极坐标与参数方程教案

【教学目标】

1、知识目标：（1）掌握极坐标的意义，会把极坐标转化一般方程

（2）掌握参数方程与一般方程的转化

2、能力目标：通过对公式的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力，多方面考虑事物，培养他们的创新精神和思维严谨性．

3、情感目标：培养学生数形结合是思想方法．

【教学重点】

1、极坐标的与一般坐标的转化 2、参数方程和一般方程的转化 3、几何证明的整体思路

【教学难点】

极坐标意义和直角坐标的转化 【考点分析】

坐标系与参数方程和几何证明在广东高考中为二者选一考，一般是5分的比较容易的

题，知识相对比较独立，与其他章节联系不大，容易拿分．根据不同的几何问题可以建立不同的坐标系，坐标系选取的恰当与否关系着解决平面内的点的坐标和线的方程的难易以及它们位置关系的数据确立．有些问题用极坐标系解答比较简单，而有些问题如果我们引入一个参数就可以使问题容易入手解答，计算简便．高考出现的题目往往是求曲线的极坐标方程、参数方程以及极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化，并用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题，交点问题和位置关系的判定．

【基本要点】

一、极坐标和参数方程：

1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．

2．点M的极坐标：设M是平面内一点，极点Ｏ与点M的距离OM叫做点M的极径，记为以极轴Ｏx为始边，射线OM为终边的∠XOM叫做点M的极角，记为．有序数对(,)；

1

叫做点M的极坐标，记为M(,). 极坐标(,)与(,2k)(kZ)表示同一个点．极点O的坐标为(0,)(R).

3．极坐标与直角坐标的互化：

2x2y2,ysin,xcos, ytan(x0)x4．圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程是

r；

在极坐标系中，以 C(a,0)(a>0)为圆心， a为半径的圆的极坐标方程是2acos； 在极坐标系中，以 C(a,2 )(a>0)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是 2asin；

5．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t

xf(t),的函数 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲

yg(t),线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．

xarcos,6．圆(xa)(yb)r的参数方程可表示为(为参数).

ybrsin.222xacos,x2y2 椭圆221(a>b>0)的参数方程可表示为(为参数).

abybsin.x2pt2,(t为参数). 抛物线y2px的参数方程可表示为y2pt.2 经过点MO(xo,yo)，倾斜角为的直线l的参数方程可表示为数）．

xxotcos,（t为参

yyotsin.

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【典型例题】

题型一：极坐标与直角坐标的互化和应用 例1、（1）点M的极坐标(5,23)化为直角坐标为（ ）B A．(52,535535535532) B．(2,2) C．(2,2) D．(2,2) （2）点M的直角坐标为(3,1)化为极坐标为（ ）B A．(2,56) B．(2,7116) C．(2,6) D．(2,6) 评注：极坐标和直角坐标的互化，注意角度的范围．

变式1：（1）点2，2的极坐标为 ． （2）在极坐标系中，圆心在A(1,4)，半径为1的圆的极坐标方程是___________ ．

评注：注意曲线极坐标与直角坐标的互化之间的联系．

例2、（1）曲线的极坐标方程4sin化 成直角坐标方程为（ ）

A.x2+(y+2)2=4 B.x2+(y-2)2=4

C.(x-2)2+y2=4 D.(x+2)2+y2=4

【解析】将ρ=yx2y2，sinθ=x2y2代入ρ=4sinθ，得x2+y2=4y，

即x2+(y-2)2=4.∴应选B.

（2）⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为=4cos,=-4sin. 把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程； 求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程.

3

【解析】以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长

度单位.（1）x=cos,y=sin,由=4cos,得2=4cos.

所以x2+y2=4x.即x2+y2-4x=0为⊙O1的直角坐标方程.同理x2+y2+4y=0为⊙O2的直角坐标方程.

22x0,x2,xy4x0,（2）由22解得1或2 即⊙O1，⊙O2交于点（0，0）和（2，-2）.

y10,y22.xy4y0,过交点的直线的直角坐标方程为y=-x.

