二级倒立摆的 LQG 最优控制研究

第ｌ期（总第１８２期）　２ＯＩ４年Ｏ２月　机械工程与自动化　ＭＥＣＩ｛ＡＮＩＣＡＬ　ＥＮＧＩＮＥＥＲｌＮＧ　＆　ＡＵＴ（）ＭＡＴｌ（）Ｎ　Ｎｏ．１　Ｆｅｂ．　文章编号：ｌ６７２—６４１３（２０１４）０ｌ一０１５０—０３　二级倒立摆的ＬＱＧ最优控制研究拳　苏航　（山东科技大学信息与电气工程学院。山东　青岛　２６６５９０）　摘要：为实现二级倒立摆系统的稳摆控制，应用了线性二次高斯最优控制。根据ＬＱＧ的分离原理．首先利　用最优控制设计控制律，得到状态反馈；由于系统状态不能完全测得，而且系统也不可避免地会受到噪声的　影响，在详细给出相应参数取值规则的基础上，采用了卡尔曼滤波对系统输出做出最优估计。最后的仿真结　果表明．设计的控制器能够较好地对二级倒立摆进行稳定控制，且具有抑制噪声和抗干扰能力。　关键词：二级倒立摆系统；线性二次高斯最优控制；ＬＱＧ　中图分类号：　ＦＩ　２７３　文献标识码：Ａ　０　弓Ｉ言　倒立摆系统是一个典型的多变量、强耦合、非线性　的不稳定系统，所以，近年来倒立摆的稳摆控制和数字　仿真成为控制领域中用来检验某种控制理论和方法的　典型方案。文献［１］提出递阶模糊神经网络控制二级　倒立摆的模糊控制方法；文献Ｉ－２］采用了线性二次最优　控制理论，实现了倒立摆的闭环稳定；文献［３］将模糊　控制理论和最优控制理论相结合设计出了模糊控制　器，达到了对二级倒立摆的有效控制。但由于基于状　态反馈的Ｉ　ＱＲ设计，需要知道系统的全部状态变量，　这在现实中往往是很难的。实际的倒立摆系统也会受　到系统噪声和量测噪声的影响，为了解决上述问题，需　用卡尔曼滤波器对系统状态进行重构。文献［４～６］讨　论了针对一级倒立摆的ＬＱＧ方法的研究；对于二级　倒立摆系统，文献［７］使用了无迹卡尔曼滤波算法，明　显地提高了控制器的收敛速度；文献Ｅｓ］将稳态卡尔曼　滤波技术和渐消记忆法相结合，既克服了滤波器的模　『Ｍ１１　Ｍ　２　Ｍｌ。］Ｉ　Ｉ　『Ｆ１１　Ｆ１２　Ｆｌ３］　Ｍ２　２划　ｚ　。ｊ　Ｉ　　ＩＬ　。０　ＦＦ２　ｊ　２ｚ　Ｆ』　．　ｌ　，Ｉ　ＬＧ　ｊ　型误差，又满足控制的实时性要求；文献［９］则针对三　级倒立摆系统的不稳定性，设计出Ｉ　ＱＧ控制器。本　文以二级倒立摆为研究对象，在建立系统的数学模型　后，根据Ｉ　Ｑ（　的分离原理设计出控制器，实现了对噪　声的有效抑制。　１系统建模　直线二级倒立摆系统的模型结构如图１所示。图　１中，，一为小车位移（右为正方向）；　，　分别为下摆　杆、上摆杆与垂直方向的夹角（顺时针为正方向）。　为使研究对象的模型不过于复杂，简化数学模型　＊酮家自然科学基金资助项目（６ｌ１　７０８４）　＝ｒ　（　－－８　）　．　（口２一　．）］　．　收稿『】期：２ｏ１　３—０７—１８；修回口期：２Ｏ１３—０８一】５　作者简介：苏航（１　９８．９一），女，Ｉ】Ｉ东青岛人．在泼硕士研究生，主要从事鲁棒控制力‘面的研究。　２０１４年第１期　苏航：二级倒立摆的ＬＱＧ最优控制研究　・　ｌ５１　・　那么根据式（１）做适当变换得到系统的状态方程为：　Ａ计　ＩＹ＝＝＝Ｃｘ　一．　代人表ｌ中系统的参数可以得到：　’　０。　０　。（２）　…　ｌ　Ｏ　０　Ｏ　Ｏ　Ｏ　ｌ　Ｏ　Ａ—ｌｌ—０。—２—　．　０。００　１　０．　０。６７　５　—１　１１．２７８　１　０．０１　２　８　—０．２５６　８　Ｏ．１６６　７　——１　０　２５．５３２　ｌ　一１２．７９６　３　２５．２６３　９　—０．２４　９　２　Ｏ．５Ｏ　８　６　ＬＯ　一２９．１３５　２　５６．２３９　５　２９．１４２　７　０．５０２　３　广１　０　Ｏ　Ｏ　Ｏ　Ｃ一Ｂ一［０　０　０　６．２３１　９—１４．６９４　１　１６．８８８　６３　，　１　０　ｌ　Ｏ　０　Ｏ　Ｌ０　Ｏ　１　Ｏ　０　ｏ］．　（４）　２控制策略　２．