐标为．【考点】抛物线的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，设M的坐标为（m，n），（n＞0），将抛物线的方程变形为标准方程，求出其准线方程，由抛物线的定义可得M到准线的距离也为1，则有n﹣（﹣）＝1，±解可得n的值，将M的坐标代入抛物线的方程，计算可得m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，设M的坐标为（m，n），（n＞0）抛物线y＝x2，其标准方程为x2＝y，其准线方程为y＝﹣，若M到焦点的距离为1，M到准线的距离也为1，则有n﹣（﹣）＝1，解可得n＝，又由M在抛物线上，则m2＝，第6页共24页解可得m＝±；故答案为：±．【点评】本题考查抛物线的性质以及标准方程，关键是掌握抛物线的定义．5．（2021春•浦东新区期中）方程取值范围是（4，+∞）．表示的曲线是椭圆，则实数m的【考点】椭圆的性质；椭圆的标准方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【分析】由椭圆的标准方程的形式列出不等式，解可得m的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，方程表示的曲线是椭圆，则，解可得：4＜m，故m的取值范围为（4，+∞）；故答案为：（4，+∞）．【点评】本题考查椭圆的标准方程，注意椭圆标准方程的基本形式，属于基础题．6．（2010•上海）已知四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为6的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝8，则该四棱锥的体积是96．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题．【分析】四棱锥的高已知，先求底面面积，再利用棱锥的体积公式求体积．【解答】解：底面是边长为6的正方形，故其底面积为36，又侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝8，故棱锥的高为8由棱锥体积公式得故答案为96．第7页共24页．【点评】本题考点是锥体的体积公式，考查空间想象能力与应用公式求解的能力．7．（2021春•奉贤区期中）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为．【考点】棱锥的结构特征．【专题】计算题；数形结合；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；直观想象；数学运算．【分析】先根据正四棱锥的几何性质列出等量关系，进而求解结论．【解答】解：设正四棱锥的高为h，底面边长为a，侧面三角形底边上的高为h′，则依题意有：，因此有h′2﹣（）2＝ah′⇒4（）2﹣2（）﹣1＝0⇒＝（舍去）；故答案为：．【点评】本题主要考查棱锥的几何性质，属于中档题．8．（2021春•奉贤区期中）若双曲线经过点P（4，3），它的一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为．【考点】双曲线的标准方程；双曲线的性质．第8页共24页【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【分析】根据题意，双曲线的一条渐近线方程为，可设双曲线方程为﹣y2＝λ（λ≠0），又由双曲线过点P（4，3），将点P的坐标代入可得λ的值，进而可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为，设双曲线方程为﹣y2＝λ（λ≠0），∵双曲线过点P（4，3），∴﹣32＝λ，即λ＝﹣5．∴所求双曲线方程为．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的标准方程的求法，需要学生熟练掌握已知渐近线方程时，如何设出双曲线的标准方程．9．（2021春•闵行区校级期中）已知a∈（1，），若不等式组表示的平面区域的面积为f（a），则f（a）＝【考点】简单线性规划．．【专题】转化思想；数形结合法；不等式的解法及应用；数学运算．【分析】由题意画出可行域，由两个三角形面积作差得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，第9页共24页由图可知B（1，0），联立，解得A（），联立，解得D（），联立，解得C（2﹣a，2a﹣2）．，|AD|＝，＝，＝．∴f（a）＝＝．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题．10．（2019春•闵行区校级期末）侧棱长为2的正三棱锥V﹣ABC中，∠AVB＝∠BVC＝6．∠CVA＝40°，过点A作截面AEF，则截面△AEF周长的最小值为第10页共24页【考点】棱锥的结构特征．