ADF与PP单位根检验法对非线性趋势平稳序列的伪检验

ADF与PP单位根检验法对非线性

趋势平稳序列的伪检验

刘　田

(西南财经大学统计学院)

【摘要】ADF与PP单位根检验对无趋势或线性趋势平稳过程可给出正确的

结果。但蒙特卡罗实验表明,对非线性趋势而言,它们趋向于将平稳过程误判为有单位根。在一定条件下,各种非线性趋势可以看成准线性的,从而利用ADF与PP检验得出正确的结论。信噪比小于15倍时,PP检验可得出正确的结果;信噪比小于4倍时,ADF检验可得出正确的结果。对非线性趋势平稳序列的检验而言,PP优于ADF检验。随着干扰相对强度的增加,正确检验的可能性也大大增加。

关键词　单位根　伪检验　非线性趋势　ADF　PP中图分类号　F22410　　文献标识码　A

SpuriousTeststoNonlinearTrendStationarySeries

withADFandPPUnitRootTestMethods

　　Abstract:Tonon2trendorlineartrendstationaryprocess,ADForPPunitroottestcangiverightresult1Buttononlineartrend,MonteCarlotestshowsthattheytendtotakeastationaryseriesasaunitrootprocess1Undercertaincondi2tions,wecantreatnonlineartrendasquasi2linearanddrawrightconclusionusingADForPPtestmethod1PPcangiverightresultwhenSNR<15,andADFcanworkrightwhenSNR<41PPtestisbetterthanADFtoanonlineartrendstationa2ryprocess1Alongwiththeincreaseoftheratioofdisturbance,thepossibilitygrowsrapidlytogiverightresult1

Keywords:UnitRootTest;SpuriousTest;NonlinearTrend;ADF;PP

引　　言

实证分析经常涉及时间序列的处理。不管是多变量的回归分析,还是用ARMA模型来

描述和刻画单个时间序列,平稳性要求都是一个基本前提。回归分析要求变量是平稳的,否

χ2等检验都不能使用,必然引起谬误回归,得出两个时间变量间的错误相则基本的t、F、

关关系。ARMA模型也要求描述和刻画的对象必须是平稳的。所谓平稳,就是随机变量的

・138・《数量经济技术经济研究》2008年第6期

概率分布不随时间变化,如果变量的均值、方差和协方差不随时间变化,就可以认为变量是(宽)平稳的。

经济数据时间序列常常有一个随时间不断增长的确定性趋势,此时序列虽然是非平稳的,但如果去掉趋势项后,剩余项却可能是平稳的,此时称为趋势平稳。剩余项不平稳的话,称为单位根过程。

区分趋势平稳与单位根过程是非常重要的。趋势平稳的经济变量长期结果是由确定性的时间趋势函数决定的,经济转型、政权更替、制度变化等随机冲击只造成对趋势的暂时偏离。而对单位根过程而言,任何哪怕较小的冲击都会带来长期永久的影响。

因此,平稳性的检验非常重要。如何判断时间序列的平稳性呢?除了判断自相关函数(ACF)的零收敛性以外,单位根检验是一个基本的定量检验方法。常用ADF或者PP检验来判断是否存在单位根,它们可以准确地判断无趋势或线性趋势过程是否存在单位根,即是否是平稳的。但两者对数据生成过程非常敏感,应用于其他非线性趋势情形的检验可能存在很大的疑问,甚至带来完全错误的结果。比如,Nelson与Plosser在1982年用ADF方法检验14个美国宏观经济数据,发现存在13个单位根过程。但Perron在1989年引入结构变点后发现,真正的单位根过程只有3个。用ADF或者PP检验来认定一个过程存在单位根需要非常谨慎。