１控制方案描述　最优反馈增益矩阵，且满足Ｋ＝ＲＦ　ＢＴｐ，其中的Ｐ为　正定矩阵，是如下方程的解：　ＰＡ＋Ａ　Ｐ—ＰＢＲ７　Ｂ　Ｐ＋Ｑｌ一０．　为实现二级倒立摆系统的稳摆控制，利用线性二　次高斯最优控制（ＬＱＧ）的分离原理，将ＬＱＲ状态反　馈控制和卡尔曼状态估计相结合，控制方案如图２所　示。　２．２　ＬＱＲ控制器　通过不断调试得到当Ｑ　＝Ｕｏｏ　６００　７００　２００　１５０　ｌｏｏ３，Ｒ　＝＝＝０．８时，小车和摆杆可以达到较好　的稳定控制，此时最优状态反馈矩阵Ｋ：＝＝［２９．６　７６９．９　—１　４６９．２　３６２．５　７１．１　１７７．０］。　根据最优控制理论得知，首先需确定系统的能控　性，通过计算得到能控矩阵Ｑ一［Ｂ　ＡＢ　ＡＢ　ＡＢ。ＡＢ　ＡＢ。］是满秩的。然后对系统（２）采取最　优控制策略，即在状态反馈Ｕ一一Ｋｘ的基础上，寻找　状态反馈变量Ｋ，使性能指标．，达到最小：　１　ｒ∞　Ｊ＝＝＝去Ｉ（　Ｑｌｚ＋ＵＴＲｌ“）ｄｔ．　厶Ｊ　０　（３）　其中：Ｑ　，Ｒ。分别为正定和半正定的实对称矩阵，且分　别是系统的状态变量　和控制量Ｕ的加权矩阵。Ｋ为　图１直线二级倒立摆模型结构图　参数　物理意义（单位）　取值　表１　直线二级倒立摆系统参数值　参数　物理意义（单位）　取值　Ｍｏ　Ｍｌ　小车系统的等效质量（ｋｇ）　下摆质量（ｋｇ）　１．１０２　３　Ｏ．１８０　Ｏ　，２　ＬＩ　上摆质心至旋转轴间的距离（ｍ）　上、下摆转轴之问的距离（ｍ）　０．２０３　９　０．４００　１　Ｍｚ　Ｊ１　Ｊ２　上摆质量（ｋｇ）　下摆对其质心处的转动惯量（ｋｇ・ｍ０）　上摆对其质心处的转动惯量（ｋｇ・ｍ０）　０．１２５　０　ｏ．００３　６　０．００３　４　小车系统的摩擦系数（Ｎｓ／ｍ）　Ｆ１　Ｆｚ　２０．１８９　７　０．００６　９　０．００２　１　下摆转轴处摩擦阻力距系数（Ｎｓ／ｍ）　上摆转轴处摩擦阻力距系数（Ｎｓ／ｍ）　Ｚ１　下摆质心至旋转轴间的距离（ｎ１）　０．２８５　０　Ｇ０　力与控制电压之比（Ｎ／Ｖ）　１０．９８１　２　Ｗ和　分别是系统噪声、量测噪声，其均值都为０，协　方差分别为Ｑ和Ｒ，且两者之间相互独立。　由卡尔曼滤波器构成的状态估计器为：　测噪声　ｉｆ　互＝＝＝（Ａ－－ＬＣ）　＋Ｂ“＋Ｌ　ｃｊ＋　・　：：＝’　ＬＱＧ调节器　图２控制方案图　２．３　卡尔曼滤波器设计　实际的倒立摆系统是包含系统过程噪声和量测噪　其中：奎为Ｋａｌｍａｎ滤波器的状态估计；　为滤波器的输　出估计；Ｌ为卡尔曼滤波器增益。在取期望ｌｉｍＥ［（ｘ－－　叠）（ｚ一圣）　］为最小条件下，上述滤波器为最优状态估　计器。　在系统（５）中，对于噪声输入矩阵Ｔ，如果其取值　过大，虽然系统受到噪声影响会明显，但是整个过程　中，系统状态变量的取值变化幅度较大，产生较大的抖　动，而且这样在实际中也会对系统造成一定的破坏；如　果取值过小，会凸显不出噪声的扰动作用。因此，根据　声的随机线性系统，６个状态变量在现实中是不能完　全测得的，为了解决此矛盾，就需要状态重构。给出受　扰系统状态方程如下：　Ａｚ＋Ｂ“＋　ＩＹ　一Ｃｘ＋　—．　’　（５）　…　其中：了、为系统噪声输入矩阵；Ｙ　为系统的测量输出；　・　１５２　・　机械工程与自动化　２０１４年第ｌ期　输入输出的幅值范围，取噪声输入矩阵Ｔ＝＝＝［Ｏ．１４　０．０５　０．０５　０　０　Ｏ］，取系统噪声的协方差Ｑ—ｌ，　量测噪声的协方差Ｒ一［１　０　０；０　ｌ　０；０　０　１］，可以得卡尔曼滤波器增益：　Ｏ．２Ｏ５　４　——型的基础上，考虑到系统状态不能完全可测，而且实际　系统也会不可避免地受到噪声的影响，因此采用了　ＬＱＧ方法进行研究。根据线性二次高斯最优控制的　分离原理，把最优控制中得到的状态反馈增益和卡尔　０．２５６　９　８．４Ｓ１　９　—０．２１０　７　２．４４３　６　０．２５６　９　Ｏ．