【专题】空间位置关系与距离．【分析】沿着侧棱VA把正三棱锥V﹣ABC展开在一个平面内，如图，则AA′即为截面△AEF周长的最小值，且∠AVA′＝3×40＝120°．△VAA′中，由余弦定理可得AA'的值．【解答】解：如图所示：沿着侧棱VA把正三棱锥V﹣ABC展开在一个平面内，如图（2），则AA′即为截面△AEF周长的最小值，且∠AVA′＝3×40＝120°．△VAA′中，由余弦定理可得AA'＝＝＝6，故答案为6．【点评】本题主要考查余弦定理的应用，棱锥的结构特征，利用棱锥的侧面展开图研究几条线段和的最小值问题，是一种重要的解题方法，属于基础题．11．（2021秋•闵行区校级期末）若直线y＝2x+b与曲线b的取值范围是【考点】直线与圆的位置关系．第11页共24页没有公共点，则实数．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑推理；数学运算．【分析】作出图形，求出半圆的切线，从而得出b的范围．【解答】解：曲线设直线y＝2x+b与半圆相切，则，解得b＝3（舍）或b＝﹣3．直线经过A（﹣3，0），表示圆的下半个圆，可得b＝6，∵直线y＝2x+b与曲线∴b＜﹣3故答案为：或b＞6．．没有公共点，【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．12．（2021秋•闵行区校级期末）关于曲线C：③．＝1，则以下结论正确的序号是①①曲线C关于原点对称；②曲线C中x∈[﹣2，2]，y∈[﹣2，2]；③曲线C不是封闭图形，且它与圆x2+y2＝8无公共点；④曲线C与曲线D：|x|+|y|＝4有4个交点，这4点构成正方形．【考点】曲线与方程；命题的真假判断与应用．【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【分析】以﹣x替换x，以﹣y替换y，方程不变判断①；求出x，y的范围判断②；联第12页共24页立方程组判断③；由两曲线的对称性判断④．【解答】解：在曲线C：线C关于原点对称，故①正确；由＝1，得＞0，得x2＞4，即x＜﹣2或x＞2，同理求得y＜﹣＝1中，以﹣x替换x，以﹣y替换y，方程不变，则曲2或y＞2，故②错误；由求得的x、y的范围可得曲线C不是封闭图形，联立，得x4﹣8x2+32＝0，方程的判别式Δ＝64﹣4×32＜0，方程无解，故曲线C与圆x2+y2＝8无公共点，故③正确；当x＞0，y＞0时，方程|x|+|y|＝4化为x+y＝4，不是方程组的解，由对称性可知，方程组要么无解，要么多于1解，则曲线C与曲线D不可能有4个交点，故④错误．∴正确的结论是①③．故答案为：①③．【点评】本题考查曲线与方程的概念，考查逻辑思维能力与推理论证能力，考查运算求解能力，是中档题．二．选择题（共4小题）13．（2011秋•临河区校级期末）参数方程是A．线段B．双曲线C．圆弧表示的曲线是（D．射线）【考点】直线的参数方程．第13页共24页【专题】计算题．【分析】判断此曲线的类型可以将参数方程化为普通方程，再依据变通方程的形式判断此曲线的类型，由此参数方程的形式，可采用代入法消元的方式将其转化为普通方程．【解答】解：由题意，由（2）得t2＝y+1代入（1）得x＝3（y+1）+2，即x﹣3y﹣5＝0，其对应的图形是一条直线又由曲线的参数0≤t≤5，知2≤x≤77，所以此曲线是一条线段．故选：A．【点评】本题考查直线的参数方程，解题的关键是掌握参数方程转化为普通方程的方法代入法消元，本题易因为忘记判断出x，y的取值范围而误判此曲线为直线，好在选项中没有这样的干扰项，使得本题的出错率大大降低．14．（2019•虹口区二模）已知α、β是两个不同平面，m为α内的一条直线，则“m∥β”是“α∥β”的（）B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件A．充分不必要条件C．充要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件；平面的基本性质及推论．【专题】计算题．【分析】m∥β不一定得到直线与平面平行，还有一种情况可能是直线和平面相交，需要有另一条和它相交的直线也平行于平面，当两个平面平行时，一个平面上的直线一定平行于另一个平面，一定存在m∥β【解答】解：α、β表示两个不同的平面，直线m⊂α，m∥β，不一定得到直线与平面平行，还有一种情况可能是直线和平面相交，需要有另一条和它相交的直线也平行于平面，当两个平面平行时，一个平面上的直线一定平行于另一个平面，一定存在m∥β∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件故选：B．【点评】本题考查条件的判断和平面的基本性质及推论，本题解题的关键是注意平面与平面平行的判定与性质，本题是一个基础题．第14页共24页15．（2001•北京）如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．②③④【考点】棱柱的结构特征．【专题】作图题；压轴题．