一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，已知A（﹣4， ），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数 （m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x
轴于
C，BD⊥y
轴于
D．
（2）求一次函数解析式及m的值；
（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？ （3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标． 【答案】（1）解：当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；
（2）把A（﹣4， ），B（﹣1，2）代入y=kx+b得 ， 解得
，
所以一次函数解析式为y= x+
，
把B（﹣1，2）代入y=
得m=﹣1×2=﹣2；
（3）解：如下图所示：
），
设P点坐标为（t， t+
∵△PCA和△PDB面积相等， ∴
•
•（t+4）=
•1•（2﹣
t﹣
），即得t=﹣
，
∴P点坐标为（﹣ ，
）．
【解析】【分析】（1）观察函数图象得到当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方；（2）先利用待定系数法求一次函数解析式，然后把B点坐标代入y= 可计算出m的值；（3）设P点坐标为（t， t+ ），利用三角形面积公式可得到 • •（t+4）= •1•（2﹣ t﹣ ），解方程得到t=﹣ ，从而可确定P点坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y= （k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（
，2）．
（1）求k的值；
（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的一个顶点恰好落在函数y= （k＞0，x＞0）的图象上时，求菱形ABCD平移的距离． 【答案】（1）解：作DE⊥BO，DF⊥x轴于点F，
∵点D的坐标为（ ∴DO=AD=3， ∴A点坐标为：（ ∴k=5
；
，5）， ，2），
（2）解：∵将菱形ABCD向右平移，使点D落在反比例函数y= （x＞0）的图象上D′， ∴DF=D′F′=2，
∴D′点的纵坐标为2，设点D′（x，2）
∴2= ，解得x=
﹣
， =
， ，
∴FF′=OF′﹣OF=
∴菱形ABCD平移的距离为
同理，将菱形ABCD向右平移，使点B落在反比例函数y= （x＞0）的图象上， 菱形ABCD平移的距离为
，
或
时，菱形的一个顶点恰好落在函数图象上．
综上，当菱形ABCD平移的距离为
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质和D的坐标即可求出A的坐标，代入求出即可；（2）B和D可能落在反比例函数的图象上，根据平移求出即可．
3．如图直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴上，点B，D的坐标分别为B（1，0），D（3，3）．
（1）点C的坐标________；
（2）若反比例函数y= （k≠0）的图象经过直线AC上的点E，且点E的坐标为（2，m），求m的值及反比例函数的解析式；
（3）若（2）中的反比例函数的图象与CD相交于点F，连接EF，在直线AB上找一点P，使得S△PEF= S△CEF ， 求点P的坐标． 【答案】（1）（3，0） （2）解：∵AB=CD=3，OB=1， ∴A的坐标为（1，3），又C（3，0）， 设直线AC的解析式为y=ax+b，
则 ，解得：
，
∴直线AC的解析式为y=﹣ x+ ． ∵点E（2，m）在直线AC上， ∴m=﹣ ×2+ = ， ∴点E（2， ）．
∵反比例函数y= 的图象经过点E， ∴k=2× =3，
∴反比例函数的解析式为y=
（3）解：延长FC至M，使CM= CF，连接EM，则S△EFM= S△EFC ，
在y= 中，当x=3时，y=1， ∴F（3，1）．
过点M作直线MP∥EF交直线AB于P，则S△PEF=S△MEF ． 设直线EF的解析式为y=a'x+b'，
∴
，解得
，
∴y=﹣ x+ ．
设直线PM的解析式为y=﹣ x+c， 代入M（3，﹣0.5），得：c=1， ∴y=﹣ x+1． 当x=1时，y=0.5，
（3，﹣0.5）． M
∴点P（1，0.5）． 同理可得点P（1，3.5）．
∴点P坐标为（1，0.5）或（1，3.5）． 【解析】【解答】解：（1）∵D（3，3）， ∴OC=3， ∴C（3，0）． 故答案为（3，0）；
【分析】（1）由D的横坐标为3，得到线段OC=3，即可确定出C的坐标；（2）由矩形的对边相等，得到AB=CD，由D的纵坐标确定出CD的长，即为AB的长，再由B的坐标确定出OB的长，再由A为第一象限角，确定出A的坐标，由A与C的坐标确定出直线AC的解析式，将E坐标代入直线AC解析式中，求出m的值，确定出E的坐标，代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；（3）延长FC至M，使CM=CF，连接EM，则S△EFM=S△EFC ， M（3，﹣0.5）．求出F（3，1），过点M作直线MP∥EF交直线AB于P，利用平行线间的距离处处相等得到高相等，再利用同底等高得到S△PEF=S△MEF ． 此时直线EF与直线PM的斜率相同，由F的横坐标与C横坐标相同求出F的横坐标，代入反比例解析式中，确定出F坐标，由E与F坐标确定出直线EF斜率，即为直线PM的斜率，再由M坐标，确定出直线PM解析式，由P横坐标与B横坐标相同，将B横坐标代入直线PM解析式中求出y的值，即为P的纵坐标，进而确定出此时P的坐标．
4．一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y= （k≠0）的图象相交于A，B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，点D的坐标为（﹣1，0），点A的横坐标是1，tan∠CDO=2．过点B作BH⊥y轴交y轴于H，连接AH．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△ABH面积．
【答案】（1）解：∵点D的坐标为（﹣1，0），tan∠CDO=2， ∴CO=2，即C（0，2），
把C（0，2），D（﹣1，0）代入y=ax+b可得，
，解得
，
∴一次函数解析式为y=2x+2， ∵点A的横坐标是1，
∴当x=1时，y=4，即A（1，4），
把A（1，4）代入反比例函数y= ，可得k=4， ∴反比例函数解析式为y=
（2）解：解方程组 ∴B（﹣2，﹣2）， 又∵A（1，4），BH⊥y轴，
，可得 或
，
∴△ABH面积= ×2×（4+2）=6．
【解析】【分析】（1）先由tan∠CDO=2可求出C坐标，再把D点坐标代入直线解析式，可求出一次函数解析式，再由直线解析式求出A坐标，代入双曲线解析式，可求出双曲线解析式；（2）△ABH面积可以BH为底，高=yA-yB=4-(-2)=6.