２ｌＯ　７　—曼估计增益相结合，并且详细给出了相应参数矩阵的　嫒皲　取值规则。仿真表明控制效果较好。　Ｏ　∞　ｍ　２．４４３６　１．４５ｌ　６　３８．７３３５　～１４．１０４　９　１．６８６　３　２ｉ．９４９　８　ｌＯ２．４７９　６　目　＼　时　＼　Ｌ—　Ｏ．０５６　７　１．３Ｏｌ　４　１．９４３　４　—３３．２３０　ｌ　最后，根据控制方案，利用Ｋａｌｍａｎ估计器增益和　状态反馈增益构建起ＬＱＧ调节器。其调节器方程为：　ｒＵ一一Ｋ圣　卅　’　醚　ｋ　１［　．　－４一（Ａ—ＬＣ－－ＢＫ）圣＋Ｌ　．　（７）　３　ＭＡＴＬＡＢ仿真　利用ＭＡＴＬＡＢ仿真验证ＬＱＧ调节器的控制效　果。在仿真中，时间间隔ｔ　取值过小，会造成状态变　量受噪声影响过大，产生较大的抖动；仿真时间ｔ取值　过小，则系统可能还未达到稳定，仿真结果不明显。因　此，通过不断地试取和大量的仿真实验，取ｔ　一０．００１　Ｓ，ｔ＝＝＝３０　Ｓ，输入系统（５）中的噪声，得到直线二级倒立　ｔｆ　ａ　ｔｆ　Ｓ　ｔ／ｓ　（ａ）小车位移　（ｂ）下摆杆角度　（ｃ）上、下摆杆角度差　图４　ＬＱＧ控制后各状态量的变化　参考文献：　［１］杨振强，程树康，朴营国．二级倒立摆的递阶模糊神经网　络控制［Ｊ］．电机与控制学报．２００２，６（３）：２４５—２４８．　摆系统的仿真曲线如图３、图４所示。从最后的仿真　结果可以看出，噪声能够有效地被抑制，且滤波后的系　统具有较好的鲁棒性。　Ｏ．２５　０．０４　０．０２　Ｏ．２０　［２］王春民，栾卉，杨红应．倒立摆控制的设计与仿真［Ｊ］．吉　林大学学报（信息科学版），２００９，２７（３）：２４２—２４７．　［３］焦灵侠，张荷芳．二级倒立摆的模糊控制研究［Ｊ］．电子设　计工程，２００９，ｔ７（１０）：１０５—１０７．　ｉ　嘟　［４］孙大卫，曾静，张国良．基于卡尔曼滤波的一级倒立摆　ＬＱＲ控制研究［Ｊ］．实验技术与管理，２００７．２４（２）：３７—４０．　［５］侯岩松。李华．一种基于卡尔曼滤波器的单级倒摆Ｉ　ＱＲ　方法［Ｊ］．兰州交通大学学报，２００５。２４（４）：８５—８７，９１．　［６］李国欣，徐艳丽，蒋永洲．卡尔曼滤波器在倒立摆控制系　统中的应用［Ｊ］．长春大学学报，２００９。ｌ９（６）：１２—１４．　［７］虞培培，张永立，程会峰．无迹卡尔曼滤波算法在二级倒　立摆上的应用研究［Ｊ］．模糊系统与数学，２０１ｉ，２５（５）：　ｌ５８—１６３．　、、　０‘　＿　ｌ辎　ｆ　．　＊０．１０　１　０．０５　０．１２　０．１４　０　［８］祁虔，李祖枢，谭智，等．基于卡尔曼滤波的倒立摆控制系　统噪声抑制［Ｊ］．控制与决策，２０１０，２５（８）：１１４４—１１４８．　［９］叶建斌。郭鸿武．三级倒立摆的ＬＱＧ最优控制应用研究　［Ｊ］．汁算技术与自动化：２０１１．３０（４）：９－ｌ３．　４　［１ｏ］付梦印，邓志红，张继伟．Ｋａｌｍａｎ滤波理论及其在导航　系统中的应用［Ｍ］．北京：科学出版社。２００３．　Ｄｏｕｂｌｅ　Ｉｎｖｅｒｔｅｄ　Ｐｅｎｄｕｌｕｍ　Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ＬＱＧ　Ｏｐｔｉｍａｌ　Ｃｏｎｔｒｏｌ　ＳＵ　Ｈａｎｇ　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ａｎｄ　Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｓｈａｎｄｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｑｉｎｇｄａｏ　２６６５９０，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｏｒｄｅｒ　ｔＯ　ａｃｈｉｅｖｅ　ｔｈｅ　ｓｔａｂｌｅ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｆｏｒ　ａ　ｄｏｕｂｌｅ　ｉｎｖｅｒｔｅｄ　ｐｅｎｄｕｌｕｍ　ｓｙｓｔｅｍ。