陕西省渭南市澄城县寺前中学2014-2015学年高一上学期12月月考数学试卷
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每下列四个选项中，只有一项是符合题意的．） 1．（5分）下列说法正确的是（） A． 三点确定一个平面 B． 四边形一定是平面图形 C． 梯形一定是平面图形 D． 平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点
2．（5分）已知正方体外接球的体积是 A．
B．
，那么正方体的棱长等于（） C．
D．
3．（5分）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为（）
A． B． C． D．
4．（5分）两个平面平行的条件是（） A． 有一条直线与这两个平面都平行 B． 有两条直线与这两个平面都平行 C． 有一条直线与这两个平面都垂直 D． 有一条直线与这两个平面所成的角相等 5．（5分）如图，一个封闭的立方体，它的六个表面各标有A，B，C，D，E，F这六个字母之一，现放置成如图的三种不同的位置，则字母A，B，C对面的字母分别为（）
A． D，E，F B． F，D，E C． E，F，D D．E，D，F 6．（5分）用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
③若a∥γ，b∥γ，则a∥b； ④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．其中真命题的序号是（） A． ①② B． ②③ C． ①④ D．③④ 7．（5分）把边长为4、2的矩形卷成一个圆柱的侧面，其体积是（） A．
B．
C．
或
D．
8．（5分）一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于（） A．
9．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（）
a
2
B． 2a
2
C． a
2
D．a
2
A． 45°
B． 60°
C． 90°
D．120°
10．（5分）已知圆锥的母线长为5cm，圆锥的侧面展开图如图所示，且∠AOA1=120°，一只
蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A．则蚂蚁爬行的最短路程
长为（）
A． 8 cm B． 5cm C． 10 cm D．5πcm
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上） 11．（4分）已知直线b∥平面α，平面α∥平面β，则直线b与β的位置关系为 ． 12．（4分）若正三棱台的上、下底面的边长为2和8，则棱长为5，则这个棱台的高是．
13．（4分）在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，若△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是． 14．（4分）在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，对角线AC=BD=2，且AC⊥BD，则四边形EFGH的面积为．
15．（4分）若圆锥的母线长为2cm，底面圆的周长为2πcm，则圆锥的表面积为．
三、解答题（本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（10分）已知圆台的上下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长． 17．（10分）已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且EH∥FG．求证：EH∥BD．
18．（15分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1，∠CAB=（Ⅰ）证明：CB1⊥BA1；
（Ⅱ）已知AB=2，BC=，求三棱锥C1﹣ABA1的体积．
．
19．（15分）如图，已知PA⊥正方形ABCD所在平面，E、F分别是AB，PC的中点，∠PDA=45°．（1）求证：EF∥面PAD． （2）求证：面PCE⊥面PCD．
陕西省渭南市澄城县寺前中学2014-2015学年高一上学期12月月考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每下列四个选项中，只有一项是符合题意的．） 1．（5分）下列说法正确的是（） A． 三点确定一个平面 B． 四边形一定是平面图形 C． 梯形一定是平面图形 D． 平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点
考点： 平面的基本性质及推论． 专题： 常规题型．
分析： 不共线的三点确定一个平面，两条平行线确定一个平面，得到A，B，C三个选项的正误，根据两个平面如果相交一定有一条交线，确定D选项是错误的，得到结果． 解答： 解：A．不共线的三点确定一个平面，故A不正确， B．四边形有时是指空间四边形，故B不正确，
C．梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确，
D．两个平面如果相交一定有一条交线，所有的两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确． 故选C．
