函数y=A sin(ωx+φ)的图象及应用检测题与详解答案

检测题与详解答案

A级——保大分专练

ππ1．函数y＝sin2x－在区间－，π上的简图是( ) 32

3πππ解析：选A 令x＝0，得y＝sin－＝－，排除B、D.由f－＝0，f＝0，排除C，

2336故选A.

ππ2．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值

26是( )

A．－3 C．1

B.

3

3

D.3

π

解析：选D 由题意可知该函数的周期为，

2ππ

∴＝，ω＝2，f(x)＝tan 2x. ω2ππ∴f＝tan ＝3. 36

ππ3．(2018·天津高考)将函数y＝sin2x＋的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的510函数( )

A．在区间B．在区间

3π，5π上单调递增

443π，π上单调递减 

4

1

C．在区间D．在区间

5π，3π上单调递增

24

3π，2π上单调递减 

2

ππ解析：选A 将函数y＝sin2x＋的图象向右平移个单位长度后的解析式为y＝

510

ππ3π5πsin2x－＋＝sin 2x，则函数y＝sin 2x的一个单调递增区间为，，一个单调递减

44105

区间为

4.(2019·贵阳检测)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋ππφ)ω>0，－<φ<的部分图象如图所示，则φ的值为( )

5π，7π.由此可判断选项A正确．

44



2

2

π

A．－

3πC．－

6

π B.

3π D.

6

Tπππ2π

解析：选B 由题意，得＝－－＝，所以T＝π，由T＝，得ω＝2，由图可知A2362ωππππ2π＝1，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．又因为f＝sin＋φ＝0，－<φ<，所以φ＝.

22333

5.(2019·武汉调研)函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，给出以下结论：

①f(x)的最小正周期为2；

1

②f(x)图象的一条对称轴为直线x＝－；

213③f(x)在2k－，2k＋，k∈Z上是减函数； 44④f(x)的最大值为A. 则正确结论的个数为( ) A．1 C．3

B．2 D．4

51解析：选B 由题图可知，函数f(x)的最小正周期T＝2×－＝2，故①正确；因为函数f(x)

4415所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝11＋5＋kT＝3＋k(k∈Z)，

的图象过点，0和，0，故2442444

2

11T1T直线x＝－不是函数f(x)图象的对称轴，故②不正确；由图可知，当－＋kT≤x≤＋＋kT(k2444413

∈Z)，即2k－≤x≤2k＋(k∈Z)时，f(x)是减函数，故③正确；若A>0，则最大值是A，若A<0，

44则最大值是－A，故④不正确．综上知正确结论的个数为2.

ππ6．(2018·山西大同质量检测)将函数f(x)＝tanωx＋(0<ω<10)的图象向右平移个单位

36长度后与函数f(x)的图象重合，则ω＝( )

A．9 C．4

B．6 D．8

ππ解析：选B 函数f(x)＝tanωx＋的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数解

36

ωππππ＋，∵平移后的图象与函数f(x)的图象重合，析式为y＝tanωx－＋＝tanωx－

6363

∴－

ωπππ

6＋3

＝＋kπ，k∈Z，解得ω＝－6k，k∈Z.又∵0<ω<10，∴ω＝6. 3

7．已知函数f(x)＝2sin

πx＋φ|φ|＜π 的图象经过点(0,1)，则该函数的振幅为

23

____________，最小正周期T为__________，频率为___________，初相φ为___________．

2π1

解析：振幅A＝2，最小正周期T＝＝6，频率f＝.

π63因为图象过点(0,1)，

1

所以2sin φ＝1，所以sin φ＝，

2ππ

又因为|φ|＜，所以φ＝.

261π

答案：2 6

66

8.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图示，则f(x)＝________.

311ππ3π解析：由图象可知A＝2，T＝－＝，∴T＝π，∴ω＝2，

41264π

∵当x＝时，函数f(x)取得最大值，

6ππ

∴2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，

62

所

3

π

∴φ＝＋2kπ(k∈Z)，

6

ππ∵0<φ<π，∴φ＝，∴f(x)＝2sin2x＋. 66π答案：2sin2x＋

6

π9．已知函数f(x)＝sin－ωx(ω>0)向左平移半个周期得g(x)的图象，若g(x)在[0，π]

3

上的值域为－

3

，1，则ω的取值范围是________． 2

解析：由题意，得g(x)＝sin

π－ωx＋π

ω3

ππ＝sin－π－ωx－＝sinωx－，

33πππ

由x∈[0，π]，得ωx－∈－，ωπ－.

333因为g(x)在[0，π]上的值域为－



3，1， 2

ππ4π55

所以≤ωπ－≤，解得≤ω≤.

23363

55故ω的取值范围是，.

6355答案：， 63

10．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：

月份x 收购价格y(元/斤)

选用一个三角函数模型来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为________________．

解析：设y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)， 由题意得A＝1，B＝6，T＝4，

2πππ因为T＝，所以ω＝，所以y＝sinx＋φ＋6. ω22

1 6 2 7 3 6 4 5 π因为当x＝1时，y＝6，所以sin＋φ＝0，

2

4

ππ故＋φ＝2kπ，k∈Z，可取φ＝－， 22πππ所以y＝sinx－＋6＝－cosx＋6.

