2024年中考押题预测卷01【浙江卷】
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．√9的相反数是（ ） A．3
【答案】B
B．−3 C． 3
1D．−
13
【分析】先求√9的值，再根据相反数的概念即可得出答案． 【详解】解：∵√9=3，3的相反数是−3， ∴ √9的相反数是−3，
【点睛】本题考查了相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．算术平方根的计算，解题的关键是掌握以上知识点．
故选：B．
2．下列计算正确的是（ ） A．√32=3
B．�(−3)2=−3
C．√32=±3
D．�(−3)2=±3
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简．直接利用二次根式的性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、√32=3，故本选项符合题意；
C、√32=3≠±3，故本选项不符合题意；
B、�(−3)2=3≠−3，故本选项不符合题意；
故选：A．
D、�(−3)2=3≠±3，故本选项不符合题意；
3．2024年中央电视广播总台“春节联欢晚会”，全媒体累计触达14200000000人次，较去年增长29％．数据14200000000用科学记数法表示应是（ ） A．0.142×1011 B．14.2×109
C．1.42×109
D．1.42×1010
【答案】D
【分析】此题考查了同底数幂相乘，科学记数法的表示方法．先根据他同底数幂相乘得出结果，再运用科学计数法进行解答，科学记数法的表示形式为𝑎𝑎×10𝑛𝑛的形式，其中1≤|𝑎𝑎|<10，𝑛𝑛为整数．确定𝑛𝑛的值时，𝑛𝑛是正整数；当原数的绝对值<1时，𝑛𝑛是负整数． 【详解】解：依题意，14200000000=1.42×1010
√𝑥𝑥+1有意义，则字母x的取值范围是（ ） 𝑥𝑥+2
时，要看把原数变成𝑎𝑎时，小数点移动了多少位，𝑛𝑛的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10
故选：D
4．若
A．x≥1
【答案】D
B．x≠2 C．x≥1且x≠2 D．x≥﹣1
【分析】直接利用二次根式和分式有意义的条件进而分析得出答案． 【详解】解：∵
√𝑥𝑥+1有意义， 𝑥𝑥+2
∴x+1≥0且x+2≠0， 解得：x≥﹣1． 故选：D．
【点睛】本题考查二次根式和分式有意义的条件，掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．
5．榫卯（sǔnmǎo），是一种中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，其特点是在物件上不使用钉子，利用榫卯加固物件，体现出中国古老的文化和智慧．如图是其中一种榫，其主视图是（ ）
A．
【答案】B
B． C． D．
【分析】根据主视图是从物体的正面看得到的图形，可得答案． 【详解】解：该几何体的主视图是：
故选：B．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提．
6．某校开展以“迎2024巴黎奥运会”为主题的体育活动，计划拿出1800元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的班级，已知甲种奖品每件150元，乙种奖品每件100元，则购买方案有（ ） A．5种
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 设购买𝑥𝑥件甲种奖品，𝑦𝑦件乙种奖品，根据总价=单价×数量，即可得出关于𝑥𝑥，𝑦𝑦的二元一次方程，结合𝑥𝑥，𝑦𝑦均为正整数，即可得出𝑥𝑥，𝑦𝑦的值，进而可得出共有5种购买方案． 【详解】解：设购买𝑥𝑥件甲种奖品，𝑦𝑦件乙种奖品， 依题意得：150𝑥𝑥+100𝑦𝑦=1800， ∴𝑥𝑥=12−𝑦𝑦．
32B．6种 C．7种 D．8种
又∵𝑥𝑥，𝑦𝑦均为正整数，
𝑥𝑥=2 𝑥𝑥=4 𝑥𝑥=10 𝑥𝑥=8 𝑥𝑥=6
， 或�或�或�或�∴ �
𝑦𝑦=15𝑦𝑦=12𝑦𝑦=9𝑦𝑦=6𝑦𝑦=3
7．丽江古城是一个闻名遐迩的历史文化名城，春节期间相关部门对游客到丽江观光的出行方式进行随机抽样调查，根据调查情况绘制了如下两幅尚不完整的统计图，根据图中信息，下列结论错误的是（ ）
∴共有5种购买方案．故选：A．
A．扇形统计图中的𝑎𝑎为40%
B．本次抽样调查的样本容量是1000
C．在扇形统计图中，“其他”对应的扇形圆心角度数为36° D．选择“公共交通”出行方式的人数为500
【答案】D
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小；根据各部分百分比之和等于1可得a的值；根据“其他”人数及其对应的百分比可得样本容量；用360°乘10%可得“其他”对应的圆心角度数；用总人数乘以对应的百分比可得选择“公共交通”出行的人数．
【详解】解：A、扇形统计图中的𝑎𝑎为1−50%−10%=40%，故本选项不符合题意； B、本次抽样调查的样本容量是100÷10%=1000，故本选项不符合题意； C、“其他”对应的扇形圆心角度数为360°×10%=36°，故本选项不符合题意； D、选择“公共交通”出行方式的人数为1000×40%=400人，故本选项符合题意； 故选：D．
8．如图，E是▱𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴的边𝐴𝐴𝐴𝐴的中点，延长𝐴𝐴𝐴𝐴交𝐴𝐴𝐴𝐴的延长线于点F，若∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵=90°，𝐴𝐴𝐴𝐴=5，𝐴𝐴𝐵𝐵=3，则𝐴𝐴𝐴𝐴的长是（ ）
A．6
【答案】B
【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定方法、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