【分析】正方体的平面展开图复原为正方体，不难解答本题．【解答】解：由题意画出正方体的图形如图：显然①②不正确；③CN与BM成60°角，即∠ANC＝60°正确；④DM⊥平面BCN，所以④正确；故选：C．【点评】本题考查正方体的结构特征，异面直线，直线与直线所成的角，直线与直线的垂直，是基础题．16．（2016•上海二模）点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是（A．圆B．椭圆第15页共24页）C．双曲线的一支【考点】轨迹方程．【专题】压轴题；运动思想．D．直线【分析】根据题意“点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离”，将平面内到定圆C的距离转化为到圆上动点的距离，再分点A现圆C的位置关系，结合圆锥曲线的定义即可解决．【解答】解：排除法：设动点为Q，1．当点A在圆内不与圆心C重合，连接CQ并延长，交于圆上一点B，由题意知QB＝QA，又QB+QC＝R，所以QA+QC＝R，即Q的轨迹为一椭圆；如图．2．如果是点A在圆C外，由QC﹣R＝QA，得QC﹣QA＝R，为一定值，即Q的轨迹为双曲线的一支；3．当点A与圆心C重合，要使QB＝QA，则Q必然在与圆C的同心圆，即Q的轨迹为一圆；则本题选D．故选：D．【点评】本题主要考查了轨迹方程，以及分类讨论的数学思想，属于中档题．三．解答题（共5小题）17．（2021春•杨浦区校级期中）家有重物，爸、妈、孩子三人合力拉抬，用力依次为，，，三个力的方向两两成60°角，大小依次为3，2，1，在这三个力的共同拉抬下，重物恰好被沿竖直方向抬离地面．（1）求物重；（2）求孩子用力方向与竖直方向所成的角．第16页共24页【考点】向量在物理中的应用．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用；数学运算．【分析】（1）根据题意，的合力即为物重，然后根据进行数量积的运算即可求出物重；（2）可设所求角为θ，从而得出算即可求出cosθ，从而可得出θ的值．【解答】解：（1）∵，∴∴物重为5；（2）设所求角为θ，则＝，进行数量积的运，，＝，则孩子用力方向与竖直方向所成的角为．【点评】本题考查了向量和的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的余弦公式，向量长度的求法，用向量解决实际问题的方法，考查了计算能力，属于基础题．第17页共24页18．（2016•上海）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为π，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．（1）求三棱锥C﹣O1A1B1的体积；（2）求异面直线B1C与AA1所成的角的大小．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）连结O1B1，推导出△O1A1B1为正三角形，从而能求出三棱锥C﹣O1A1B1的体积．（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1∥AA1，∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），由此能求出直线B1C与AA1所成角大小．【解答】解：（1）连结O1B1，则∠O1A1B1＝∠A1O1B1＝∴△O1A1B1为正三角形，∴＝，，＝，由此＝＝．（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1∥AA1，∴∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），BB1＝AA1＝1，连结BC、BO、OC，第18页共24页∠AOB＝∠A1O1B1＝∴△BOC为正三角形，，，∴∠BOC＝，∴BC＝BO＝1，∴tan∠BB1C＝1，∴直线B1C与AA1所成角大小为45°．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．（2021春•长春期中）如图，从左到右有5个空格．（1）若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法？（2）若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有多少不同的涂法？（3）若向这5个格子放入7个不同的小球，要求每个格子里都有球，问有多少种不同的放法？【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题；分类讨论；排列组合．