点评： 本题考查平面的基本性质即推论，考查确定平面的条件，考查两个平面相交的性质，是一个基础题，越是简单的题目，越是不容易说明白，同学们要注意这个题目．
2．（5分）已知正方体外接球的体积是 A．
B．
，那么正方体的棱长等于（） C．
D．
考点： 球内接多面体． 专题： 计算题．
分析： 先求球的半径，直径就是正方体的对角线，然后求出正方体的棱长． 解答： 解：正方体外接球的体积是棱长等于
，
，则外接球的半径R=2，正方体的对角线的长为4，
故选D．
点评： 本题考查球的内接正方体问题，是基础题． 3．（5分）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为（）
A． B． C． D．
考点： 简单空间图形的三视图． 专题： 立体几何．
分析： 从正视图和侧视图上分析，去掉的长方体的位置应该在的方位，然后判断俯视图的正确图形．
解答： 解：由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧，
由以上各视图的描述可知其俯视图符合C选项． 故选：C．
点评： 本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义． 4．（5分）两个平面平行的条件是（） A． 有一条直线与这两个平面都平行 B． 有两条直线与这两个平面都平行 C． 有一条直线与这两个平面都垂直 D． 有一条直线与这两个平面所成的角相等
考点： 平面与平面平行的判定． 专题： 空间位置关系与距离．
分析： 根据垂直于同一直线的两个平面互相平行，可得结论．
解答： 解：根据垂直于同一直线的两个平面互相平行，可得C正确． 故选：C．
点评： 本题考查两个平面平行的判定，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
5．（5分）如图，一个封闭的立方体，它的六个表面各标有A，B，C，D，E，F这六个字母之一，现放置成如图的三种不同的位置，则字母A，B，C对面的字母分别为（）
A． D，E，F B． F，D，E D．E，D，F
考点： 棱柱的结构特征． 专题： 空间位置关系与距离．
分析： 本题可从图形进行分析，结合正方体的结构特征，得到各个面上的字母，即可求得结果．
解答： 解：第一个正方体已知A，C，D， 第二个正方体已知B，C，E，
第三个正方体已知DA，B，C，且不同的面上写的字母各不相同， 则可知A对面标的是E，B对面标的是D，C对面标的是F． 故选D．
点评： 本题考查了正方体的结构特征，考查了正方体相对两个面上的字母问题，此类问题可以制作一个正方体，根据题意在各个面上标上字母，再确定对面上的字母，本题是一个基础题． 6．（5分）用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
③若a∥γ，b∥γ，则a∥b； ④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．其中真命题的序号是（） A． ①② B． ②③ C． ①④ D．③④
考点： 空间中直线与平面之间的位置关系． 专题： 空间位置关系与距离．
分析： 利用线线关系以及线面平行、线面垂直的性质对四个命题分析解答． 解答： 解：由平行线的传递性可以判断①正确；
在空间，垂直于同一条直线的两条直线，可能平行、相交或者异面．故②错误； 平行于同一个平面的两条直线的位置关系有：平行、相交、异面．故③错误； 垂直于同一个平面的两条直线是平行的；故④正确； 故选：C．
点评： 本题考查了线线关系，线面关系的判断；关键是熟练运用相关的公里或者定理． 7．（5分）把边长为4、2的矩形卷成一个圆柱的侧面，其体积是（）
C． E，F，D
A． B． C． 或 D．
考点： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． 专题： 空间位置关系与距离．
分析： 我们可以分圆柱的底面周长为4，高为2和圆柱的底面周长为2，高为4，两种情况进行讨论，最后综合讨论结果，即可得到答案． 解答： 解：若圆柱的底面周长为4，则底面半径R=此时圆柱的体积V=π•R•h=
2
，h=2，
，
，h=4，
若圆柱的底面周长为2，则底面半径R=此时圆柱的体积V=π•R•h=∴圆锥的体积为：
或
，
2
，
故选：C
点评： 本题考查的知识点是圆柱的体积，其中根据已知条件分别确定圆柱的底面周长和高是解答本题的关键． 8．（5分）一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于（） A．
a
2
B． 2a
2
C． a
2
D．a
2
考点： 平面图形的直观图． 专题： 计算题．
分析： 根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积S与它
的直观图的面积S′之间的关系是S′=S，先求出直观图即正方形的面积，根据比值求出原平
行四边形的面积即可．
解答： 解：根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S′之间的关系是S′=的面积等于
=2
a．
2
S，本题中直观图的面积为a，所以原平面四边形
2
故选B．
点评： 考查学生灵活运用据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S′之间的关系是S′=
