大地水准面与似大地水准面之差及其模型检核

第２９卷第ｌ期　２００２年２月　Ｊ０ＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＣＨＥＮＧＤＵ　ＬＲ＇ｑＩＶＥＲＳＩＴＹ　０Ｆ　ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ　成都理工学院学报　．２９　Ｎｏ　ｌ　Ｆｅｂ．２００２　［文章编号］１００５—９５３９（２００２）０［０１０５　０５　大地水准面与似大地水准面之差及其模型检核　张赤军边少锋　（中国科学院测地所动力大地测量学开放研究实验室，武汝４３００７７）　［摘要］大地测量学曲发展，要求能岱精确推得大地水准面高（Ⅳ），为此，在阐述顾及扰动重力　垂直梯度的大地水准面－ｑ似大地水准面（ｆ）之差曲公式基础上，对它们在三种模型上进行了数　值甘算却槛校。结果表　，谤套式曲精度是相当高的．由此可以将正常高化算为正高（海拔高）　关建词］大地水准面ｉ位大地水准面；正高；正常高ｉ模型　分类号］Ｐ２２　［文献标识码：Ａ　中国的郭守敬早在１２７６年的水利测量中就　注意到以海平面作为高程基准面的问题＿１ｊ　到了　ｌ８世纪，在法国的大地测量工作中，这一基准面　或辅助面也得到了应用；并于１８１９年Ｌ．Ｐｕｉｓｓａｎｔ　大地水准面（Ⅳ）与似大地水准面（｝）之问又　存在着一定的内在联系，例如它们都是位理论第　三边值问题的解，而Ｓｔｏｋｅｓ解就是Ｍｏｌｏｄｅｎｓｋｙ　解的零次近ｆｃ上。为了进一步揭示它们之间的差异　与联系．近年来Ｌ　Ｅ　Ｓ５ｏｂｅｒｇ（１９９５）¨　和边少锋等　在自己写的大地测量教程中，将海潮最高水位和　最低水位的平均值称为绝对海平面，他还指出有　（１　９９９）口一先后采用不同方法，推导了顾及高程二　必要将大地网投影到向大陆延伸的静止的海平面　上　在德国，继Ｋ．Ｆ．Ｇａｕｓｓ和Ｂｅｓｓｅｌ的大地测量　工作之后，Ｌ．Ｌｉｃｈｔｅｒ￣ｓｔｅｌＰ，于１８７２年首次将上述　基准面称之为大地水准面口］。实际上在此之前的　１８４９年、英国的Ｇ　Ｇ．Ｓｔｏｋｅｓ发表了研究地球形　次项的（Ⅳ一｝）公式，这比文献Ｅａ］￣Ｅａｏ］提供的　近似公式要精确得多；在文献Ｅ６］和ＥＴ］中．前者的　二次项用的地面点的混合重力异常的垂直梯度．　后者用的是纯重力异常（扰动重力）的垂直梯度，　两者本质上是一致的．数值上也相差甚微　他们的　状的论文，该形状就是大地水准面的形状，但真正　使Ｓｔｏｋｅｓ理论得以实现的还在２０世纪。在１９４５　～贡献在于：在已知Ｈ　（正常高）和｝的情况下为精　确求取正高（Ｈｏ）和Ⅳ提供了理论依据。张赤军　等（１９９７，１　９９９）还利用上述公式推求了珠峰及野　猫山的大地水准面和正高一”Ｊ－Ｌ”ｊ。可以认为，随着　地形测量和地质地球物理勘探的广泛开展，以及　１　９６０年期间前苏联的Ｍ．Ｃ．Ｍｏｌｏｄｅｎｓｋｙ避开　了大地水准面外不应存在质量的缺点，提出了研　究似大地水准面与真实地球形状的理论嘲￣【　，并　在此后得到了应用和发展。到目前止，由于卫星测　高、海空重力测量、垒球定位系统（ＧＰｓ）等新手段　的成功应用，以及卫星重力梯度仪等空间手段即　将实现，使大地测量边值问题的研究在不断向前　发展，也使大地水准面和似大地水准面的研究继　续引向深入。由于大地水准面具有明显的物理意　新技术合成孔径雷达（ＩＳＡＲ）等的应用，顾及高程　二次项的（Ⅳ一｝）的公式会进一步得到重视和运　用。