由平行四边形的性质得出𝐴𝐴𝐴𝐴∥𝐴𝐴𝐴𝐴,𝐴𝐴𝐴𝐴∥𝐴𝐴𝐴𝐴，证出∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴=∠𝐵𝐵,∠𝐴𝐴=∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵，由AAS证明△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴≌△𝐵𝐵𝐴𝐴𝐴𝐴，由全等三角形的性质得出𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐵𝐵=3，由平行线的性质证出∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴=∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵=90°，求出𝐴𝐴 𝐴𝐴，即可得出𝐴𝐴𝐴𝐴的长．
B．8 C．10 D．12
【详解】∵四边形𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴是平行四边形，
∴𝐴𝐴𝐴𝐴∥𝐴𝐴𝐴𝐴,𝐴𝐴𝐴𝐴∥𝐴𝐴𝐴𝐴， ∴∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴=∠𝐵𝐵,∠𝐴𝐴=∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵， ∵𝐴𝐴是▱𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴的边𝐴𝐴𝐴𝐴的中点，
∴𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴，
∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴=∠𝐵𝐵
在△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴和△𝐵𝐵𝐴𝐴𝐴𝐴中，�∠𝐴𝐴=∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵,
𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴∴△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴≌△𝐵𝐵𝐴𝐴𝐴𝐴(AAS)； ∴𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐵𝐵=3， ∵𝐴𝐴𝐴𝐴∥𝐴𝐴𝐴𝐴，
∴∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴=∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵=90°， 在△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴中，𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴=5，
∴𝐴𝐴𝐴𝐴=√𝐴𝐴𝐴𝐴2−𝐴𝐴𝐴𝐴2=√52−32=4，
9．如图，⊙𝑂𝑂半径长2cm，点A、B、C是⊙𝑂𝑂三等分点，D为圆上一点，连接𝐴𝐴𝐴𝐴，且𝐴𝐴𝐴𝐴=2√2cm，𝐴𝐴𝐴𝐴交𝐴𝐴𝐴𝐴于点E，则∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴（ ）
∴𝐴𝐴𝐴𝐴=2𝐴𝐴𝐴𝐴=8.故选：B．
A．75°
【答案】A
【分析】本题主要考查了弧与圆周角之间的关系，圆周角定理，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，连接𝑂𝑂𝐴𝐴，𝑂𝑂𝐴𝐴，𝐴𝐴𝐴𝐴，利用勾股定理的逆定理证明∠𝐴𝐴𝑂𝑂𝐴𝐴=90°，则由圆周角定理得到∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴=∠𝐴𝐴𝑂𝑂𝐴𝐴=
13
21B．65° C．60° D．55°
45°，再由点A、B、C是⊙𝑂𝑂三等分点，得到∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴=180°×=60°，即可利用三角形内角和定理求出答案．
【详解】解：如图所示，连接𝑂𝑂𝐴𝐴，𝑂𝑂𝐴𝐴，𝐴𝐴𝐴𝐴， ∵⊙𝑂𝑂半径长2cm， ∴𝑂𝑂𝐴𝐴=𝑂𝑂𝐴𝐴=2cm， ∵𝐴𝐴𝐴𝐴=2√2cm，
∴𝑂𝑂𝐴𝐴2+𝑂𝑂𝐴𝐴2=22+22=8=𝐴𝐴𝐴𝐴2，
∴△𝐴𝐴𝑂𝑂𝐴𝐴是直角三角形，且∠𝐴𝐴𝑂𝑂𝐴𝐴=90°，
∵点A、B、C是⊙𝑂𝑂三等分点， ∴∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴=180°×=60°，
31∴∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴=∠𝐴𝐴𝑂𝑂𝐴𝐴=45°，
2
1∴∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴=180°−∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴−∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴=75°， 故选：A．
10．如图，直线𝑦𝑦=𝑘𝑘𝑥𝑥+𝑏𝑏(𝑘𝑘≠0)与抛物线𝑦𝑦=𝑎𝑎𝑥𝑥2(𝑎𝑎≠0)交于𝐴𝐴，𝐴𝐴两点，且点𝐴𝐴的横坐标是−2，点数值都随着𝑥𝑥的增大而增大；③𝐴𝐴𝐴𝐴的长度可以等于5；④当−2<𝑥𝑥<3时，𝑎𝑎𝑥𝑥2−𝑘𝑘𝑥𝑥<𝑏𝑏；⑤连接
𝐴𝐴的横坐标是3，则以下结论：①𝑎𝑎>0，𝑏𝑏>0；②当𝑥𝑥>0时，直线𝑦𝑦=𝑘𝑘𝑥𝑥+𝑏𝑏与抛物线𝑦𝑦=𝑎𝑎𝑥𝑥2的函𝑂𝑂𝐴𝐴，𝑂𝑂𝐴𝐴，当𝑂𝑂𝐴𝐴⊥𝑂𝑂𝐴𝐴时，𝑎𝑎=√6，其中正确的个数是（ ）
A．5
【答案】C
【分析】①由抛物线的开口向上，一次函数与𝑦𝑦轴的交点位置，即可判断；②观察图象，即可判断；③由点𝐴𝐴的横坐标是−2，点𝐴𝐴的横坐标是3，若𝐴𝐴𝐴𝐴=5，可得出直线𝐴𝐴𝐴𝐴与𝑥𝑥轴平行与已知矛盾，即可判断；④根据点𝐴𝐴、𝐴𝐴的横坐标，结合图象得出当−2<𝑥𝑥<3时，𝑎𝑎𝑥𝑥2<𝑘𝑘𝑥𝑥+𝑏𝑏，整理即可判断；⑤作𝐴𝐴𝐴𝐴⊥𝑥𝑥轴于点𝐴𝐴，作𝐴𝐴𝐵𝐵⊥𝑥𝑥轴点𝐵𝐵，根据已知条件得出𝑂𝑂𝐴𝐴=2，𝑂𝑂𝐵𝐵=3，𝐴𝐴𝐴𝐴=4𝑎𝑎，𝐴𝐴𝐵𝐵=9𝑎𝑎，证明出tan∠𝑂𝑂𝐴𝐴𝐴𝐴=tan∠𝐴𝐴𝑂𝑂𝐵𝐵，把数据代入