本文通过蒙特卡罗仿真实验,研究了ADF与PP检验对平方根趋势、二次趋势、对数趋势、结构变化的分段线性趋势及准线性趋势等常见非线性趋势平稳过程的检验。结果表明,ADF与PP检验对非线性趋势平稳过程的检验基本失效,只在有限的条件下可以作出正确的判断。检验过程中,ADF与PP的滞后项分别取(N-1)1/3、4(N/100)1/4,其中N为时间序列的长度,比如检验中取300的话,ADF与PP检验的滞后项分别取为6、5。

假设时间序列Yt由趋势项St与干扰项μt构成:

Yt=St+μt

(1)

其中,St为确定性时间趋势项;μt为随机干扰项(假设是均值为0,标准方差为δ的正

2

))。很明显,正态干扰项是平稳的,不存在单位根。根据ADF与PP检态分布N(0,δ

验,趋势项与干扰项同比例增大或减小时,计算出的检验量是不变的;但趋势项与干扰项相

对大小的变化会得出不同的检验量。我们用趋势项与干扰项标准方差的比值来衡量其相对大小,称为信噪比:

μSNR=δs/δ

(2)

一、平方根趋势平稳时间序列的单位根伪检验

假设时间序列Yt的确定性趋势项为St=10(t+100)015,t取1到300的整数,即序列

长度为300,趋势项的样本方差为803129,标准方差为28134;随机干扰项μt为白噪声,满足标准正态分布N(0,1)。

11ADF与PP检验法的单位根伪检验

很明显,因干扰项为标准正态分布的白噪声,加上确定性时间趋势项后的时间序列应该是趋势平稳的。我们分别用标准的ADF与PP单位根检验方法做200次蒙特卡罗仿真试验,发现存在单位根的概率分布如图1所示。

ADF与PP单位根检验法对非线性趋势平稳序列的伪检验・139・

图1　平方根趋势平稳序列200次仿真实验存在单位根的概率分布

可以看出,不管显著性水平取0101、0105或011,ADF均每次判定存在单位根,误判

序列是非平稳的;PP检验误判的可能性要小些,在011的显著性水平下,每次均判断不存在单位根,为趋势平稳,但如果取较小的显著性水平,误判为存在单位根的次数大幅增加。

21信噪比改变的单位根检验结果

让确定性趋势项保持不变,正态随机干扰项的标准方差从011增加到10,每次增加011,共做100次仿真实验,检验结果如图2所示。图2　平方根趋势平稳序列干扰项方差变化时检出存在单位根的概率分布

可以看出,在干扰项方差很小,趋势项与干扰项的标准方差之比(信噪比)特别大时,或者信噪比较小时,ADF都能够正确检验;在信噪比为6～71的范围内,判断存在单位根的概率很高,检验失效。对PP检验而言,在信噪比低于30倍时,PP能够作出正确检验;但随着信噪比的增加,误判概率急剧增加,检验完全失效。

二、二次趋势平稳时间序列的单位根伪检验

假设时间序列Yt的确定性趋势项为时间的二次形式,St=010007(t+100)2,t取1到

・140・《数量经济技术经济研究》2008年第6期

300的整数,即序列长度为300,趋势项的样本方差为947163,标准方差为30178;μt为干扰项,取为标准正态分布N(0,1)。

11ADF与PP检验法的单位根伪检验

同样,因干扰项为标准正态分布的白噪声,加上确定性时间趋势项后的时间序列应该为趋势平稳的。我们分别用标准的ADF与PP单位根检验方法做200次蒙特卡罗仿真试验,发现存在单位根的概率分布如图3所示。

图3　二次趋势平稳序列200次仿真实验检出存在单位根的概率分布可以看出,不管显著性水平设为0101、0105或011,ADF与PP检验均每次判定存在

单位根,得出完全错误的结论。21信噪比改变的单位根检验结果让确定性趋势项保持不变,正态随机干扰项的标准方差从011增加到10,每次增加011,共做100次仿真实验,检验结果如图4所示。

