专题06 三角函数与解三角形大题强化训练(省赛试题汇编)(解析版)

1．【2018年陕西预赛】已知函数（1）求函数

的单调递增区间；

.

（2）设点都在函数的图象上，且满足.求

的值.

【答案】（1）【解析】 （1）

；（2）0

，故的单调增区间为.

（2）设.

.

2．【2018年陕西预赛】已知函数（1）求函数

的单调递增区间；

.

（2）设点都在函数的图象上，且满足.求

的值.

【答案】（1）【解析】 （1）

；（2）0

，故的单调增区间为.

（2）设.

1

.

3．【2018年陕西预赛】已知函数（1）求函数

的单调递增区间；

.

（2）设点都在函数的图象上，且满足.求

的值.

【答案】（1）【解析】 （1）

；（2）0

，故的单调增区间为.

（2）设.

.

4．【2018年甘肃预赛】已知函数fx31sin2xcos2xsin2x1，x∈R，将函数fx向左平移226个单位后得函数gx，设三角形△ABC三个角A、B、C的对边分别为a、b、c. (Ⅰ)若c＝7，fC＝0，sin B＝3sin A，求a、b的值；

(Ⅱ)若gB＝0且mcosA,cosB,n1,sinAcosAtanB，求mn的取值范围． 【答案】(Ⅰ) a＝1，b＝3；(Ⅱ) (0，1].

【解析】试题分析：（1）利用二倍角的余弦公式以及两角差的正弦公式化简fx为sin2x1，由6fC0，求得C3，由余弦定理及正弦定理可得关于a,b的方程解方程可得a,b的值；（2）先求得

gxsin2x1，由gB0，求得sin2B1，故2B，化简mnsinA，

666622

根据A6的范围，求得mn的取值范围.

试题解析：（Ⅰ） fx31sin2xcos2xsin2x1 2231sin2xcos2x1sin2x1， 226fCsin2C10，所以sin2C1，

66因为2C11,666，所以，所以， 2CC623由余弦定理知： a2b22abcos37，

因为sinB3sinA，由余弦定理知： b3a， 解得： a1,b3.

（Ⅱ）由条件知gxsin2x，所以gBsin2B110， 66所以sin2B1， 6因为2B13,666，所以，即， 2BB6263mcosA,cosB， n1,sinA3cosA，

于是mncosA3313 ， sinAcosAcosAsinAsinA2322656∴B6，∴A0,，得A,， 66∴sinA

0,1，即mn0,1. 65．【2018年吉林预赛】已知函数

3

的最大值为2.

⑴求的值及⑵求

的最小正周期；

的单调递减区间.

【答案】（1）【解析】 ⑴

（2）.

因此，当

时，

取得最大值

.

又因为的最大值为2，所以，即的最小正周期为.

⑵由⑴得，令.

得.

因此，的单调递减区间为.

6．【2018年山东预赛】已知数列满足：．求证：

．

【答案】见解析 【解析】

4

设，则．

从而在区间上单调递增，在上单调递减．当时，．

下面用数学归纳法证明结论． 当

时，

；

当，3，4时，．

假设当时结论成立，即有，

则当时，．

由在区间上单调递增，

因此．

下证．

因为，所以，即．

所以．

从而结论对成立．

由数学归纳法知，结论对任意正整数均成立．

7．【2018年天津预赛】设

是方程

的三个根，

.

5

⑴求的整数部分； ⑵求

的值.

【答案】（1）-2（2）【解析】 由于

是方程的根，我们有

.

比较两端的系数可得：

，

，

.

⑴由注意所以

在区间

可知满足

上有一个根，即

.因此的整数部分为-2.

.

.

⑵设，i=1，2，3.由⑴知，且 .

因此.

注意

从而

.

6

这表明，即.

8．【2018年河南预赛】已知【答案】【解析】 由题意得则记点

，直线

，且

．

．

，

，试求的最大值．

，

则点的轨迹方程为单位圆：

从而圆心到直线的距离．

整理得解得

，故

．

的最大值为

．

，且满足

，是否

9．【2018年河南预赛】已知存在边长均为整数的

的三边长分别为．

？若存在，求出三边长；若不存在，说明理由．

，其三边长分别为3、7、8或4、5、6

【答案】存在边长均为整数的满足条件的【解析】 不妨设

，显然

．

若，此时有，

由可得，矛盾．

故只能取2、3、4． ①若②若

，则，则

，得，即

7

，又，故无解． ，

又因为，从而．

解得．

其中能够构成三角形的只有③若

，则

，即

．

，

又因为，从而．

解得．

其中能够构成三角形的只有

综上，存在边长均为整数的满足条件的10．【2018年河北预赛】已知将函数

．

，其三边长分别为3、7、8或4、5、6．

的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），

再将所得到的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，且关于x的方程

内有两个不同的解

（1）求满足题意的实数m的取值范围； （2）求

（用含m的式子表示）.

.

【答案】（1）【解析】 （1）将

（2）

的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），得到的图象.再

将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象.故

.依题意

8

在区间内有两个不同的解，当且仅当.故m的取值范围是.

（2）因为是方程内的两个不同的解，

所以.

当时，，即.

当，即.

所以.

11．【2018年河北预赛】设【答案】见解析 【解析】 因为

，证明：

当且仅当

，即

时等号成立，故原不等式得证.

12．【2016年吉林预赛】在求（1）（2）

； 的最大值.

中，a、b、c分别为的对边，，且.

【答案】（1）；（2）

9

【解析】 （1）由已知得

又为△ABC的内角，故.

（2）将代入.

当时，取到最大值.

13．【2016年上海预赛】如图，五边形内接于边长为1的正五边形ABCDE．证明：五边形

中至少有一条边的长度不小于．

【答案】见解析 【解析】 设

的长分别为

．

则．

由平均数原理，知，…，中必有一个不小于1，不妨设．

故，

10

（注意

），

．

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