𝑂𝑂𝑂𝑂𝐴𝐴𝑂𝑂
B．4 C．3 D．2
【详解】解：①∵抛物线的开口向上， ∴𝑎𝑎>0，
∵一次函数与𝑦𝑦轴的交点在𝑦𝑦轴的正半轴，
=
𝐵𝐵𝐵𝐵𝑂𝑂𝐵𝐵
中，求出𝑎𝑎的值即可判断．
∴𝑏𝑏>0， 故①正确；
②由图象得，一次函数的函数值都随着𝑥𝑥的增大而增大； ∵抛物线𝑦𝑦=𝑎𝑎𝑥𝑥2的对称轴为𝑦𝑦轴，𝑎𝑎>0，
∴当𝑥𝑥>0时，抛物线𝑦𝑦=𝑎𝑎𝑥𝑥2的函数值都随着𝑥𝑥的增大而增大； 故②正确；
③∵点𝐴𝐴的横坐标是−2，点𝐴𝐴的横坐标是3， 若𝐴𝐴𝐴𝐴=5，可得出直线𝐴𝐴𝐴𝐴与𝑥𝑥轴平行， 即𝑘𝑘=0，与已知𝑘𝑘≠0矛盾， ∴𝐴𝐴𝐴𝐴不可能为5， 故③不正确；
④∵点𝐴𝐴的横坐标是−2，点𝐴𝐴的横坐标是3，
∴结合图象可得：当−2<𝑥𝑥<3时，𝑎𝑎𝑥𝑥2<𝑘𝑘𝑥𝑥+𝑏𝑏，即𝑎𝑎𝑥𝑥2−𝑘𝑘𝑥𝑥<𝑏𝑏， 故④正确；
⑤如图，作𝐴𝐴𝐴𝐴⊥𝑥𝑥轴于点𝐴𝐴，作𝐴𝐴𝐵𝐵⊥𝑥𝑥轴点𝐵𝐵，
∵抛物线𝑦𝑦=𝑎𝑎𝑥𝑥2(𝑎𝑎≠0)，𝐴𝐴的横坐标是−2，点𝐴𝐴的横坐标是3，
∴点𝐴𝐴的纵坐标=𝑎𝑎×(−2)2=4𝑎𝑎，点𝐴𝐴的纵坐标=𝑎𝑎×32=9𝑎𝑎， ∴𝑂𝑂𝐴𝐴=2，𝑂𝑂𝐵𝐵=3，𝐴𝐴𝐴𝐴=4𝑎𝑎，𝐴𝐴𝐵𝐵=9𝑎𝑎，
∵𝐴𝐴𝐴𝐴⊥𝑥𝑥轴，𝐴𝐴𝐵𝐵⊥𝑥𝑥轴，当𝑂𝑂𝐴𝐴⊥𝑂𝑂𝐴𝐴时，∠𝐴𝐴𝑂𝑂𝐴𝐴=90°， ∴∠𝐴𝐴𝑂𝑂𝐴𝐴+∠𝑂𝑂𝐴𝐴𝐴𝐴=90°，∠𝐴𝐴𝑂𝑂𝐴𝐴+∠𝐴𝐴𝑂𝑂𝐵𝐵=90°， ∴∠𝑂𝑂𝐴𝐴𝐴𝐴=∠𝐴𝐴𝑂𝑂𝐵𝐵， ∴tan∠𝑂𝑂𝐴𝐴𝐴𝐴=tan∠𝐴𝐴𝑂𝑂𝐵𝐵，
𝑂𝑂𝑂𝑂𝐴𝐴𝑂𝑂24𝑎𝑎
=
=
𝐵𝐵𝐵𝐵9𝑎𝑎3
𝑂𝑂𝐵𝐵
，
，
36𝑎𝑎2=6， 解得：𝑎𝑎=
故⑤不正确．
√6， 6
综上所述，正确的有①②④这3个， 故选：C．
【点睛】本题是一次函数和二次函数的综合题，主要考查了一次函数和二次函数的图象与性质、结合图象求不等式的解、利用正切列式求解等，熟练掌握知识点、数形结合是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．比较大小：√6 2.5（填“>”、“<”、或“=”）
【答案】<
【分析】本题主要考查了实数的大小比较，先得出两个实数的平方比较大小是解题的关键． 【详解】解：∵�√6�=6，(2.5)2=6.25， 6<6.25， ∴√6<2.5，
2
故答案为：<．
12．分解因式：𝑎𝑎𝑥𝑥2−5𝑎𝑎𝑥𝑥+6𝑎𝑎= 【答案】𝑎𝑎(𝑥𝑥−2)(𝑥𝑥−3)
【分析】提取公因式𝑎𝑎后，再运用十字相乘法分解即可． 【详解】解：原式=𝑎𝑎(𝑥𝑥2−5𝑥𝑥+6) =𝑎𝑎(𝑥𝑥−2)(𝑥𝑥−3)
【点睛】此题主要考查了提取公因式法和运用十字相乘分解因式，正确找出公因式是解题关键．
13．在一个不透明的口袋中，装有4个红球3个白球和1个绿球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为 ．
【答案】
【分析】用白球的个数除以球的总个数即可求得摸到白球的概率．
【详解】解：在一个不透明的口袋中，装有4个红球3个白球和1个绿球，它们除颜色外都相同， ∴从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为
4+3+1383＝；
8
3故答案为．
【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
8
314．点𝐴𝐴�−4，3�，𝐴𝐴�0，𝑘𝑘�在二次函数𝑦𝑦=−(𝑥𝑥+2)2+ℎ的图象上，则𝑘𝑘= ．
【答案】3
【分析】将𝐴𝐴�−4，3�代入解析式中即可得到h的值，在当𝑥𝑥=0代入即可求解． 【详解】解：∵点𝐴𝐴�−4，3�在𝑦𝑦=−(𝑥𝑥+2)2+ℎ上， 解得ℎ=7，
∴−(−4+2)2+ℎ=3，
=3，
当𝑥𝑥=0时，𝑦𝑦=−(0+2)2+7
∴二次函数解析式为𝑦𝑦=−(𝑥𝑥+2)2+7，
∴𝑘𝑘=3． 故答案为：3．
【点睛】本题考查了运用待定系数法求解二次函数解析式，解决本题的关键是将将𝐴𝐴�−4，3�代入解析式．
15．如图，⊙𝐴𝐴的半径为3，作正六边形𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵，点B，点F在⊙𝐴𝐴上，若图中阴影部分扇形恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为 ．
【答案】2√2 【分析】本题考查了正多边形和圆及圆锥的计算的知识，首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用圆锥的底面圆周长是扇形的弧长计算即可，解题的关键是求得正六边形的内角的度数并理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 【详解】解：∵正六边形的外角和为360°, ∴每一个外角的度数为360°÷6=60°, ∴正六边形的每个内角为 180°−60°=120°,
设这个圆锥底面圆的半径是𝑟𝑟，
根据题意得，2𝜋𝜋𝑟𝑟=解得：𝑟𝑟=1,
120𝜋𝜋×3180
,
故答案为：2√2．
∴这个圆锥高=√32−12=2√2 8𝑥𝑥
1𝑥𝑥
轴负半轴上一点，且𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝑂𝑂，连接𝐴𝐴𝐴𝐴，那么△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴的面积是 ．
16．如图，点𝐴𝐴是函数𝑦𝑦=−(𝑥𝑥<0)图象上一点，连接𝑂𝑂𝐴𝐴交函数𝑦𝑦=−(𝑥𝑥<0)图象于点𝐴𝐴，点𝐴𝐴是𝑥𝑥
【答案】8−2√2/−2√2+8
【分析】过点𝐴𝐴，𝐴𝐴分别作𝑥𝑥轴的垂线，垂足分别为𝐴𝐴，𝐴𝐴，反比例函数比例系数的几何意义得𝑆𝑆△𝑂𝑂𝐴𝐴𝑂𝑂=4，然后根据等腰三角形的性质得𝑆𝑆△𝐴𝐴𝑂𝑂𝐴𝐴=2𝑆𝑆△𝑂𝑂𝐴𝐴𝑂𝑂=8，则𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴+𝑆𝑆△𝑂𝑂𝐵𝐵𝐴𝐴=8，由此得得𝑆𝑆△𝑂𝑂𝐵𝐵𝐴𝐴=2√2，进而𝑆𝑆△𝑂𝑂𝐵𝐵𝑂𝑂=0.5，证△𝑂𝑂𝐴𝐴𝐴𝐴∽△𝑂𝑂𝐴𝐴𝐴𝐴得
𝑆𝑆△𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑆𝑆△𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂
=(
𝑂𝑂𝐴𝐴2