ｌｉｎｅａｒ　ｑｕａｄｒａｔｉｃ　ＧａＵＳＳ　ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｗａｓ　ａｐｐｌｉｅｄ．Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｓｅｐａｒａｔｉｏｎ　ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ　ｏｆ　ＬＱＧ。ｔｈｅ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｌａｗ　ｗａｓ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｏｐｔｉｍａｌ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｆｉｒｓｔｌｙ，ａｎｄ　ｔｈｅｎ　ａ　ｓｔａｔｅ　ｆｃｅｄｂａｃｋ　ｗａｓ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｗｈｅｒｅａｓ　ｔｈｅ　ｓｔａｔｅｓ　ｏｆ　ａ　ｓｙｓｔｅｍ　ｃａｎ’ｔ　ｂｅ　ｍｅａｓｕｒｅｄ　ｃｏｍｐｌｅｔｅｌｙ．ａｎｄ　ｔｈｅ　ｓｙｓｔｅｍ　ｃｏｕｌｄ　ｂｅ　ｉｎｅｖｉｔａｂｌｙ　ａｆｆｅｃｔｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｎｏｉｓｅ，ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｒｕｌｅ　ｏｆ　ｖａｌｕｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ　ｐａ＇ｒａｍｅｔｅｒｓ，ｔｈｅ　ｏｐｔｉｍａｌ　ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｙｓｔｅｍ　ｏｕｔｐｕｔｓ　ｗｅｒｅ　ｒｅｃｅｉｖｅｄ　ｂｙ　ｍｃａｎｓ　ｏｆ　Ｋａｌｍａｎ　ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ．Ｔｈｅ　ｃｏｎｃｌｕｓｉｖｅ　ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ　ｓｈｏｗｓ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｄｅｓｉｇｎｅｄ　ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ　ｓｔｅａｄｉｌｙ　ｄｏｍｉｎａｔｅｓ　ａ　ｄｏｕｂｌｅ　ｉｎｖｅｒｔｅｄ　ｐｅｎｄｕｌｕｍ　ｓｙｓｔｅｍ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ｓｙｓｔｅｍ　ｈａｓ　ａ　ｇｏｏｄ　ａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｎｏｉｓｅ　ａｂａｔｅｍｅｎｔ　ａｎｄ　ａｎｔｉ～ｉｎｔｅｒｆｅｒｅｎｃｅ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｄｏｕｂｌｅ　ｉｎｖｅｒｔｅｄ　ｐｅｎｄｕｌｕｍ　ｓｙｓｔｅｍ；ｌｉｎｅａｒ　ｑｕａｄｒａｔｉｃ　Ｇａｕｓｓ　Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ　ｃｏｎｔｒｏｌ：Ｉ　ＱＧ