实际上，Ｒ－Ｈ、Ｒａｐｐ于】９９７年已强调深入研　究这一问题的重要性ｕ　为了进一步检核Ｓｊｏｂｅｒｇ和Ｂｉａｎ推导公式的　正确性．本文采用三个模型作了模拟计算，结果也　较理想　义（等位面）和甚为实用的价值（高程基准面），因　此研究和精化大地水准面仍很重要。　：收穑日期　２０００－１２－２６　［基金项目］国家自然科学基金（４９８７４０１６，４９６７４２０８）和国家攀登计划资助项目　［作者简介］张赤军（１０３３一），　，研究黄，地球重力学专业（Ｅ　ｍａｉｌ：Ｆａｎｇ＠ａｓｅｈ．ｗｈｉｇｇ．ａｃ．ｃｎ）　维普资讯 http://www.cqvip.com

・ｌＯ６・　成都理工学院学报　第２９卷　１　顾及扰动重力垂直梯度的（Ⅳ一　一　ｆ）公式及其解释　Ｈ（　３０８￣＋４　Ｇ　Ｐ一赘　㈤　又由文献［９］可知，　出文献［６］可知，正高（Ｈ　）及正常高（Ｈ　）有　７一　７ｄ７—７。　３８０６　㈤　如下关系：　—Ｈ０一Ｎ—ｆ—Ｈｏ（　一７）／　（１）　式中　为参考椭球上的正常重力值．如此有　正常重力是一解析函数，故其平均值　可由　ｇ一７一ｇｐ＋０．３８０６　一２　Ｈ一　公式很易计算出来　而重力平均值的计算比较复　杂．根据一些岩石密度的实际样品及地形资料有　旦豢一　＋。２　拼　．ａ８０６旦　（２　。）可能以相当高精度求得，这时大地水准面与似大　又据Ｂｏｕｇｕｅｒ异常的定义：　地水准面的偏差就能很好地求取。　—ｇｐ一２ⅡＧ　ＰＨ＋０．Ｒ０８６Ｈ一　由－Ｊ：　（１０ｊ　ｇ　一７　＋ｇｐ一７　—ｙ　十　（２）　则　一７一　一　警　（１１）　如此在地面以上空间（忽略大气影响或视之　将（】］）式代人（１）式，最后得：　为无质量）有　Ｎ一；一　Ｈ一　警　（】２ｊ　ａｈ　ａｈ—　ｌ０　ｈｌ　＋盘。　ａｈ　ｌ　ｃ３）　式中Ｈ已略去其上下角标，且　公里为单位。因　在地面以下时，由于地形质量的影响，经过界　为即使正高和正常高相差几米，于计算精度无妨。　面时有一与质量有关的突变　顺便指出，上一公式与Ｓｊｏｂｅｒｇ导出的公式　一　襄１　孔＋警１　＋　Ｇ　㈨　Ⅳ一ｆ一　Ｈ一　（１３）　式中．（；为牛顿引力常数；ｐ为地壳密度，一般可　稍有不同，两者互差甚微，其误差完垒可以不计ｉ　取为￣＝２６７０　ｋｇ／ｍ　；＋ｐ表示相应导数从空间向　但（１　２）式中右边第二项为同一点上重力异常（或　地面求取；一声表示相应导数从地形内部向地面　扰动重力）的垂直梯度，而（１　３）式为空闻异常　求取　（ａｇｓ）的垂直梯度。文献［７３的推导过程也较为简　设实际重力在地形内部可按Ｔａｙｌｏｒ级数展　便。　开，仅取其一阶项，则在距地面为。的地内ｑ点　式（１２）和（１　３）中右端的第二项为二阶近似　有：　项，它与异常的梯度直接相关，坷此局部效应更为　一　一　ｌ　（Ｈ一）　显著。如果说重力垂直梯度刻划了它与大地水准　面的平均曲率的联系，那幺异常垂直梯度则描述　一　＋ａｈ　＋４￣Ｇ，ｏ　（Ｈ　了大地水准面平均曲率与正常水准面平均曲率的　（５）　偏离。这样就把大地测量中的几何概念和力学概　如略去Ｊ／ａｈ随纬度及高度的变化（这些变　念具体地联系起来。　化在一定范围和有限高程（Ｈ）内均比较小），　０有　式中的第一项为高程一次项的系数（△　），它　岛一　一（一ｏ．３。８６＋鲁＋４　Ｇ　ｐ）（Ｈ一。）　反映了区域场的影响；而式中的第二项即高程二　次项的系数则反映局部场的作用，只有一并考虑　（６）　区域场和局部场的贡献，这时由似大地水准面转　式中（Ｈ—　）以公里为单位。　化成大地水准面才能在物理上和数学意义上比较　对ｇｑ在垂线方向求其积分平均值后，即得　垒面地反映出来。　ｇ，这时，　ｇ一南１　（　）ｄｚ　２Ⅳ一ｆ公式的模拟计算与检核　一－Ｌｆ？　一（　＋　呻＋　（日　］以　２．１模型Ｉ（半球体）　设地球表面为一平坦的表面，并取之参考面　维普资讯 http://www.cqvip.com