图4　二次趋势平稳序列干扰项方差变化时检出存在单位根的概率分布

可以看出,在干扰项方差很大,信噪比较小时,ADF与PP都能够正确检验;但随着信

ADF与PP单位根检验法对非线性趋势平稳序列的伪检验・141・

噪比的增加,两者误判的概率都急剧增加。对ADF检验而言,在信噪比低于315倍时,大致能够作出正确检验。对PP检验而言,在信噪比低于1515倍时,能够作出正确检验。

三、对数趋势平稳时间序列的单位根伪检验

假设时间序列Yt的确定性趋势项St=150log(t+300),t取1到300的整数,即序列长度为300,趋势项的方差为880148,标准方差为29167;μt为干扰项,取为标准正态分布N(0,1)。

11ADF与PP检验法的单位根伪检验

同样,因干扰项为标准正态分布的白噪声,加上确定性时间趋势项后的时间序列应该为趋势平稳的。我们分别用标准的ADF与PP单位根检验方法做200次蒙特卡罗仿真试验,发现存在单位根的概率分布如图5所示。

图5　对数趋势平稳序列200次仿真实验检出存在单位根的概率分布

可以看出,不管显著性水平设为0101、0105或011,ADF均每次判定存在单位根;PP检验在011的显著性水平下,有超过一半的机会判断不存在单位根,为趋势平稳,但如果取较小的显著性水平,误判为存在单位根的次数大幅增加。

21信噪比改变的单位根检验结果

让趋势项保持不变,正态干扰项的标准方差从011增加到10,每次增加011,共做100次仿真实验,检验结果如图6所示。

可以看出,在干扰项方差很小,信噪比特别大时,或者信噪比较小时,ADF都能够正确检验;在信噪比为715～100的范围内,错误检验的概率很高。对PP检验而言,在信噪比低于25倍时,PP能够作出正确检验;但随着信噪比的增加,误判概率急剧增加。

四、结构突变平稳时间序列的单位根伪检验

大量文献对结构突变情况下的ADF检验进行了研究(张建华、涂涛涛,2007),为了对检验结果进行对比,本文取其同样的数据生成过程作进一步研究。时间趋势项St为两段线性的,当t∈[1,500]时,St=100+019t;当t∈[501,1000]时,St=300+015t。总μ共1000个数据项,趋势项的方差为4167313,标准方差为204114。t为干扰项,取为标准

正态分布N(0,1)。

11ADF与PP检验法的单位根伪检验

很明显,因干扰项为标准正态分布的白噪声,加上确定性时间趋势项后的时间序列应该

・142・《数量经济技术经济研究》2008年第6期

图6　对数平稳序列干扰项方差变化时检出存在单位根的概率分布为趋势平稳的。我们分别用标准的ADF与PP单位根检验方法做200次蒙特卡罗仿真试验,

发现存在单位根的概率分布如图7所示。

图7　分段线性趋势平稳序列200次仿真实验检出存在单位根的概率分布

可以看出,不管显著性水平设为0101、0105或011,ADF与PP检验均每次判定存在单位根,为非平稳的,得出完全错误的结论。

21信噪比改变的单位根检验结果

让趋势项保持不变,随机正态干扰项的标准方差从017增加到70,每次增加017(因此

例确定性趋势项的方差较大,故增加干扰项方差增加的步长),共做100次仿真实验,检验结果如图8所示。

可以看出,在干扰项方差很大,信噪比较小时,ADF与PP都能够正确检验;但随着信噪比的增加,两者误判的概率都急剧增加。对ADF检验而言,在信噪比低于5倍时,大致能够作出正确检验。对PP检验而言,在信噪比低于25倍时,PP能够作出正确检验。结果同时表明,张建华、涂涛涛(2007)的结论并不完整,它只是在固定干扰项为标准正态分布

ADF与PP单位根检验法对非线性趋势平稳序列的伪检验・143・

图8　结构突变平稳序列干扰项方差变化时检出存在单位根的概率分布时做的实验,没有注意到干扰项方差变化时对检验结果的重大影响。在引用其结论时务必注意这一点,否则容易得出错误的结论。

