子矩阵约束下AXB=C的最小二乘解及其最佳逼近

子矩阵约束下ＡＸＢ＝Ｃ的最小二乘解及其最佳逼近　石　俊　（宜春学院数学与计算机科学学院　３３６０００）　【摘　要】本文利用矩阵的广义奇异值分解（ＧＳＶＤ）和标准相关分解　。　（ＣＣＤ）给出了矩阵方程ＡＸＢ＝Ｃ在子矩阵约束下的最小二乘解的表达　式，另外，给出了解集合中与给定矩阵的最佳逼近解的表达式以及求解　最佳逼近解的数值算法和数值算例。　【关键词】矩阵方程；广义奇异值分解；标准相关分解；最佳逼近解　ｕｊ（　）Ｖ３一ｌ　：　｝ｒ．＿￣－ｒ－ｔ　（ｘｌ，　１２　ｒ　Ｆｌ，　Ｆ　叉：　／　ｒｅ；。　：　１３…／，，　则ｌｌ又～Ｘ　ｌｌ—ｍｉｎ　Ｉ｛ｘ—Ｘ‘ｌ　的解又可表示为：Ｉ　１引言　本文使用　表示全体ｍＸ　ｎ实矩阵集合，用Ｉ　表示ｎ阶单　，其巾ｅｔ表示Ｉ　的第ｋ列，用　位矩阵，　一（ｅｔ，…，ｅａ，ｅ，）Ｅ　ＯＲ＂　表示全体ｎＸ１３．实正交矩阵，用ｌｌ・【ｌＦ表示矩阵的Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ　范数，用Ａ＊Ｂ表示两个ｍ×ｎ矩阵Ａ和Ｂ的Ｈａｄａｍａｒｄ乘积，即Ａ　又　。一ｕ　Ｉ　ｓ７　Ｆ　Ｓ７　（Ｆ丢一　Ｉ２＆）　’　ｘ．］ｌ　ｉ　又；　Ｘ；　又：　Ｉ　一　（７）　＊Ｂ一（　ｂ　），１　ｉ　ｍ，１　ｊ　ｎ，Ａ［ｈ　ｑ］表示矩阵Ａ的从第ｌ行到第　ｑ行，从第１列到第ｑ列的ｑ一１＋１阶主子式。　矩阵方程是线性数值代数的重要研究领域之一，近几年来，对　矩阵方程　ＡＸＢ＝：Ｃ　（１）　，　ｌ　ｌ１　：２　Ｊ－’１　３、　（萎　）一　：　Ｆ　｛　３数值算法及数值算例　根据上述论述，我们给出求解问题ＩＶ的数值算法，算法步骤　如下：　，，．．已经做了大量研究，其中ｘ为未知矩阵，在文中我们给出了　矩阵方程（１）的一般解，对称解和中心对称解的条件及其有解时的　表达式，我们知道子矩阵约束问题在信息理论、线性系统理论以及　数字分析理论中都有广泛的应用，彭振埘等就矩阵反问题ＡＸ—Ｂ　给出了对称矩阵和中心对称矩阵在子阵约束下的解的表达式，然　而对于矩阵方程ＡＸＢ＝Ｃ在子阵约束下的最小二乘解至今还没有　相关的文章，同时对于最佳逼近问题由于受到范数不变性的制约，　１把矩阵Ａ，Ｂ进行分块，得到矩阵Ａｚ，Ｂ．，Ｂｚ；　２把矩阵对［Ａ　，Ａ］，［　，　］进行标准相关分解，确定正交　矩阵ＵＩ，Ｖｉ；　３把矩阵对［Ａ　，Ａ］，ＥＢ　，Ｂｊ］进行广义奇异值分解，确定正　交矩阵Ｕ：，ｖ２，Ｕ　，Ｖ３；　４确定Ｘ　，Ｘ　，得到Ｘ；　使得相应的最佳逼近问题也没有有效地解决。因此，本文我们利　用了广义奇异值分解和标准相关分解以及投影定理等知识，讨论　矩阵方程ＡＸＢ＝Ｃ在子阵约束下的最小二乘解及其最佳逼近。　２主要结论　５把Ｘ　进行相应分块；　６得到文　例，假如矩阵Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｘ’，Ｘ。如下所示　１　２　５　８　３　６　９　４　７　１０　，定理１设矩阵ＡＥＲｐ　，ＢＥ　ｑｃＥＲｐ　，ｘ０∈　，则　４　２　ｌ　～３　一ｌ　３　ｌ　０　４　７　—２　５　５　８　６　４　【　ｌＡｘＢ—ｃｌ　ｌ一ｍｉｌｌ的解为：ｘｆｘ。　