变式1：极坐标ρ=cos(

A.双曲线

4

)表示的曲线是（ ）

B.椭圆

C.抛物线 D.圆

【解析】原极坐标方程化为ρ=

12(cosθ+sinθ)22=ρcosθ+ρsinθ，

∴普通方程为2(x2+y2)=x+y，表示圆.应选D.

变式2：在极坐标系中与圆4sin相切的一条直线的方程为（ ）

A．cos2 B．sin2 C．4sin() D．4sin()

33

22【解析】A 4sin的普通方程为x(y2)4，cos2的普通方程为x2 圆

x2(y2)24与直线x2显然相切．

例3、在极坐标系中，已知两点P（5，

π变式1、在极坐标系中，直线ρsin(θ+)=2被圆ρ=4截得的弦长为 ．

45），Q(1,)，求线段PQ的长度； 44

4

变式2、在极坐标系中，点1,0到直线cossin2的距离为 ．

例4、极坐标方程分别为2cos和sin的两个圆的圆心距为____________；

变式1、把极坐标方程cos()1化为直角坐标方程是 ．

6

变式2、在极坐标系中，圆心在(2,)且过极点的圆的方程为_ .

变式3、在极坐标系中，若过点A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线4cos于A、B两点，

则|AB|_________ _．

题型二：参数方程的互化和应用

x12t例1、若直线（t为参数）与直线4xky1垂直，则常数k= .

y23tx1t变式1、设直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的方程为y=3x+4则l1与l2的

y13t距离为_______

x13t变式2、已知直线l1:又点A(1,2)，(t为参数)与直线l2:2x4y5相交于点B，

y24t则AB_______________。

1x2t2变式3、直线(t为参数)被圆x2y24截得的弦长为______________。 y11t2

5

x3tx33cos,例2、经过曲线C：(为参数)的中心作直线l:（t为参数）的垂线，

y3siny3t求中心到垂足的距离．

x33cos,【解析】由曲线C的参数方程消去参数，

y3sin得(x-3)2+y2=9.曲线C表示以（3，0）为圆心，3为半径的圆. 由直线l的参数方程x3ty3t,消去参数t,得y=

3x. 3表示经过原点，倾斜角为30°的直线.

如图,在直角三角形OCD中，OC=3，∠COD=30°， 所以CD=，所以中心到垂足的距离为.

3232

2x2sin变式1、将参数方程(为参数)化为普通方程为（ ） 2ysinA．yx2 B．yx2 C．yx2(2x3) D．yx2(0y1)

xsin2变式2、下列在曲线(为参数)上的点是（ ）

ycossinA．(,2) B．(1231,) C．(2,3) D．(1,3) 42

xsincos变式3、P是曲线（[0 , 2)是参数）上一点，P到点Q(0 , 2)距离

y1sin2的最小值是 ．

x2cosy（选讲）变式4、已知点P（x,y）在曲线(为参数)上，则的取值范围

xysin为 ．

6

ttxee例4、参数方程(t为参数)的普通方程为__________________。 tty2(ee) 变式

1xt,t（t为参数）的普通方程为__________________。 1、参数方程y1tt1xt①t

【解析】由∴①2-②2得，x2-y2=4,方程表示双曲线.

y1②t t

题型三：参数方程与圆锥曲线 例1、参数方程

x4sin（为参数）的普通方程为__________________。

y5cosxsinx4sin① 4x222

【解析】,得①+②，得

16yy5coscos②

5 例

y2=1表示椭圆. 25x22、（选讲）在平面直角坐标系xOy中，设P(x,y)是椭圆+y2=1上的一个动点，求S=x+y

3的最大值.

x3cosx22

【解析】 由椭圆+y=1的参数方程为(为参数)，

3ysin可设动点P的坐标为（3cos,sin）,其中0≤＜2.