第１期　张赤军等：大地水准面与似大地水准面之差及其模型检棱　・１０７・　为ＡＯＡ　（见图１）；其上覆盖一半球体的高山（异　常体）．球之半径为Ｒ，顶点Ｐ距球心（坐标原点）　的高度为Ｈ，且令Ｈ＝Ｒ＝３　ｋｍ；球体的密度。与　岩石的平均密度相同，即为２６７０　ｋｇ／ｍ。；设参考　面上的重力ｙ为９．８Ｉｌｌｓ，球顶点Ｐ处的引力位　可根据文献［１４］推得，且　ｖ（Ｐ）一２　Ｇ　Ｐ：　一　Ｒ　（１４）　图２　Ｆｉｇ．２　Ｓｐｈｃｒｏ［ｄ　一　ａ　一常密度（　）为３０００　ｋｇ／ｍ。．半径为Ｒ一６　ｋｍ的球　状异常体，它出露、埋藏于地球表面的上、下方而　没有挤出地球的质量，且视地球表面为一参考面．　而该参考面将异常球体平分。又设地球的平均密　度（０２）为常密度且等于６０００　ｋｇ／ｍ　，半径Ｒ为　６０００　ｋｍ，由此算得参考面上的重力ｙ一　１０．０５８　１２３　ｍｓ一，在异常球顶点Ｐ处的扰动重力　或重力异常：　｛丌ＧＰ　Ｒｌ一　一５０２．９　Ｘ　１０　ｍｓ。”　（２０）　布格异常：　Ａｇｂ一△　一２ｒｔＧｏ￣Ｒ１一一号ⅡＧ　Ｒ】　一一２５１．４　Ｘ　１０一　ｍｓ一　（２１）　似大地水准面高：　｝一　一　ＰＩ皤一３．００ｍ（２２）　大地水准面高（该点在体内）：　Ｎ一鲁丌ＧＰ１（碍一ｈｒ￣）／７—４．５０ｍ（２３）　这时Ⅳ一　一４＋５０—３．００一１．５０ｍ　异常球顶点Ｐ处的扰动重力垂直梯度　盘Ｐ　一一１６７６ＥＯｈ　一　ａ　一一　３　…　垫ＯＨ　一（２４）…　　号√　＝１３１９Ｅ，（１Ｅ一１０－￣ｓ－２）　将Ａｇｂ和斯／劬代人公式（１２），得　Ⅳ一｝一一１．５０＋３．００＝１．５０　ｍ　这一结果与由公式（２２）和（２３）算得的结果完　全一致，也与文献［２］用水准重力算得的正常高与　正高之差的结果相同　２　３模型Ⅲ（均衡补偿的两个球体）　这里取的模型也与文献［２］相同（见图３）　设　异常体为半径（　）分别等于２，０　ｋｍ互为补偿的两　维普资讯 http://www.cqvip.com

・１０８・　成都理工学院学报　第２９卷　个均质球体．它们的密度分别为　和　．且　一　此值与由公式（２５）和（２６）算得之结果０．３１６　３０００　ｋｇ／ｍ。，　一一３０００　ｋｇ／ｍ　，正密度球体在　相比．互差为０．０５６　ｍ，这也是相当小的。　上，负密度球体在下ｉ它与参考面相切于　处；两　虽然以上三个模型不能完垒代表实际的地　球心（０，　）的距离ｈ。一３０００　ｍ，其联线与参考面　球．怛从一个侧面说明了顾及高程二次项的Ⅳ一ｆ　垂直。取正常重力７＝９．７９７　２０　Ｉｌｌｓ．显然，从形　的级数展开式是具有较高精度的。　式上看．它们的质量得到完全的均衡补偿，这时由　扰动位【异常位）引起的似大地水准面高：　３正常高（Ｈ　）与正高（　）　一　７　＼　Ｌ　Ｒ１一　十０ｈ　）』　一　Ｒ￣－－－ｈｏ　９９６　ｍ正常高与正高是高程系统中的两种高程，如　前所述，正常高是前苏联学者莫洛金斯基为了研　（２５）　究地表面的真实形状而设置的高程，因此它在研　究地球形状中很有意义，同时还可以从已知的位　基数Ｉｇｄｈ与正常重力ｙ平均值之比而精确地求　出（当然由于用到水准和重力测量的结果也存在　一定的误差）．