)，由此得𝑂𝑂𝐴𝐴𝑂𝑂𝐵𝐵
=2√2𝑂𝑂𝐴𝐴，证得 𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴=(2√2−1)𝑆𝑆△𝑂𝑂𝐵𝐵𝐴𝐴，
可得△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴的面积．
【详解】解：过点𝐴𝐴，𝐴𝐴分别作𝑥𝑥轴的垂线，垂足分别为𝐴𝐴，𝐴𝐴，如下图所示：
点，
∵点𝐴𝐴是函数𝑦𝑦=−(𝑥𝑥<0)图象上一点，点𝐴𝐴是反比例函数𝑦𝑦=−(𝑥𝑥<0)图象上的
𝑥𝑥
𝑥𝑥
12
12
81根据反比例函数比例系数的几何意义得：𝑆𝑆△𝑂𝑂𝐴𝐴𝑂𝑂=×8=4，𝑆𝑆△𝑂𝑂𝐵𝐵𝑂𝑂=×1=0.5， ∵𝐴𝐴𝐴𝐴⊥𝑥𝑥轴，𝐴𝐴𝐴𝐴⊥𝑥𝑥轴， ∴𝐴𝐴𝐴𝐴∥𝐴𝐴𝐴𝐴，
𝑆𝑆△𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂
∴ 𝑆𝑆△𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂=�
𝑂𝑂𝐴𝐴2
∴△𝑂𝑂𝐴𝐴𝐴𝐴∽△𝑂𝑂𝐴𝐴𝐴𝐴，
𝑂𝑂𝐵𝐵4𝑂𝑂𝐴𝐴2
∴ ��==8，
𝑂𝑂𝐵𝐵0.5∴𝑂𝑂𝐴𝐴=2√2𝑂𝑂𝐴𝐴，
�，
∴𝐴𝐴𝐴𝐴=𝑂𝑂𝐴𝐴−𝑂𝑂𝐴𝐴=2√2𝑂𝑂𝐴𝐴−𝑂𝑂𝐴𝐴=(2√2−1)𝑂𝑂𝐴𝐴， ∵ 𝑆𝑆△𝑂𝑂𝑂𝑂𝐴𝐴=
△𝑂𝑂𝑂𝑂𝐴𝐴
即𝑂𝑂𝐵𝐵=2√2−1，
𝑆𝑆𝑂𝑂𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵𝐵∴𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴=(2√2−1)𝑆𝑆△𝑂𝑂𝐵𝐵𝐴𝐴， ∵𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝑂𝑂，𝐴𝐴𝐴𝐴⊥𝑥𝑥轴， ∴𝑂𝑂𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴，
∴𝑆𝑆△𝐴𝐴𝑂𝑂𝐴𝐴=2𝑆𝑆△𝑂𝑂𝐴𝐴𝑂𝑂=8，
=2√2−1，
即(2√2−1)𝑆𝑆△𝑂𝑂𝐵𝐵𝐴𝐴+𝑆𝑆△𝑂𝑂𝐵𝐵𝐴𝐴=8， ∴𝑆𝑆△𝑂𝑂𝐵𝐵𝐴𝐴=2√2，
∴𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴=𝑆𝑆△𝐴𝐴𝑂𝑂𝐴𝐴−𝑆𝑆△𝑂𝑂𝐵𝐵𝐴𝐴=8−2√2．
∴𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴+𝑆𝑆△𝑂𝑂𝐵𝐵𝐴𝐴=8，
故答案为：8−2√2．
【点睛】此题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（本题满分6分）（1）计算∶ √12 −3𝑡𝑡𝑎𝑎𝑛𝑛30°+(𝜋𝜋-4+ （2）解方程：2𝑥𝑥2−3𝑥𝑥−4=0 =2√3−3×=√3−1．
√33
)0
1−1�−� 2
【答案】解：（1）√12 −3𝑡𝑡𝑎𝑎𝑛𝑛30°+(𝜋𝜋-4)0+ �−�
2
+1−2，
1−1
（2）2𝑥𝑥2−3𝑥𝑥−4=0
∵𝑎𝑎=2,𝑏𝑏=−3,𝑐𝑐=−4,
3±√412×24
∴𝑥𝑥=
∴𝑏𝑏2−4𝑎𝑎𝑐𝑐=(−3)2−4×2×(−4)=41>0，
，
3+√41【分析】本题考查实数的混合运算、特殊角的三角函数及一元二次方程的解法，熟知实数的混合运算法则、特殊角的三角函数值及一元二次方程的解法是正确解决本题的关键．
∴𝑥𝑥1=,𝑥𝑥2=
3−√414
．
运用实数的混合运算法则计算即可； 用公式法即可求解．
18．（本题满分6分）如图，在△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴中，
（1）用尺规完成以下基本作图：作∠𝐴𝐴的角平分线交AB边于点M，延长线段CA，并在其延长线上截取线段AN，使得𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴，连接MN（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）中所作的图形中，若∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴=2∠𝐴𝐴，证明：𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴．
【答案】（1）作图如下：
证明：（2）由（1）可得𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴， ∴∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴=∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴， ∴∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴=∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴+∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴， 即∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴=2∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴， 又∵∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴=2∠𝐴𝐴， ∴∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴=∠𝐴𝐴， ∵𝐴𝐴𝐴𝐴平分∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴， ∴∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴=∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴， 在△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴与△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴中 ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴=∠𝐴𝐴�∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴=∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴
𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴∴𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴．
∴△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴≌△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴(𝐴𝐴𝐴𝐴𝑆𝑆)
【分析】（1）作角的平分线，以点𝐴𝐴为圆心，任意长为半径，作弧与𝐴𝐴𝐴𝐴，𝐴𝐴𝐴𝐴交于𝑃𝑃，𝑄𝑄两点，分别以𝑃𝑃，𝑄𝑄两点为圆心大于𝑃𝑃𝑄𝑄的长为半径作弧，两弧交于点𝑇𝑇，作射线𝐴𝐴𝑇𝑇，与𝐴𝐴𝐴𝐴交于点𝐴𝐴，再以点𝐴𝐴为圆心𝐴𝐴𝐴𝐴长为半径，作弧与𝐴𝐴𝐴𝐴延长线交于点𝐴𝐴，连接𝐴𝐴𝐴𝐴，作图为所求；
21（2）根据𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴，∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴=2∠𝐴𝐴，可以退出∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴=∠𝐴𝐴，再利用角平分线得到相等的角，之后证明△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴≌△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴(𝐴𝐴𝐴𝐴𝑆𝑆)，则结论可以得证． 关键．
【点睛】本题考查角平分线的作法，等腰三角形的等边对等角，其中利用角平分线推出三角形全等是解题
19．（本题满分6分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥CD交AC于点E．
(1)求证；四边形BCDE是菱形；
(2)若AB=5，E为AC的中点，当BC的长为______时，四边形BCDE是正方形．
𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴【答案】（1）证明：在△ABC和△ADC中，�𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴 ，
𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴∴△ABC≌△ADC， ∴∠BAO=∠DAO， ∵AB=AD，
∴AC⊥BD，BO=DO， ∵BE∥CD，
∴∠BEO=∠DCO，∠EBO=∠CDO， ∴△EBO≌△CDO， ∴BE=CD，
∴四边形BCDE是平行四边形， ∵AC⊥BD，
∴四边形BCDE是菱形；
（2）解：当BC的长为√5时，四边形BCDE是正方形．理由如下： ∵四边形BCDE是菱形， ∴OB=OD，OE=OC，EC⊥BD， ∵E为AC的中点，∴AE=EC， 设OE=OC=a，则AE=EC=2a，OA=3a，
在Rt△OBA中，OB2=AB2-AO2= 52-(3a)2=25-9a2， ∵四边形BCDE是正方形， ∴OB=OC， ∴25-9a2=a2， ∴a2=2，
5在Rt△OBC中，BC2=OB2+CO2= 25-9a2+a2=25-8×2=5， ∴BC=√5(负值已舍)，
∴当BC的长为√5时，四边形BCDE是正方形． 故答案为：√5．
【分析】（1）先判断出△ABC≌△ADC，得到∠BAO=∠DAO，推出AC⊥BD，BO=DO，再证明△EBO≌△CDO，即可得出结论；
5（2）根据题意设OE=OC=a，则AE=EC=2a，OA=3a，在Rt△OBA中，求得OB2=25-9a2，
5根据正方形的性质得到a2=2，在Rt△OBC中，利用勾股定理即可求解． 的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，解答本题
20．（本题满分8分）如图，直线𝑦𝑦=𝑘𝑘𝑥𝑥+𝑏𝑏与双曲线𝑦𝑦=相交于点𝐴𝐴(−4,0)．
𝑚𝑚(𝑥𝑥𝑥𝑥
<0)相交于𝐴𝐴(−3,1)，B两点，与x轴
(1)分别求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)连接𝑂𝑂𝐴𝐴,𝑂𝑂𝐴𝐴，求△𝐴𝐴𝑂𝑂𝐴𝐴的面积；
(3)直接写出当𝑥𝑥<0时，关于x的不等式𝑘𝑘𝑥𝑥+𝑏𝑏<的解集．
【答案】（1）解：将𝐴𝐴(−3,1)，𝐴𝐴(−4,0)代入𝑦𝑦=𝑘𝑘𝑥𝑥+𝑏𝑏，得： −3𝑘𝑘+𝑏𝑏=1 �， −4𝑘𝑘+𝑏𝑏=0𝑘𝑘=1
， 解得：�
𝑏𝑏=4
∴一次函数的解析式为𝑦𝑦=𝑥𝑥+4， 将𝐴𝐴(−3,1)代入𝑦𝑦=
𝑚𝑚𝑥𝑥
𝑚𝑚𝑥𝑥
∴反比例的解析式为𝑦𝑦=−(𝑥𝑥<0)； （2）解：对于𝑦𝑦=𝑥𝑥+4， 当𝑥𝑥=0时，𝑦𝑦=4 ∴点D的坐标为(0,4)，
𝑥𝑥
(𝑥𝑥<0)，得𝑚𝑚=−3，
3∴点B的坐标为(−1,3)，
𝑦𝑦=𝑥𝑥+4𝑥𝑥=−3 𝑥𝑥=−1
3 ，解得�， 或�由�
𝑦𝑦=3𝑦𝑦=1𝑦𝑦=
𝑥𝑥
12
12
∴△𝐴𝐴𝑂𝑂𝐴𝐴的面积=𝑆𝑆△𝐴𝐴𝑂𝑂𝑂𝑂−𝑆𝑆△𝐵𝐵𝑂𝑂𝑂𝑂=×4×3−×4×1=4；
𝑚𝑚（3）解：观察图象，当𝑥𝑥<0时，关于x的不等式𝑘𝑘𝑥𝑥+𝑏𝑏<𝑥𝑥的解集是𝑥𝑥<−3或−1<𝑥𝑥<0． 式、三角形面积等；解题时着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强． （1）将已知点坐标代入函数表达式，即可求解；
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析
问题；
（2）两函数解析式联立成方程组，求出点B的坐标，然后根据△𝐴𝐴𝑂𝑂𝐴𝐴的面积=𝑆𝑆△𝐴𝐴𝑂𝑂𝑂𝑂−𝑆𝑆△𝐵𝐵𝑂𝑂𝑂𝑂即可以解决
（3）根据图象即可解决问题．