31=2sin（+）. cossin因此，S=x+y=3cos+sin =2·232所以当=

时，S取得最大值2. 6变式1： 已知2x2+3y2-6x=0 （x,y∈R），则x2+y2的最大值为 . 【解析】 9

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题型四：综合运用

例1、以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中 取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为x12cos (R)，它与曲线4y22sin（为参数）相交于两点A和B，则|AB|=_______.

例2、在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为xcos,[0,]，以x轴的正半轴为极

ysinb．若曲线C1与C2有两个

sincos轴建立极坐标系，曲线C2在极坐标系中的方程为不同的交点，则实数b的取值范围是 ．

例3、在极坐标系下，已知圆O：cossin和直线l:sin( （1）求圆O和直线l的直角坐标方程；

（2）当0,时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．

4)2， 2x8cos,x4cost,例4、 已知曲线C1： （t为参数）， C2：（为参数）。

y3sin,y3sint,（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（2）若C1上的点P对应的参数为t2，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线

x32t, （t为参数）距离的最小值。 C3:y2t

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【巩固练习】

1．直线：3x-4y-9=0与圆：x2cos，(θ为参数)的位置关系是（ ）

y2sinA.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心

x3t222．曲线的参数方程为(t是参数)，则曲线是（ ）

2yt1A、线段 B、双曲线的一支 C、圆 D、射线

2的极坐标为 ． 3、点2，

4、已知直线l经过点P（1，1），倾斜角=

5、极坐标系中，圆=10cos的圆心坐标为 ．

3，直线l的参数方程为 ． 6

6、点P的直角坐标为(1,-3),则点P的极坐标为 ．

，则|AB|=___________，SAOB______．7、若A3，，B4，（其中O是极点）

36

8、极点到直线cossin3的距离是_ _____．

52x5cosxt9．（2011广东文）已知两曲线参数方程分别为（0<）和，4（tR）

ysinyt它们的交点坐标为 ．

9

x12t,xs,10．（09广东）若直线l1:（t为参数）与直线l2:（s为参数）垂直，

y12s.y2kt.则k ．

11．（09福建）直线：3x-4y-9=0与圆：

x2cos，(θ为参数)的位置关系是 ．

y2sinx22t3距离等于2的点的坐标12．（09江苏）直线t为参数上与点P2，y32t是 ．

x2y21上一点P与定点（13、求椭圆1，0）之间距离的最小值． 94

【课后练习】

1xtt,（t为参数，t0）.求曲线C的普通方程。 1、已知曲线C的参数方程为y3(t1)t

0≤2、已知曲线C1，C2的极坐标方 程分别为cos3，4cos≥0，则曲线C1与C2交点的极坐标为

π ，2

10

3、已知直线l的参数方程：x2t22sin，（t为参数），圆C的极坐标方程：

4y14t试判断直线l与圆C的位置关系．

4、（求曲线

5、在极坐标系中,设圆3上的点到直线cos3sin2的距离为d最大值为

xsin过点(0,2)的切线方程为

ycos26、若两条曲线的极坐标方程分别为1与2cos，它们相交于A,B两点，求线段

3AB的长．

x1t(t为参数)和直线l2:xy230的交点P的坐标，7、求直线l1:及点P与

y53tQ(1,5)的距离。

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【拓展练习】

1、（2009厦门英才学校）（极坐标与参数方程）求极坐标系中，圆2上的点到直线

cos3sin6的距离的最小值．

2、（2009通州第四次调研）求经过极点O(0,0),A(6,

3、（2009厦门十中）（极坐标与参数方程）已知圆C的参数方程为

2),B(62,9)三点的圆的极坐标方程. 4x12cos,为参数 ，若P是圆C与x轴正半轴的交点，以原点O为极点,x轴的正y32sin半轴为极轴建立极坐标系，设过点P的圆C的切线为l，求直线l的极坐标方程．

x2y21上找一点，使这一点到直线4、（2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练）在椭圆

1612x2y120的距离的最小值。

5、（2007—2008泰兴市蒋华中学基础训练）已知点P(x,y)是圆xy2y上的动点， （1）求2xy的取值范围；（2）若xya0恒成立，求实数a的取值范围。

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