ｘ１　１　＼Ｘ２１　Ｘ２２／　（４）　ｘｌ３、　７　Ａ　Ｂ一　一１０　Ｉ１　ｌ２　Ｉ３　ｌ３　１４　１５　ｌ６　ｌ　２　４　７　４　２　其中：　ｒ　Ｆ　Ｆ　１　Ｏ　～１　Ｘ２】一Ｕ２　Ｉ　ｓ　Ｆ　ｓ＿ｌ’（Ｆ　一ｓ２Ｙ　ｓ４）　）Ｘ　２３｛ｕ　ｊ　＇１６　１７　１８　１９　２　７　Ｘ　一　２　７　７　９　１１　ｌ１　０　Ｃ一　９　５　一ｌ　７　—５　ｌ　２　８　９　３３　４　９　ｌＯ　ｒＹｌｌ　Ｙｌ２　Ｙ】３　、　（　）　Ｉ≥：　Ｙ２２　，　｛　其中ｘ　，ｘ　Ｙ　Ｙ　ｘ　，ｉ＝１，２，３为适当阶数的任意矩阵。　定理２设Ｘ　∈　，其他相关条件和符号与定理１相同，记　１０　一ｌ３　１２　Ｏ　７　一ｌ５　ｘ。一ｘ　一（　：　）　一ｓ　３　ｌ　２ｌ　—ｌ　～０　８３　１６—６　２７—１４　５　—７　（三　（下转第１４８页）　４　—１２　～和政治修养；②较强的心理素质，较高语言表达能力；③相当的教　育学和心理学知识；④较丰富的工作经验和人生阅历；⑤缜密的逻　缉思维能力和较高的组织能力；⑥虚心的学习态度和高度的责任　心；⑦较强的情感体验能力。　现代媒体广泛推广。　２、“三结合”指：一是集中培训与分散学习相结合。既发挥大　规模党课容易形成教育氛围的优势，又针对不同文化层次和思想　状况，发挥基层党小组的优势。二是专题讲座与党员自学相结合。　一高校学生党员实施导师制时应该注意：　１、要选取在近年来开展的“党员先进性教育”、“党员先锋岗工　方面根据时事热点和重要理论精心设计专题讲座，提高学生党　员认识问题分析问题的能力。另一方面要求学生党员紧跟培训内　容，查阅资料、做笔记、写心得。三是将党校培训与党员日常管理、　党支部建设相结合。在党校培训期问，都安排以院系为单位的党　组织生活会，或开展批评和自我批评的民主生活会，要求每一位党　员对自己的思想、学习、工作进行总结。　（三）探索施行学生党员综合测评。为进一步加强对学生党员　程建设”和“三育人”等活动中涌现的具有较高政治素质和个人修　养的优秀教师党员作为备选导师。以此改变了学生党员政治理论　学习缺少老师指导、党建工作队伍结构过于单一等情况。　２、导师与学生党员双向选择，因为“亲其师”才能“信其道”。　导师引导学生党员从理论学习、课程学习、学科竞赛、考级考证、社　会实践等方面对学生党员提出了具体要求，鼓励学生党员积极参　与适合自己的学科竞赛活动、科研活动和社会实践活动等，不断提　升自身学习能力、实践能力和创新能力。　３、施导和受导的内容、方式、频率等都要有明确规定，最好确　定类似“心灵契约”之类的约定。同时我们还要加强对于导师在工　作过程中的指导工作，会诊工作，评价工作。　４、要严明导师奖惩方法：按学年对被评定为优秀导师的教师给　予一定的奖励，优秀学生导师享受班主任培训，参观学习，疗养等待　的教育、管理，切实提高学生党员的整体素质，使学生党员管理工　作制度化、规范化，有必要探索施行学生党员综合测评。学生党员　综合测评，是指对学生党员各方面的表现依据测评的内容进行全　面的考核，并进行量化，从而确定每个学生党员所处的等级。　ｌ、考核内容：思想政治素质、专业学习表现、日常行为规范、社　会工作表现、表率作用发挥五方面。　２、考核方法：采取学生党员自评、班级考评、党支部评审相结　合的方式。考核周期为一学期，考核时问为每学期期末。学生党　员本人白评应实事求是；在此基础上，班级成立由学生干部代表、　普通学生代表组成的考评小组对本班党员进行考评，考评小组人　数不少于班级总人数的ｌ０　；在各班考评小组考核的基础上，最后　遇，将党员导师制开展的优劣与教师的评奖、评优、晋升联系起来。　