五、线性及准线性平稳时间序列的单位根检验分析

11信噪比改变时线性趋势平稳的单位根检验结果

设确定性趋势项为线性趋势,St=0135(t+100),t取1到300的整数,趋势项的方差

2

μ为921181,标准方差为30136。t为干扰项,取为正态分布N(0,δ)。让趋势项保持不

变,正态干扰项的标准方差从011增加到10,每次增加011,共做100次仿真实验,检验结果如图9所示。

可以看出,不管干扰项方差多大多小,ADF与PP都能够作出完美的检验。21准线性趋势平稳的单位根检验结果

考虑趋势项St=0135(t+100)b,t取1到300的整数。如果幂指数b在1附近取值,

μ比如b∈(015,115),我们称为准线性趋势。t为干扰项,为标准正态分布N(0,1)。因为ADF与PP检验结果都依赖信噪比SNR,为了在同样的信噪比下比较不同幂指数对检验结果的影响,我们先对趋势项用样本标准方差作归一化,再乘上信噪比,于是时间序列为:

Yt=St/δSNR+N(0,1)S×

(3)

分别在15、30、50倍信噪比的情况下,对不同幂指数的准线性趋势平稳情况进行单位根检验,结果如图10、11、12所示。

可以看出,在15倍信噪比的情况下,对ADF检验而言,b∈(018,112)可看成是线性趋势的;对PP检验而言,b∈(015,115)都可看成是线性趋势的。在30倍信噪比的情况下,对ADF检验而言,b∈(019,111)可看成线性趋势的;对PP检验而言,b∈

(0157,1143)可看成是线性趋势的。在50倍信噪比的情况下,对ADF检验而言,b∈

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(0192,1108)可看成是线性趋势的;对PP检验而言,b∈(0175,1125)可看成是线性趋

势的。在可看成线性趋势的范围,可以用ADF与PP检验对非线性趋势平稳序列作出完全

ADF与PP单位根检验法对非线性趋势平稳序列的伪检验・145・

图12　50倍信噪比不同幂指数准线性平稳序列检出存在单位根的概率

正确的检验。

六、结　　论

本文通过蒙特卡罗实验表明,ADF检验与PP检验对数据生成过程非常敏感,它们对线性趋势或无趋势平稳过程可以作出很好的检验判断。但对非线性趋势而言,如平方根趋势、二次趋势、对数趋势、分段线性的结构突变趋势等,ADF检验与PP检验趋向于将平稳过程判断为存在单位根,得出错误的检验结果。真实的经济数据很难令人信服地假设为线性趋势过程。不注意这一点,轻易引用ADF或PP检验的结果常常得出错误的结论,误将非线性趋势平稳过程判断为存在单位根的非平稳过程。当然,在一定的条件下,各种非线性趋势可以看成准线性的,从而利用ADF与PP检验得出正确的结论。

仿真实验表明,信噪比小于15倍时,非线性趋势过程可以看成准线性的,用PP检验得到正确的检验结果;信噪比小于4倍时,非线性趋势过程可以看成准线性的,用ADF检验得到正确的检验结果。实验同时表明,对非线性趋势平稳的检验而言,PP检验得到正确结论的可能性要好于ADF检验。随着干扰项对趋势项相对强度的增加,正确检验的可能性也大大增加。

参考文献

[1]P1Perron,1988,TrendsandRandomWalksinMacroeconomicTimeSeries[J],JournalofEco2nomicDynamicsandControl,12,297～3321

[2]S1E1Said&D1A1Dickey,1984,TestingforUnitRootsinAutoregressive2MovingAverageMod2elsofUnknownOrde[J],Biometrika,71,599～6071

[3]张建华、涂涛涛:《结构突变时间序列单位根的“伪检验”》[J],《数量经济技术经济研究》2007

年第3期。

[4]栾惠德:《带有结构突变的单位根检验》[J],《数量经济技术经济研究》2007年第3期。

(责任编辑:朱长虹;校对:吕小玲)