21．（本题满分8分）小暑是二十四节气的第十一节气，这时候天气非常热，但还不是最热，所以称为小暑．小暑时节大江南北有着多种习俗，为了解学生最感兴趣的习俗，小莉从向阳中学中随机抽取200名学生进行调查，将调查结果绘制成如下不完整统计图．
(1)补全条形统计图．
(2)计算最感兴趣习俗为吃芒果中男生的人数．
(3)小亮看到折线统计图认为女生喜欢晒衣服的人数比吃芒果的人数多，你同意吗？请说明理由．
【答案】（1）解：簪茉莉的人数：200−30−20−80−30=40（人）， 补全统计图如下：
（2）解：吃芒果中男生的人数：80−80×70%=80−56=24（人）， （3）解：不同意女生喜欢晒衣服的人数比吃芒果的人数多，理由如下：
∵生喜欢晒衣服的人数：20×80%=16（人），女生喜欢吃芒果的人数：80×70%=56（人），且16<56,
∴女生喜欢晒衣服的人数比吃芒果的人数少， 4000×25%=1000（人）
∴不同意女生喜欢晒衣服的人数比吃芒果的人数多．
【分析】本题考查了数据的整理和分析，折线统计图与条形统计图的综合，
（1）用200减去吃藕、晒衣、吃芒果、扑流萤的人数即可得簪茉莉的人数，从而画出条形统计图． （2）先求出吃芒果的女生人数，再用80减去吃芒果的女生人数即可得解． （3）分别计算女生晒衣服的人数和吃芒果的人数，比较即可得解． 熟练掌握条形统计图的特征是解题的关键．
22．（本题满分10分）如图，分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了
如下信息：滑杆𝐴𝐴𝐴𝐴、箱长𝐴𝐴𝐴𝐴、拉杆𝐴𝐴𝐴𝐴的长度都相等，即𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴，点B，F在线段AC上，点𝐴𝐴在DE上，支杆𝐴𝐴𝐵𝐵=12cm,𝐴𝐴𝐴𝐴:𝐴𝐴𝐴𝐴=1:3,∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵=45°,∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵=30°．请根据以上信息，解决下列问题：
(1)求𝐴𝐴𝐴𝐴的长度（结果保留根号）；
(2)求拉杆端点𝐴𝐴到水平滑杆𝐴𝐴𝐴𝐴的垂直距离（结果保留到1cm）．（参考数据：√2≈1.41,√3≈1.73,√6≈2.45）
【答案】（1）解：过𝐵𝐵作𝐵𝐵𝐵𝐵⊥𝐴𝐴𝐴𝐴于点𝐵𝐵，
∵∠𝐵𝐵𝐴𝐴𝐴𝐴=30∘,𝐴𝐴𝐵𝐵=12， 在直角△𝐵𝐵𝐵𝐵𝐴𝐴中，
𝐹𝐹𝐵𝐵𝑂𝑂𝐹𝐹
∴∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐴𝐴=∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐴𝐴=90∘，
sin30∘=
∴𝐵𝐵𝐵𝐵=sin30∘⋅𝐴𝐴𝐵𝐵=6，𝐴𝐴𝐵𝐵=cos30∘⋅𝐴𝐴𝐵𝐵=6√3， ∵∠𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵𝐵=45∘，
,cos30∘=
𝑂𝑂𝐵𝐵𝑂𝑂𝐹𝐹
，
∴𝐴𝐴𝐵𝐵=𝐵𝐵𝐵𝐵=6， ∵𝐴𝐴𝐴𝐴:𝐴𝐴𝐴𝐴=1:3，
43
∴𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐵𝐵+𝐴𝐴𝐵𝐵=6+6√3， ∴𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴=8+8√3． ∵𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴
∴𝐴𝐴𝐴𝐴=2𝐴𝐴𝐴𝐴=�16+16√3�cm 答：𝐴𝐴𝐴𝐴的长度为�16+16√3�cm．
（2）解：过𝐴𝐴作𝐴𝐴𝐴𝐴⊥𝐴𝐴𝐴𝐴交𝐴𝐴𝐴𝐴的延长线于𝐴𝐴,
答：拉杆端点𝐴𝐴到水平滑杆𝐴𝐴𝐴𝐴的距离为31cm．
∴𝐴𝐴𝐴𝐴=
√2𝐴𝐴𝐴𝐴=8√2+8√6=8×1.41+8×2.45=30.88≈31(cm) 2∵∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴=45°，
【分析】（1）过𝐵𝐵作𝐵𝐵𝐵𝐵⊥𝐴𝐴𝐴𝐴于𝐵𝐵，解直角三角形即可得到结论；
（2）过𝐴𝐴作𝐴𝐴𝐴𝐴⊥𝐴𝐴𝐴𝐴交𝐴𝐴𝐴𝐴的延长线于𝐴𝐴，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．
23．（本题满分10分）【发现问题】美丽的大连星海湾跨海大桥，是大连一张亮丽的名片，晚上大桥的灯光秀璀璨夺目．小明通过查阅得知，星海湾大桥（Xinghai Bay Bridge） 是中国辽宁省大连市境内连接甘井子区与西岗区的跨海通道，位于黄海水域上．大连星海湾跨海大桥全长6千米，主桥为双塔三跨地锚式、双层通车悬索桥．主桥长820米，主桥主跨（两个主塔间的距离L）460米，边跨180米，跨径布置为180+460+180=820m．
如图是大桥的主跨，主跨悬索矢跨比（S：L）约为20，悬索的最低处直接和桥梁相连，悬索和桥梁之间的吊杆间距10m，由于桥梁中间有车辆通过，灯光秀的光源放置在距桥梁上沿下方21米的桥梁中．
3
【提出问题】星海大桥主跨上的吊杆的高度与它距最低点的水平距离有怎样的数量关系?
【分析问题】小明了解到，大桥主跨上连接两座主塔之间的悬索可以看成是抛物线的一部分，结合二次函数相关内容和查阅到的相关数据，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数，便可解决问题．
【解决问题】小明利用查阅到的相关数据，为解题方便，小明以抛物线的顶点（大桥主跨上悬索的最低点）为原点，以主跨的中轴为y轴，建立平面直角坐标系（如图3）．
(1)请直接写出以下问题的答案： ①右侧悬索最高点B的坐标； ②y与x的函数解析式； ③最长的吊杆的长度；
(2)某游客在远处海滩正对大桥主跨的位置，看到一个由多辆彩车组成的150米的车队，车队以50米/分的速度通过大桥主跨，彩车高于桥梁部分均为6.9米．在彩车通过大桥主跨过程中，该游客在悬索上方能看到彩车的时间是否超过6分钟；
(3)如图3，灯光秀中一个射灯光源C（−70，−21），位于悬索最低点左下方，即距悬索最低点的水平距离为70米的地方，它所发出的射线状光线，刚好经过右侧悬索的最高点B，现在想在这个光源的水平右侧再放置一个同样的平行光源，应该在什么范围内放置，才能保证该光源所射出的光线照到右侧悬索上?