５、发挥团队力量，集体智慧公关。定期召开导师经验交流会，　宣扬褒奖先进经验，从精神上给予先进导师激励。当学生党员遇　到棘手问题或困难时，不拘泥于某导师，以集体的智慧提高效果。　（二）探索“二突出”“三结合”的培训形式。１、“二突出”指：一　是突出社会实践大课堂的教育作用。在高校学生党员教育中，有　由各学生党支部结合党员日常表现进行综合评审。分数计算方　法：党员自评分数　３０％＋班级考评分数・４ｏ　＋党支部评审分　数　３０￣，５＋加减分项。　目的、有计划、有针对性地组织社会实践活动，精心选择活动地点，　根据学生党员专业及学历层次进行不同编队，并组织参加不同社　会实践活动的学生党员互相参观学习，通过畅谈交流心得体会，扩　大社会实践教育的成果。二是突出党员间思想交流的教育作用。　３、需要注意的是：一是必须建立综合测评工作机制，成立考核　小组，确保综合测评的准确性；综合测评工作要持之以恒，并对测　评结果必须给予相应的处理意见及采取必要的教育措施以保证综　合测评的作用。　综合测评的结果排除了凭印象和主观的看法，可以有效杜绝　学生部分学生党员入党后的懈怠情绪，促使广大学生党员迅速实　现从组织入党到思想入党飞跃。　学生党员是学生队伍中的骨干力量和先进分子，他们具有相近的　年龄、经历和成长环境，他们之间的思想交流更具亲切感和可比　性。在实际操作中要注意及时发现闪光点并总结宣传，利用多种　Ｉ上接第１４２页）　按照上述算法进行计算，将矩阵对［Ａ　，Ａ］，［ＢＴ，ＢＴ］进行广义　奇异值分解，确定正交矩阵ｕ　，　，　，　：　／一０．５２５７　—０．８５０７、　【参考文献】　［１］Ｌｉａｏ　Ａ　Ｐ，Ｂａｉ　Ｚ　Ｚ．Ｌｅａｓｔ—ｓｑｕａｒｅｓ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ＡＸＢ—Ｄ　ｏｖｅｒ　ｓｙｎ＇ａｎｅｔｒｉｅ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｓｅｍｉｄｅｆｍｉｔｅ　ｍａｔｒｉｃｅｓ　Ｘ　．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｅｓ＇　Ｕ２一ｆ＼　０．８５０７　０．５２５７』　Ｏ．５２４６　１，　０．１２０８　０．１９５４　２０ｏ３（２１）：６７１—６７８．　０．８２７９　０．５ｌｌ７　０．１９５４　０．１５７３　［２］彭振时．线性矩阵方程ＡＸＢ＝Ｃ的中心对称解及其最佳逼近．工程数　学学报；２００３（２７９）：９３—１０９．　６（）ｏ８　Ｏ．５８２２　一　Ｏ．７２９６　０．４０９４　０．５ｌ１７　０．８２７９　１－３］袁永新．关于一类线性矩阵方程的对称解．工程数学学报，１９９８（１５）：　２５—２９．　０．２８６１　０．４６７０　Ｏ．Ｉ２０８　一（　一（二　）　［４＿刘文平，子阵约束下矩阵反问题的Ｄ对称解及其最佳逼近．经济数　学，２００６，２３（０４）：７ｌ一７４．　按照（１５）把Ｘ’进行分块，按照（１６）得到文　１．０ｏ００　２．Ｏ０ｏＯ　５．５２９３　１２．６１８１　艾一　３．０ＤｏＯ　４．Ｏ００ｌｏ　１　８１９３　５．５２４４　３．５Ｏ６７　２．０ｏＯＯ　Ｏ４６６　９．４２０ｏ　３．１．４７１９　７．Ｏ０ｏ０　１０．５４１９　１－２Ｏ６８