【分析】（1）根据题意，分2步进行分析：①、分析0，易得0有4种选法；②、将其余的4个数字全排列，安排在其他四个格子中，由分步计数原理计算可得答案，（2）根据题意，依次分析5个格子的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案；（3）根据题意，分2步进行分析：①、将7个小球分成5组，有2种分法：即分成2﹣2﹣1﹣1﹣1的5组或分成3﹣1﹣1﹣1﹣1的5组，②、将分好的5组全排列，对应5个空格，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，分2步进行分析：第19页共24页①、第三个格子不能填0，则0有4种选法；②、将其余的4个数字全排列，安排在其他四个格子中，有A44种情况，则一共有种不同的填法；（2）根据题意，第一个格子有3种颜色可选，即有3种情况，第二个格子与第一个格子的颜色不能相同，有2种颜色可选，即有2种情况，同理可得：第三、四、五个格子都有2种情况，则五个格子共有3×2×2×2×2＝48种不同的涂法；（3）根据题意，分2步进行分析：①、将7个小球分成5组，有2种分法：若分成2﹣2﹣1﹣1﹣1的5组，有种分法，若分成3﹣1﹣1﹣1﹣1的5组，有C73种分组方法，则有（+C73）种分组方法，②、将分好的5组全排列，对应5个空格，有A55种情况，则一共有种放法．【点评】本题考查排列、组合的实际应用，（3）要先分好5组，再对应放到5个格子中．20．（2021春•奉贤区期中）设抛物线y2＝2px的焦点F的坐标为（1，0），过焦点F作一条倾斜角为θ的直线与抛物线相交A、B于两点，线段AB的中点为M．倾斜角θ是变化的．（1）设△MOF的面积为S△MOF，△AOB的面积为S△AOB，设S△MOF＝λS△AOB，求λ的取值范围；（2）求中点M的轨迹方程．【考点】抛物线的性质；直线与抛物线的综合．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【分析】（1）求出抛物线方程，设出直线方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，弦长公式，通过三角形的面积的比值，推出结果即可．（2）设出直线方程，联立直线与抛物线方程，转化求解M的坐标即可．第20页共24页【解答】解：（1）根据题意抛物线方程为y2＝4x，（1分）设A（x1，y1），B（x2，y2），根据题意，显然时，设直线方程y＝tanθ（x﹣1），，∴y2﹣4cotθ⋅y﹣4＝0，∴，（1分）∴，∴∴，（1分），（3分）∴或时，∴，∴．（2分）（2）时，中点M（1，0），（1分）时，设直线方程y＝tanθ（x﹣1），（1分），∴y2﹣4cotθ⋅y﹣4＝0，（1分）∴，（1分）∴，第21页共24页∴，所以中点M的轨迹方程．（2分）．【点评】本题考查直线与抛物线方程的位置关系的应用，轨迹方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．21．（2021春•闵行区校级期中）已知直线（t为参数，α≠kπ，k∈Z）经过椭圆（1）求m的值；（φ为参数）的左焦点F．（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的最小值．（3）设△PQR的三个顶点在椭圆C上，求证，当O是△PQR的重心时，△PQR的面积是定值．【考点】参数方程化成普通方程；椭圆的参数方程．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；坐标系和参数方程；逻辑推理；数学运算．【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．（3）利用三角形的面积公式和一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．【解答】解：（1）因为椭圆所以F（﹣2，0）．因为直线的普通方程为x＝m+cotα⋅y，的普通方程为，其中α≠kπ，k∈Z．又直线过点F，所以m＝﹣2．第22页共24页（2）将直线l的参数方程整理得（5cos2α+9sin2α）t2﹣20tcosα﹣25＝0．则代入椭圆C的普通方程中，设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t1，t2，，当sinα＝±1时，|FA|⋅|FB|取得最小值为（3）法．一：设，θ1，θ2，θ3∈[0，2π），因为O为△PQR的重心，所以，得所以＝．法二：设P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x3，y3），则有所，代入椭圆得10x1x2+18y1y2＝﹣45，以，所以第23页共24页【点评】本题考查的知识要点：参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角形的面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．第24页共24页
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