9．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（）
S．
A． 45° B． 60°
考点： 异面直线及其所成的角． 专题： 计算题．
C． 90° D．120°
分析： 先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角∠A1BC1就是异面直线
所成的角，在三角形A1BC1中求出此角即可．
解答： 解：如图，连A1B、BC1、A1C1，则A1B=BC1=A1C1， 且EF∥A1B、GH∥BC1，
所以异面直线EF与GH所成的角等于60°， 故选B．
点评： 本题主要考查了异面直线及其所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
10．（5分）已知圆锥的母线长为5cm，圆锥的侧面展开图如图所示，且∠AOA1=120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A．则蚂蚁爬行的最短路程
长为（）
A． 8 cm B． 5cm C． 10 cm D．5πcm
考点： 多面体和旋转体表面上的最短距离问题． 专题： 计算题；空间位置关系与距离．
分析： 圆锥的底面周长也就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角，进而构造直角三角形求得相应线段即可． 解答： 解：连接AA′，作OC⊥AA′于C，
∵圆锥的母线长为5cm，∠AOA1=120°，
∴AC=
．
∴AA′=2AC=5故选B．
点评： 本题考查了圆锥的计算，求立体图形中两点之间的最短路线长，一般应放在平面内，构造直角三角形，求两点之间的线段的长度．用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上） 11．（4分）已知直线b∥平面α，平面α∥平面β，则直线b与β的位置关系为 平行或在平面内．
考点： 空间中直线与平面之间的位置关系． 专题： 阅读型．
分析： 根据平面与平面平行的性质进行判定，以及直线与平面位置关系的定义进行判定即可．
解答： 解：因为平面α∥平面β，而直线b∥平面α 则当b在平面β内，原命题成立，
若b不在平面β内，则b一定与平面β平行； 故答案为：平行或在平面内
点评： 本题主要考查了面面平行的性质，以及空间中直线与平面之间的位置关系，同时考查了空间想象能力，属于基础题． 12．（4分）若正三棱台的上、下底面的边长为2和8，则棱长为5，则这个棱台的高是．
考点： 棱台的结构特征．
专题： 计算题；空间位置关系与距离．
分析： 由上、下底面的边长为2和8可得高分别为2×sin60°=（4﹣））=5，解出即可． 解答： 解：由题意，
∵上、下底面的边长为2和8， ∴上、下底面的高分别为2×sin60°=则由正三棱台的结构特征可知， 若高为h，有h+（×（4
2
22
2
，8×sin60°=4；由h+（×
2
，8×sin60°=4
2
2
；
﹣））=5，
即h+12=25，
则h=， 故答案为：．
点评： 本题考查了学生的空间想象力及对正三棱台的结构特征的认识，属于基础题．
13．（4分）在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，若△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是
．
考点： 组合几何体的面积、体积问题． 专题： 计算题；作图题．
分析： 如图，大圆锥的体积减去小圆锥的体积就是旋转体的体积，结合题意计算可得答案． 解答： 解：依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥， 所以OA=，OB=1
所以旋转体的体积：故答案为：
点评： 本题考查圆锥的体积，考查空间想象能力，是基础题． 14．（4分）在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，对角线AC=BD=2，且AC⊥BD，则四边形EFGH的面积为1．
考点： 专题： 分析： 可． 解答：
直线与平面平行的性质．
计算题；空间位置关系与距离．
利用中位线定理，AC⊥BD，可得出四边形EFGH矩形，根据矩形的面积公式解答即
解：∵点E、H分别为四边形ABCD的边AB、AD的中点，
∴EH∥BD，且EH=BD=1． 同理求得FG∥BD，且FG=1， ∴EH∥FG，EH=FG 又∵AC⊥BD，BD=2 ∴EF⊥EH．
∴四边形EFGH是正方形．
∴四边形EFGH的面积=EF•EH=1．
故答案为：1
点评： 本题考查公理四证明平行四边形，考查线线垂直，确定四边形EFGH是正方形是关键．
15．（4分）若圆锥的母线长为2cm，底面圆的周长为2πcm，则圆锥的表面积为3πcm．
考点： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． 专题： 空间位置关系与距离．
分析： 根据已知求出圆锥的底面半径，代入圆锥表面积公式，可得答案． 解答： 解：设圆锥的底面半径为r， ∵圆锥的底面圆的周长为2πcm， ∴2πr=2πcm， ∴r=1cm，
又∵圆锥的母线长为2cm，
2
∴圆锥的表面积S=πr（r+l）=3πcm，
2
故答案为：3πcm
点评： 本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥的表面积公式，是解答的关键．