前苏联、东欧和中国都采用这一高　程　但正常高是由似大地水准面起算的高程，因此　它仅有几何意义，没有具体的物理意义。　正高又称海拔高，它是从大地水准面（与垒球　乎均海面非常按近）到地面点的高程，它不仅具有　几何意义而且具有明显的物理意义．井在经济和　图３　国防上和科学上起重要作用。精确推求正高和确　Ｆｉｇ．３　Ｔｗｏ　ｓｐｈｅｒｏｉｄｓ　ｃｏｍｐｅｎ￣ｔｅｄ　定大地水准面与似大地水准面之间的偏差有直接　关系，因为上述之差就是正常高与正高之差。正是　式中Ａｇ。一Ｇｍ／Ｒ　一２５１４×１０　ｎ１ｓ～，　：为小球　由于正高具有明显的几何和物理意义以及直观实　之质量。　用的原因．欧洲和美洲等许多国家都采用正高系　同理，由文献（２）推得大地水准面高：　统。又由于正高是位基数与地表面到大地水准面　Ｊｖ—Ａ＿＿　ｇｏｉ　募＋　ｒｏ］一７，３１２ｍ　重力乎均值之比，后者牵涉地球表层内部密度的　分布，而过去人们知之不多，以致许多学者认为无　（２６）　这时Ⅳ一ｆ一０．３１６ｍ。　法精确求得．例如文献［８］指出“这种几何意义很　由于二小球引起上一小球顶点Ｐ处的重力　清楚的正高要领严格说是不能实现的”。然而事物　异常（扰动重力）　的发展并非像该文断言的那样，这是因为，一方面　＆ｇｐ一４现令对许多地区的岩石密度已有较详细的了解．　ｒ￣ｐｒｏ（１一　）　并已具备了较好的地形图和重力资料，这样就可　一４３６×１０　ｍｓ　（２７）　以相当精确地计算出Ⅳ一ｆ值，并可使正常高化　在　减去层间改正３７７×１０　ｎ１Ｓ＿”后便得△　，　为正高；另一方面，根据上述资料和相应的梯度公　且△　一５９×１０一　ｒｎｓ。　式，可以推算出地面与大地水准面之间的重力乎　而重力异常垂直梯度：　均值　，比Ｈｅｌｍｅｒｔ方法更为精确，从而可由位基　亟“密度的误差对　Ｏｈ一一号　（　一　ｊ　数精确地求取正高。文献［９］指出，正高的影响很小”，这是对的；根据我们的估计，如　一（一０．１６７６＋０．１２５９）×１０　５ｓ　密度的误差为士１００　ｋｇ／ｍ。，对于４０００　ｍ的高山　一一４１７Ｅ（２８）　而言，由此影响布格异常将为１７×１０　ｒｎｓ，垂　将上述结果代入公式（１２），可得　直梯度的影响将为１０Ｅ，它们对Ⅳ一ｆ的总影响　Ｎ—ｆ一０．３７２ｍ　将仅为０．０７　ｍ，由于　维普资讯 http://www.cqvip.com

第１期　月　—Ｈ　张赤军等：大地水准面与似大地水准面之差爰其模型橙棱　（Ⅳ一｝）　（２９）　・１０９・　［３：Ｍｏ［ｏｄｅｎｓｋｅｙ　Ｍ　Ｓ，Ｅｒｅｍｅｅｖ　Ｖ　Ｆ．Ｙｏｕｒｋｉｎｎａ　Ｍ　Ｊ　Ｍｅｔｈｏｄｓ　ｆｏｒ　Ｓｔｕｄｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｅｘｔｅｒｎａｌ　Ｇｒａｖｉｔａｔｉｏｎａｌ　Ｆｉｅ　Ｌｄ　对于中国西部４０００　ｍ左右的高山地区，当　Ｈ　的误差为厘米级时，Ｈｏ的精度稍逊于Ｈ．，但　它的误差也有可能达到厘米级或稍大一点。　ａｎｄ　Ｆｉｇｕｒｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｅａｒｔｈ＿＿Ｍ］Ｊｅｒｕｓｌａｅｍ：Ｉｓｒａｅｌ　Ｐｎ　ｇｒｅｎ　ｆｏｒ　Ｓｃｉｅｎｌｉｆｉｃ　Ｔｒａｎｓａｔｉｏｎｓ，ｉ９６２．　