222π

答案：y＝－cosx＋6

2

π3π11．设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)ω>0，－<φ<0的最小正周期为π，且f＝. 242

(1)求ω和φ的值；

(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象． 2π

解：(1)因为T＝＝π，所以ω＝2，

ω3πππππ又因为f＝cos2×＋φ＝cos＋φ＝－sin φ＝且－<φ<0，所以φ＝－.

422342π(2)由(1)知f(x)＝cos2x－.

3列表：

π2x－ 3－π 30 π 61 π 25π 120 π 2π 3－1 3π 211π 120 5π 3π 1 2x f(x) 0 1 2描点，连线，可得函数f(x)在[0，π]上的图象如图所示．

π12．(2019·湖北八校联考)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<在它的某一个周期内的2

5

单调递减区间是

5π，11π.将y＝f(x)的图象先向左平移π个单位长度，再将图象上所有点的横

12412

1

坐标变为原来的(纵坐标不变)，所得到的图象对应的函数记为g(x)．

2

(1)求g(x)的解析式；

π(2)求g(x)在区间0，上的最大值和最小值．

4

T11π5ππ2π

解：(1)∵＝－＝，∴T＝π，ω＝＝2，

212122Tπ5π又∵sin2×＋φ＝1，|φ|<， 122ππ∴φ＝－，f(x)＝sin2x－，

33将函数f(x)的图象向左平移

π

个单位长度得 4

y＝sin2x＋4－＝sin2x＋，

63





ππ





π



π1再将y＝sin2x＋的图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)得g(x)＝62πsin4x＋.

6

π∴g(x)＝sin4x＋.

6

ππ7ππ(2)∵x∈0，，∴4x＋∈，， 4666πππ

当4x＋＝时，x＝，

6212

πππ∴g(x)在0，上为增函数，在，上为减函数， 12124π所以g(x)max＝g＝1，

12

1π11

又因为g(0)＝，g＝－，所以g(x)min＝－，

2422

1π故函数g(x)在区间0，上的最大值和最小值分别为1和－.

42

B级——创高分自选

π1．(2019·惠州调研)函数f(x)＝Asin(2x＋θ)A>0，|θ|≤的部分图象如图所示，且f(a)

2

6

＝f(b)＝0，对不同的x1，x2∈[a，b]，若f(x1)＝f(x2)，有f(x1＋x2)＝3，则( )

5ππA．f(x)在－，上是减函数 12125ππB．f(x)在－，上是增函数 1212π5πC．f(x)在，上是减函数

63π5πD．f(x)在，上是增函数 63

解析：选B 由题图知A＝2，设m∈[a，b]，且f(0)＝f(m)，则f(0＋m)＝f(m)＝f(0)＝3，∴2sin θ＝3，sin θ＝

π3πππ，又∵|θ|≤，∴θ＝，∴f(x)＝2sin2x＋，令－＋2k32232

ππ5ππ

π≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，此时f(x)单调递增．所以

321212选项B正确．

π

2．(2019·福州四校联考)函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向右平移个单位长度得到函数y12

ππππ＝g(x)的图象，并且函数g(x)在区间，上单调递增，在区间，上单调递减，则实数ω6332

的值为( )

7

A. 4C．2

3 B.

25 D.

4

π

解析：选C 因为将函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向右平移个单位长度得到函数y＝g(x)

12

π又因为函数g(x)在区间π，π上单调递增，ππ的图象，所以g(x)＝sinωx－，在区间，126332

ωπ2πππ上单调递减，所以g＝sin＝1且≥，所以{ω＝8k＋2k∈Z，

4ω33ω＝2.

3.(2018·南昌模拟)函数

0<ω≤6， 所以

f(x)＝Asin(ωx＋

φ)A>0，ω>0，|φ|<的部分图象如图所示．

2



π



(1)求函数f(x)的解析式，并写出其图象的对称中心；

π(2)若方程f(x)＋2cos4x＋＝a有实数解，求a的取值范围． 3

7

T2πππ

解：(1)由图可得A＝2，＝－＝，

2362

所以T＝π，所以ω＝2.

ππ当x＝时，f(x)＝2，可得2sin2×＋φ＝2，

66ππ

因为|φ|<，所以φ＝.

26

π所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin2x＋.

6πkππ

令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，

6212所以函数f(x)图象的对称中心为

kπ－π，0(k∈Z)．



212

π(2)设g(x)＝f(x)＋2cos4x＋， 3ππ则g(x)＝2sin2x＋＋2cos4x＋

63ππ2＝2sin2x＋＋21－2sin2x＋，

66π令t＝sin2x＋，t∈[－1,1]， 6

1292

记h(t)＝－4t＋2t＋2＝－4t－＋，

44

因为t∈[－1,1]， 9所以h(t)∈－4，， 4

99即g(x)∈－4，，故a∈－4，. 449故a的取值范围为－4，.

4

8