2023届高考全国卷数学小题模拟卷

一．选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．“a＝－1”是“直线ax＋3y＋3＝0和直线x＋(a－2)y＋1＝0平行”的( )

A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

解析：依题意，直线ax＋3y＋3＝0和直线x＋(a－2)y＋1＝0平行的充要条件是

1＝0，a（a－2）－3× 3×1－3（a－2）≠0，

解得a＝－1. 答案：C

2．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝( )

A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B

【解析】由余弦定理得

|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2

cos∠F1PF2＝

2|PF1|·|PF2|

（|PF1|－|PF2|）2＋2|PF1|·|PF2|－|F1F2|2

⇒cos 60°＝

2|PF1|·|PF2|⇒|PF1|·|PF2|＝4.

x2y2

3．已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1，F2为直径的圆与

ab双曲线渐近线的一个交点为(3，4)，则此双曲线的方程为( )

x2y2x2y2

A.－＝1 B.－＝1 16934x2y2x2y2

C.－＝1 D.－＝1 91643【

答

案

】

C

【

解

析

】

y2

4．设F1，F2是双曲线x－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，

24

2

则△PF1F2的面积等于( )

A．42 B．83 C．24 D．48

|PF1|－|PF2|＝2，|PF1|＝8，解析：由可解得 3|PF1|＝4|PF2|，|PF2|＝6.

又由|F1F2|＝10可得△PF1F2是直角三角形， 1

则S△PF1F2＝|PF1|×|PF2|＝24.

2答案：C

x2y2

5．(2016·天津卷)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与

ab直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为( )

x22

A.－y＝1 43x23y2

C.－＝1 205

b1

＝，a2

2

2

B．x2－

y2

＝1 4

3x23y2

D.－＝1 520



解析：由题意可得a＋b＝5，解得a＝2，b＝1，

a>0，b>0，

x22

∴双曲线的方程为－y＝1.

4答案：A

6．(2016·惠州模拟)过点P(4，2)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则△OAB外接圆的方程是( )

A．(x－2)2＋(y－1)2＝5 B．(x－4)2＋(y－2)2＝20 C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5 D．(x＋4)2＋(y＋2)2＝20

解析：由题意知，O，A，B，P四点共圆， ∴所求圆的圆心为线段OP的中点(2，1)， 1

又圆的半径r＝|OP|＝5，

2

所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5. 答案：A

x2y2

7．已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离为4，且双

ab曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )

A．23 B．25 C．43 D．45 【答案】B

8．已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0

ab4

交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心

5率的取值范围是( )

A.0，C.

x2y2

3 230， B.43D.4，1

3，1

2

解析：根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆左、右焦点的距离为4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，

∴a＝2.又∵d＝c∴e＝＝

a

4≥，∴1≤b<2，

32＋（－4）25

b21－. 4|3×0－4×b|

b21－2＝a

3. 2

∵1≤b<2，∴0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将答案填在答题纸的对应位置上）

x＋y≤4，

9．(2021·衡水中学二调)已知点P的坐标(x，y)满足y≥x，过点P的直线l与圆C：x2＋

x≥1

y2＝14相交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．

解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．要使弦AB最短，只需弦心距最大，根据图形知点P(1，3)到圆心的距离最大，则|OP|＝10，圆的半径为14，

∴|AB|min＝214－10＝4. 答案：4

x2y2

10．已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，由F向其渐近线引垂线，垂足为P，

ab若线段PF的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为________．

【答案】 【解析】

2

x2y2xy

方法二：双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为±＝0，焦点F到渐近线的距离d＝

abab

ca211＋±abb2

离之积为，

2

b

＝b.设线段PF的中点M(x0，y0)，则其到两条渐近线的距离分别为b，，距

22又距离之积为

·221＋－1abx0－y0abx0＋y0ab2

1＋1aba2b2＝， 2c2

a2b2b2则2＝， c2a21

∴2＝，e＝2. c2

11．已知F1，F2分别是双曲线3x2－y2＝3a2(a＞0)的左、右焦点，P是抛物线y2＝8ax与双曲线的一个交点，若|PF1|＋|PF2|＝12，则抛物线的准线方程为________．

【答案】 x＝－2

【解析】

12．设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k＞0)与线段→→

AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．若ED＝6DF，则k的值为________．

23

【答案】 或

38

x22

【解析】 依题意得椭圆的方程为＋y＝1，直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y

4＝kx(k＞0)．如图，

设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1＜x2，则x1，x2满足方程(1＋4k2)x2＝4，21510→→

.由ED＝6DF知x.0－x1＝6(x2－x0)，得x0＝(6x2＋x1)＝x2＝771＋4k271＋4k2

2210

由D在直线AB上知，x0＋2kx0＝2，x0＝，所以＝，化简得24k2－25k

1＋2k1＋2k71＋4k2故x2＝－x1＝

23

＋6＝0，解得k＝或k＝. 38