［４］管泽霖，宁津生．地球形状及外部重力场［Ｍ］．北京：　删绘出版社，１９８１．　４结语与讨论　本文的工作在于：进一步指出了大地水准面　：５］许厚泽，陆仲连．中国地球重力场与大地水准面［Ｍ］．　北京：解放军出版社．１９９７．　与似大地水准面在物理和数学意义上的内在联　系．并且从理论上解释了它们之间的差值完垒可　６］Ｓｊｏｂｅｒｇ　Ｉ　．Ｏｎ　ｔｈｅ　９ｕｍｓ［ｇｅｏｉｄ　ｔｏ　ｇｅｏｉｄ　ｓｅｐａｒａｔｉｏｎＥＪ］．　Ｍａｎｕｓｃｒｉｐｔａ　Ｇｅｏｄｅｔｉｃａ，１９９５，２０：ｉ８２—１　９２．　以由近似值向精确化方向转变。为实现这一目标．　一［７］边少锋，张赤军．论大地水准面与似大地水准的偏差　［Ａ］．庆祝陈永龄院士９ｏ寿辰文集［ｃ：北京：测绘出　版社，Ｉ９９９．　方面可以利用实测的重力及其梯度资料，另一　方面也可以从地形及地球表层的岩石密度资料中　求取，这在科技日益发展的今天是容易做到的　需　说明的是，这里的工作性质和Ｓｔｏｋｅｓ问题中的重　力归算不一样，后者是为了求取大地水准面上的　边值，因此这里不存在什么肯定Ｓｔｏｋｅｓ问题和否　定ＩＶｌｏｌｏｄｅｎｓｋｙ的问题。　［８３　Ｐｄｄｉｎ　Ｒ　Ｐ　Ａｄｖａｎｃｅｄ　Ｇｅｏｄｅ－ｓｙ［Ｍ］．Ｍｏｓｏｏｗ：Ｍｉｎ－　ｅｒａ］Ｐｒｅｓｓ．１９７８　：９］Ｈｅｉｓｋａｎｅｎ　Ｗ　Ａ，Ｍｏｒｉｔｚ　Ｈ．Ｐｈｙｓｉｃａｌ　Ｇｅｏｄｅ．，ｙ＿－Ｍ－　Ｓａｎ　Ｆｒａｎｄ￣ｏ：Ｆｒｅｅｍａｎ　ａｎｄ　Ｃｏｍｐａｎｙ，１９６７．　Ｅｌ０：，Ｔｏｒｇｅ　Ｗ　Ｃｏｅｏｄｅｓｙ［Ｍ］．Ｂｅｒ［ｉｎ：Ｗａｋｅｒ　ｄｅ　Ｇｒａｙｔｅｒ　＆Ｃｕ，１９８０．　文中列举的三个模型，仅对所推导的公式作　些初步计算和检核，但这些模型不一定符合地球　的客观实际，因此，对于更详细的计算和更多的模　型选取等问题仍需进一步研究。　奉项研究得到国家基金委（ＮＯ：４９８７４０１６，　Ｅｉ］］张赤军．珠穆郎玛峰大地水准面与高程的ｌ删定［Ｊ］．　科学通报．１Ｓ９７，４２（２３）：２５４３—２５４５．　［１２：张赤军．野猫山的大地水准面与正高Ｄ：地壳形变　与地震，２０００．２０（３）：ｌＯ２—１０３．　Ｅ１３］Ｒａｐｐ　Ｒ　Ｈ　ｕｓｅ　ｏｆ　ｐｏｔｅｎｔｉｌａ　ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ　ｍｏｄｅｌｓ　ｆｏｒ　ｇｅｏｌｄ　ｕｎｄｕｌａｔｉｏｎ　ｄｅｔｅｒｍｉｎａｔｉｏｎｓ　ｕｓｉｎｇ　ａ　ｓｐｈｅｒｉｅａｌ　ｈａｒｍｏｎｉｃ　ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｈｅｉｇｈｔ　ａｎｏｍａ　ｙ／ｇｅｏｉｄ　．Ｎｏ：４９６７４２０８）和国家攀登计划中的“中国地区重　力场与大地水准面研究”课题的资助，特在此致　谢　ｕｎｄｕ［ａｔｉｏｎ　ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ［Ｊ］．Ｊｏｕｒａ［ｏｆ　Ｇｅｏｄｅｓｙ．１９９７，　７ｌ（５）：２７４—２８２．　［１４］￣ｒａｎｇ　ｚ　Ｔ　Ｇｅｏｌｄ　ａｎｄ　Ｃｒｕｓｔｌａ　Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｉｎ　Ｆｅｎ　参１９８ｌ＿　考文献　ｎｏｏ￣ａｎｄｉａ口］．