三、解答题（本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（10分）已知圆台的上下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长．
考点： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 专题： 计算题．
分析： 求出圆台的上底面面积，下底面面积，写出侧面积表达式，利用侧面面积等于两底面面积之和，求出圆台的母线长． 解答： 解：设圆台的母线长为l，
2
则圆台的上底面面积为S上=π•2=4π，
2
圆台的下底面面积为S下=π•5=25π， 所以圆台的底面面积为S=S上+S下=29π 又圆台的侧面积S侧=π（2+5）l=7πl， 于是7πl=29π，即
．
2
点评： 本题考查旋转体（圆柱、圆锥、圆台），棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积，考查计算能力，是基础题． 17．（10分）已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且EH∥FG．求证：EH∥BD．
考点： 直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系． 专题： 证明题．
分析： 先由EH∥FG，得到EH∥面BDC，从而得到EH∥BD． 解答： 证明：∵EH∥FG，EH⊄面BCD，FG⊂面BCD ∴EH∥面BCD，
又∵EH⊂面ABD，面BCD∩面ABD=BD， ∴EH∥BD
点评： 本题主要考查线面平行的判定定理，是道基础题．
18．（15分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1，∠CAB=（Ⅰ）证明：CB1⊥BA1；
（Ⅱ）已知AB=2，BC=，求三棱锥C1﹣ABA1的体积．
．
考点： 直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积． 专题： 计算题；证明题．
分析： （I）连接AB1，根据ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得到平面ABC⊥平面ABB1A1，结合AC⊥AB，可得AC⊥平面ABB1A1，从而有AC⊥BA1，再在正方形ABB1A1中得到AB1⊥BA1，最后根据线面垂直的判定定理，得到BA1⊥平面ACB1，所以CB1⊥BA1；
（II）在Rt△ABC中，利用勾股定理，得到AC==1，又因为直三棱柱ABC﹣
A1B1C1中，A1C1=AC=1且AC⊥平面ABB1A1，得到A1C1是三棱锥C1﹣ABA1的高，且它的长度为1．再根据正方形ABB1A1面积得到△ABA1的面积，最后根据锥体体积公式，得到三棱锥C1﹣ABA1的体积为．
解答： 解：（I）连接AB1， ∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱， ∴平面ABC⊥平面ABB1A1，
又∵平面ABC∩平面ABB1A1=AB，AC⊥AB， ∴AC⊥平面ABB1A1，
∵BA1⊂平面ABB1A1，∴AC⊥BA1， ∵矩形ABB1A1中，AB=AA1， ∴四边形ABB1A1是正方形， ∴AB1⊥BA1，
又∵AB1、CA是平面ACB1内的相交直线， ∴BA1⊥平面ACB1，
∵CB1⊂平面ACB1，∴CB1⊥BA1；
（II）∵AB=2，BC=∴Rt△ABC中，AC=
，
=1
∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1C1=AC=1 又∵AC∥A1C1，AC⊥平面ABB1A1， ∴A1C1是三棱锥C1﹣ABA1的高．
∵△ABA1的面积等于正方形ABB1A1面积的一半 ∴
=AB=2
×A1C1=．
2
三棱锥C1﹣ABA1的体积为V=×
点评： 本题根据底面为直角三角形的直三棱柱，证明线面垂直并且求三棱锥的体积，着重考查了直线与平面垂直的性质与判定和锥体体积公式等知识点，属于中档题． 19．（15分）如图，已知PA⊥正方形ABCD所在平面，E、F分别是AB，PC的中点，∠PDA=45°．（1）求证：EF∥面PAD． （2）求证：面PCE⊥面PCD．
考点： 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 专题： 证明题．
分析： （1）取PD中点为G，证明EFGA为平行四边形，由EF∥AG，证明EF∥面PAD． （2）由线面垂直的判定定理证明AG⊥面PCD，从而得到EF⊥面PCD，面PCE⊥面PCD． 解答： 解：（1）取PD中点为G，连FG、AG，∵F，G分别为中点，∴FG∥CD，且
FG=CD．AE∥CD，且 AE=CD，
即四边形EFGA为平行四边形，∴EF∥AG，又EF⊄面PAD，AG⊂面PAD，∴EF∥面PAD． （2）PA⊥面ABCD∴PA⊥AD，PA⊥CD∴Rt△PAD中，∠PDA=45°∴PA=AD，AG⊥PD，又CD⊥AD，CD⊥PA，
且PA∩AD=A，∴CD⊥面PAD，∴CD⊥AG，又PD∩CD=D，∴AG⊥面PCD， 由（1）知EF∥AG∴EF⊥面PCD，又EF⊂面PCE，∴面PCE⊥面PCD． 点评： 本题考查两个平面垂直的判定定理的应用以及证明线面平行的方法．
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