【答案】（1）①如图，作𝐴𝐴𝐴𝐴⊥𝑥𝑥轴于D点， 由题意得𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐿𝐿=460， ∴𝑂𝑂𝐴𝐴=𝐿𝐿=230， ∵𝑆𝑆:𝐿𝐿=∴𝑆𝑆=
322031，
∴𝐴𝐴𝐴𝐴=69，
20
𝐿𝐿=
20
3×460=69，
∴点B的坐标为(230,69)； ②设𝑦𝑦=𝑎𝑎𝑥𝑥2，
解得𝑎𝑎=
把𝐴𝐴(230,69)代入得2302⋅𝑎𝑎=69， ∴y与x的函数解析式为：𝑦𝑦=2300𝑥𝑥2； ∵吊杆间距10m， ∴𝐴𝐴𝐵𝐵=10，
∴𝑂𝑂𝐵𝐵=230−10=220， 由𝑦𝑦=∴𝐴𝐴𝐵𝐵≈63，
23003230069，
3③如图，设最长的吊杆为EF，
𝑥𝑥2得，𝑥𝑥=220时，𝑦𝑦=
2300
3×2202≈63，
∴最长的吊杆的长度约为63m．
（2）如图，作𝐴𝐴𝐴𝐴∥𝑥𝑥轴，交抛物线于M、N两点，
由题意知𝑦𝑦𝑀𝑀=𝑦𝑦𝑁𝑁=6.9，代入抛物线解析式得2300𝑥𝑥2=6.9， ∴𝑥𝑥𝑀𝑀=−23√10，𝑥𝑥𝑁𝑁=23√10， ∴𝐴𝐴𝐴𝐴=2×23√10=46√10， 解得𝑥𝑥1=−23√10，𝑥𝑥2=23√10，
3∴游客在悬索上方能看到彩车的时间为：
∴游客在悬索上方能看到彩车的时间不超过6分钟．
46√10+15050
≈5.9<6，
（3）
设光源放在G点时，光线𝐴𝐴𝐵𝐵与悬索只有一个交点， 设直线𝐴𝐴𝐴𝐴的表达式为𝑦𝑦=𝑘𝑘𝑥𝑥+𝑏𝑏，则 �−21=−解得69�
=𝑘𝑘𝑏𝑏230=
70=100
3𝑘𝑘 𝑘𝑘，++ 𝑏𝑏𝑏𝑏 ， ∴直线𝐴𝐴𝐴𝐴的表达式为：𝑦𝑦=∵𝐴𝐴𝐵𝐵∥𝐴𝐴𝐴𝐴，
10
3𝑥𝑥．
∴直线𝐴𝐴𝐵𝐵与直线𝐴𝐴𝐴𝐴的k相同， 设直线𝐴𝐴𝐵𝐵的表达式为𝑦𝑦=
联立�
𝑦𝑦=323003𝑥𝑥2
103𝑥𝑥+𝑚𝑚，
，
得
3𝑦𝑦𝑥𝑥=
2整理得23003𝑥𝑥2=
10
𝑥𝑥103𝑥𝑥++𝑚𝑚
−690𝑥𝑥𝑚𝑚−，2300
∵直线𝐴𝐴𝐵𝐵与抛物线只有一个交点，𝑚𝑚=0，
解得∴Δ=𝑚𝑚(=−690−694
)2，−
4×3×(−2300𝑚𝑚)=0，
∴直线𝐴𝐴𝐵𝐵的表达式为𝑦𝑦=3694
．
当𝑦𝑦=−21时，−21=10𝑥𝑥−103𝑥𝑥−
694
，
解得𝑥𝑥=−， ∴𝐴𝐴(−
252
252
∴光源应放在(−70,−21)和(−
,−21)，
252
【分析】（1）①作𝐴𝐴𝐴𝐴⊥𝑥𝑥轴于D点，由题意得𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐿𝐿=460，根据𝑆𝑆:𝐿𝐿=长，由此可得B点的坐标；
②设𝑦𝑦=𝑎𝑎𝑥𝑥2，将B点坐标代入，求出a的值，即可得抛物线的表达式； 杆的长．
,−21)之间，才能保证该光源所射出的光线照到右侧悬索上．
203求出S的值，即可得𝐴𝐴𝐴𝐴的
③设最长的吊杆为𝐴𝐴𝐵𝐵，由题意得𝑂𝑂𝐵𝐵=230−10=220，代入表达式中求出y的值，即可得𝐴𝐴𝐵𝐵的长，即吊
的长，再求出游客在悬索上方能看到彩车的时间，即可判断结果．
（2）作𝐴𝐴𝐴𝐴∥𝑥𝑥轴，交抛物线于M、N两点，则𝑦𝑦𝑀𝑀=𝑦𝑦𝑁𝑁=6.9，求出M、N两点的横坐标，进而可得𝐴𝐴𝐴𝐴
103（3）设光源放在G点时，光线𝐴𝐴𝐵𝐵与悬索只有一个交点，先求出直线𝐴𝐴𝐴𝐴的表达式为𝑦𝑦=
3可知直线𝐴𝐴𝐵𝐵与直线𝐴𝐴𝐴𝐴的k相同，设直线𝐴𝐴𝐵𝐵的表达式为𝑦𝑦=10𝑥𝑥+𝑚𝑚，联立抛物线和直线的表达式可得G点的坐标即可得到答案．
3𝑥𝑥2−690𝑥𝑥−2300𝑚𝑚=0，由Δ=0，求出m的值为−4，由此可得𝐴𝐴𝐵𝐵直线的表达式为𝑦𝑦=10𝑥𝑥−
693694
𝑥𝑥，由𝐴𝐴𝐵𝐵∥𝐴𝐴𝐴𝐴
，求出
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，建立适当的坐标系，求出解析式，熟练掌握求二次函数与一次函数的交点问题是解题的关键．
24．（本题满分12分）已知，𝐴𝐴𝐴𝐴、𝐴𝐴𝐴𝐴为⊙𝑂𝑂两条弦，𝐴𝐴𝐴𝐴⊥𝐴𝐴𝐴𝐴于点E，连接𝑂𝑂𝐴𝐴，𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴．
(1)如图1，连接𝑂𝑂𝐴𝐴，求∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝑂𝑂的度数；
(2)如图2，连接𝐴𝐴𝐴𝐴，延长𝐴𝐴𝑂𝑂交𝐴𝐴𝐴𝐴于点N，点F为𝐴𝐴𝐴𝐴上一点，连接𝐴𝐴𝐵𝐵，在𝐴𝐴𝐵𝐵上方作等腰直角三角形𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴，且∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵=90°，连接𝐴𝐴𝐴𝐴，求证：𝐴𝐴𝐴𝐴∥𝐴𝐴𝐴𝐴；
(3)在（2）的条件下，连接𝐴𝐴𝐴𝐴，𝐴𝐴𝐴𝐴，当点G落在线段𝐴𝐴𝐴𝐴上时，过点O做𝑂𝑂𝐿𝐿⊥𝑂𝑂𝐴𝐴，交𝐴𝐴𝐴𝐴于点L，交𝐴𝐴𝐴𝐴于点T，若𝑂𝑂𝐴𝐴=6√2,𝐴𝐴𝐴𝐴=2𝐴𝐴𝐿𝐿，求⊙𝑂𝑂半径的长．
【答案】（1）连接𝑂𝑂𝐴𝐴,𝑂𝑂𝐴𝐴，
∵𝑂𝑂𝐴𝐴,𝑂𝑂𝐴𝐴为⊙𝑂𝑂半径， ∴𝑂𝑂𝐴𝐴=𝑂𝑂𝐴𝐴，
∵𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴,𝑂𝑂𝐴𝐴=𝑂𝑂𝐴𝐴， ∴△𝐴𝐴𝐴𝐴𝑂𝑂≌△𝐴𝐴𝐴𝐴𝑂𝑂， ∴∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝑂𝑂=∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝑂𝑂， ∵𝐴𝐴𝐴𝐴⊥𝐴𝐴𝐴𝐴， ∴∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴=90°，
∴∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝑂𝑂=∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝑂𝑂=2∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴=45°； ∴∠𝐺𝐺𝐴𝐴𝐴𝐴=90°，
1（2）证明：过点G作𝐴𝐴𝐺𝐺⊥𝐴𝐴𝐴𝐴交𝐴𝐴𝐴𝐴于点R，
∴∠𝐺𝐺𝐴𝐴𝐴𝐴=∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵，
∴∠𝐺𝐺𝐴𝐴𝐴𝐴−∠𝐺𝐺𝐴𝐴𝐵𝐵=∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵−∠𝐺𝐺𝐴𝐴𝐵𝐵，
∴∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐺𝐺=∠𝐵𝐵𝐴𝐴𝐴𝐴，𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴,∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴=∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴， ∴𝐴𝐴𝐴𝐴⊥𝐴𝐴𝐴𝐴,𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴， ∴∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴=90°，