Ｋｉｒｋｋｏｎｕｎｍ￣ｉ，Ｐｕｂ［ｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｆｉｎｎｉｓｈ　Ｇｅｏｄｅｔｉｃ　Ｉｒ￣ｓｔｉｔｕｔｅ．１９９８．１２６．　［１　删绘辞典编委会．测绘词典［Ｍ］．上海：辞书出版社　ＥｌＳ］壬谦身，张赤军，蒋福珍，等．微重力测量——理论、　方法与应用［Ｍ］・北京：科学出版社，１９９５　［２　２　Ｙｅｒｅｍｅｅｅｖ　Ｂ，Ｙｏｕｒｋｉｎａ　Ｍ　Ｎ．Ｈｅｉｇｈｔ　Ｔ｝　ｅｏｒｙ　Ｄｆ　Ｅａｒｔｈ　Ｇｒａｖｉｔｙ［Ｍ］．Ｍｃｅｍｏｗ：Ｍｉｎｅｒｌａ　Ｐｒｅｓｓ，１９７２．　ＤＩＦＦＥＲＥＮＣＥ　ＢＥｒＷＥＥＮ　ＧＥＯｌＤ　ＡＮＤ　ＱＵＡＳＩ－ＧＥ０ＩＤ　ＡＮＤ　ｒＩ　Ⅳ【ｏＤＥＬ　ＶＥＲＩＦＩＣＡＴＩＯＮ　ＺＨＡＮＧ　Ｃｈｉ—　ｕｎ．ＢＩＡＮ　Ｓｈａｏ－ｆｅｎｇ　（Ｉ￣，ｏｒｏｔｏｒｙ　ｏｆ　Ｇｅｏｄｙｎａｒｍ＇ｃａｌ　Ｃ－ｅｏｄｅｘｙ，Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏ／Ｇｅｏｄｅｓｙ　ａｔｅ４　Ｇｅｏｐｈｙｓｉｃｓ，Ｃｈｉ￣ｅｓｅ　Ａｃａｄｅｍｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｗｕｋａｎ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ　ｏｆ　ｇｅｏｄｅｓｙ　ｃａｌｌｓ　ｆｏｒ　ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｎｇ　ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ　ｈｅｉｇｈｔ　ｏｆ　ｇｅｏｉｄ（Ⅳ）．Ｉｆ　ｔｈｅ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｇｅｏｉｄ　ａｎｄ　ｑｕａｓｌ－ｇｅｏｉｄ（｝）ｃａｌｌ　ｂｅ　ｅｘｐｒｅｓｓｄ　ｂｙ　ａ　ｐｒｅｃＮｃｅ　ｆｏｒｍｕｌａ　ａｎｄ　ｉｓ　ｋｎｏｗｎ，Ⅳｃａｎ　ｂｅ　ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ．Ｔｈｒｅｅ　ｍｏｄｅｌｓ　ａｌｅ　ｕｓｅｄ　ａｎｄ　ｔｈｅ（Ⅳｏｒｔｈｏｍｅｔｒｉｃ　ｈｅｉｇｈｔ．　Ｋｅｙ　ｗｎｒｃｌｓ：ｇｅｏｉｄ　ｑｕａｓｉ—ｇｅｏｉｄ；ｏｒｔｈｏｍｅｔｒｉｃ　ｈｅｉｇｈｔ；ｎｏｒｍａｌ　ｈｅｉｇｈｔ　。｝）ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ．Ｔｈｅ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｒｅ．ｓｕｉｔｓ　ｉｎｄｉｃａｔｅ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ａｃｃｕｒａｃｙ　ｏｆ　ｆｏｒｍｕｌａ　ｉｓ　ｖｅｒｙ　ｈｉｇｈ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ｎｏｒｍａｌ　ｈｅｉｇｈｔ　ｃａｎ　ｂｅ　ｒｅｄｕｃｅｄ　ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ　ｔｏ