∴∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴=90°=∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵， ∴∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴=∠𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴， 又∵𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐵𝐵， ∴△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐺𝐺≌△𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴， ∴𝐴𝐴𝐺𝐺=𝐴𝐴𝐴𝐴，
∴∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐺𝐺=∠𝐴𝐴𝐺𝐺𝐴𝐴=45°， ∴∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐺𝐺=∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴， ∴𝐴𝐴𝐴𝐴∥𝐴𝐴𝐴𝐴．
（3）过G作𝐴𝐴𝐺𝐺⊥𝐴𝐴𝐴𝐴交𝐴𝐴𝐴𝐴的延长线于点R，连接𝑂𝑂𝐴𝐴,𝑂𝑂𝐴𝐴，作𝑂𝑂𝑂𝑂⊥𝐴𝐴𝐴𝐴于点K，𝑂𝑂𝐵𝐵⊥𝐴𝐴𝐴𝐴于点H，
由（2）得△𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴≌△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐺𝐺，得𝐴𝐴𝐴𝐴∥𝐴𝐴𝐴𝐴， ∴𝐴𝐴𝑁𝑁=𝐵𝐵𝑂𝑂，
𝐴𝐴𝑁𝑁𝐴𝐴𝑂𝑂∵𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴，
∴𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴，∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴=90°，
∴𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴,∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴=∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴,𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴,∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴=∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ，
21∴△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴≌△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴， ∴𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴， ∴𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴，
21设𝐴𝐴𝐿𝐿=𝑎𝑎,𝐴𝐴𝐴𝐴=2𝑎𝑎,𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴=4𝑎𝑎,𝐴𝐴𝐿𝐿=3𝑎𝑎，∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴=90°−∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴=45°， ∴∠𝐴𝐴𝑂𝑂𝐴𝐴=90°，
∴∠𝐴𝐴𝑂𝑂𝑂𝑂=∠𝐴𝐴𝑂𝑂𝑂𝑂=45°， ∴∠𝑂𝑂𝐴𝐴𝐴𝐴=∠𝑂𝑂𝐴𝐴𝐴𝐴=45°，
则𝑂𝑂𝐴𝐴=𝑂𝑂𝐴𝐴=2√2𝑎𝑎，𝑂𝑂𝑂𝑂=𝐴𝐴𝑂𝑂=2𝑎𝑎,𝑂𝑂𝐿𝐿=𝑎𝑎，
在Rt△𝑂𝑂𝑂𝑂𝐿𝐿中，tan∠𝐿𝐿𝑂𝑂𝑂𝑂=， ∵𝑂𝑂𝐿𝐿⊥𝑂𝑂𝐴𝐴， ∴∠𝐴𝐴𝑂𝑂𝐿𝐿=90°，
∴∠𝑂𝑂𝐴𝐴𝐴𝐴=∠𝑂𝑂𝑇𝑇𝐴𝐴=45°，
∵∠𝑂𝑂𝑂𝑂𝐿𝐿+∠𝐿𝐿𝑂𝑂𝐴𝐴=45°，∠𝑂𝑂𝐴𝐴𝑇𝑇+∠𝐿𝐿𝑂𝑂𝐴𝐴=45°， ∴∠𝑂𝑂𝑂𝑂𝐿𝐿=∠𝑂𝑂𝐴𝐴𝑇𝑇， ∴tan∠𝑂𝑂𝑂𝑂𝐿𝐿=tan∠𝑂𝑂𝐴𝐴𝑇𝑇， ∵𝑂𝑂𝐴𝐴=6√2,𝑂𝑂𝐵𝐵=6,𝐵𝐵𝐴𝐴=12， 在Rt△𝑂𝑂𝐴𝐴𝐵𝐵中，𝑂𝑂𝐴𝐴2=𝑂𝑂𝐵𝐵2+𝐵𝐵𝐴𝐴2，
2
1∴𝑂𝑂𝐴𝐴=6√5．
【分析】本题考查了圆与三角形的综合，涉及到全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线成比例，勾股定理，圆周角定理等，正确添加辅助线，熟练灵活运用知识点是解决本题的关键． （1）连接𝑂𝑂𝐴𝐴,𝑂𝑂𝐴𝐴，证明△𝐴𝐴𝐴𝐴𝑂𝑂≌△𝐴𝐴𝐴𝐴𝑂𝑂即可；
（2）过点G作𝐴𝐴𝐺𝐺⊥𝐴𝐴𝐴𝐴交𝐴𝐴𝐴𝐴于点R，先证明△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐺𝐺≌△𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴，得𝐴𝐴𝐺𝐺=𝐴𝐴𝐴𝐴， 所以∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐺𝐺=∠𝐴𝐴𝐺𝐺𝐴𝐴=45°，得到∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐺𝐺=∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴，故𝐴𝐴𝐴𝐴∥𝐴𝐴𝐴𝐴．
（3）过G作𝐴𝐴𝐺𝐺⊥𝐴𝐴𝐴𝐴交𝐴𝐴𝐴𝐴的延长线于点R，连接𝑂𝑂𝐴𝐴,𝑂𝑂𝐴𝐴，作𝑂𝑂𝑂𝑂⊥𝐴𝐴𝐴𝐴于点K，𝑂𝑂𝐵𝐵⊥𝐴𝐴𝐴𝐴于点H，先证明△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴≌△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴，∴𝐴𝐴𝐴𝐴=2𝐴𝐴𝐴𝐴，设𝐴𝐴𝐿𝐿=𝑎𝑎,𝐴𝐴𝐴𝐴=2𝑎𝑎,𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴=4𝑎𝑎,𝐴𝐴𝐿𝐿=3𝑎𝑎，则𝑂𝑂𝐴𝐴=𝑂𝑂𝐴𝐴=2√2𝑎𝑎，
1𝑂𝑂𝑂𝑂=𝐴𝐴𝑂𝑂=2𝑎𝑎,𝑂𝑂𝐿𝐿=𝑎𝑎，证出∠𝑂𝑂𝑂𝑂𝐿𝐿=∠𝑂𝑂𝐴𝐴𝑇𝑇，则tan∠𝑂𝑂𝑂𝑂𝐿𝐿=tan∠𝑂𝑂𝐴𝐴𝑇𝑇， 最后在Rt△𝑂𝑂𝐴𝐴𝐵𝐵中运用勾股定理求𝑂𝑂𝐴𝐴=6√5．
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容