5．如图，四边形OP1A1B1、A1P2A2B2、A2P3A3B3、…、An﹣1PnAnBn都是正方形，对角线OA1、A1A2、A2A3、…、An﹣1An都在y轴上（n≥1的整数），点P1（x1 ， y1），点P2（x2 ， y2），…，Pn（xn ， yn）在反比例函数y= （x＞0）的图象上，并已知B1（﹣1，1）．
（1）求反比例函数y= 的解析式； （2）求点P2和点P3的坐标；
（3）由（1）、（2）的结果或规律试猜想并直接写出：△PnBnO的面积为 ________ ，点Pn的坐标为________ （用含n的式子表示）． 【答案】（1）解：在正方形OP1A1B1中，OA1是对角线， 则B1与P1关于y轴对称，
∵B1（﹣1，1）， ∴P1（1，1）．
则k=1×1=1，即反比例函数解析式为y=
（2）解：连接P2B2、P3B3 ， 分别交y轴于点E、F，
又点P1的坐标为（1，1）， ∴OA1=2，
设点P2的坐标为（a，a+2）， 代入y=得a=
-1，
-1，
+1），
，
）， -， ，
+， +
） ） =2
=2×=1，
=2
=2×=1，…
故点P2的坐标为（则A1E=A2E=2
-2，OA2=OA1+A1A2=2
设点P3的坐标为（b，b+2代入y=（>0）可得b=故点P3的坐标为（（3）1；（
--
【解析】【解答】解：（3）∵ ∴△PnBnO的面积为1， 由P1（1，1）、P2（
，
+
﹣1，）， ﹣
，
+1）、P3（ ﹣ ， + ）知点Pn的坐标为（ ﹣
故答案为：1、（ +
）．
【分析】（1）由四边形OP1A1B1为正方形且OA1是对角线知B1与P1关于y轴对称，得出点P1（1，1），然后利用待定系数法求解即可；
（2）连接P2B2、P3B3 ， 分别交y轴于点E、F，由点P1坐标及正方形的性质知OA1=2，设P2的坐标为（a，a+2），代入解析式求得a的值即可，同理可得点P3的坐标；
（3）先分别求得S△P1B1O、S△P2B2O的值，然后找出其中的规律，最后依据规律进行计算即可.
6．如图，点P（
+1，
﹣1）在双曲线y= （x＞0）上．
（1）求k的值；
（2）若正方形ABCD的顶点C，D在双曲线y= （x＞0）上，顶点A，B分别在x轴和y轴的正半轴上，求点C的坐标． 【答案】（1）解：点P（ 将x= k=2；
，y=
，
）在双曲线
上，
代入解析式可得：
（2）解：过点D作DE⊥OA于点E，过点C作CF⊥OB于点F， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD=BC，∠CBA=90°， ∴∠FBC+∠OBA=90°， ∵∠CFB=∠BOA=90°， ∴∠FCB+∠FBC=90°， ∴∠FBC=∠OAB， 在△CFB和△AOB中，
，
∴△CFB≌△AOB（AAS）， 同理可得：△BOA≌△AED≌△CFB， ∴CF=OB=AE=b，BF=OA=DE=a， 设A（a，0），B（0，b）， 则D（a+b，a）C（b，a+b）， 可得：b（a+b）=2，a（a+b）=2， 解得：a=b=1．
所以点C的坐标为：（1，2）．
【解析】【分析】（1）由待定系数法把P坐标代入解析式即可；（2）C、D均在双曲线上，它们的坐标就适合解析式，设出C坐标，再由正方形的性质可得△CFB≌△AOB△BOA≌△AED≌△CFB，代入解析式得b（a+b）=2，a（a+b）=2，即可求出C坐标.
7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点 在 轴正半轴上，顶点B在第一象限，线段
，
．
，
的长是一元二次方程
的两根，
（1）直接写出点 的坐标________点 C的坐标________； （2）若反比例函数 （3）如图过点 作 不存在，请说明理由．
的图象经过点 ，求k的值；
轴于点 ；在 轴上是否存在点 ，使以 ， ， 为顶点的
三角形与以 ， ， 为顶点的三角形相似?若存在，直接写出满足条件的点 的坐标；若
【答案】 （1）
；
，垂足为 ，
（2）解：如图，过点 作
∵ ∴ 设 ∵
∴EC=12-x， 在RtΔBEC中， ∴ 整理得： 解得： ∴ ∴ 把
， ， 代入
，得
， ，
（不合题意舍去），
，
，
， ，
=12， ，
（3）解：存在． 如图2，
若点P在OD上，若△PDB∽△AOP， 则
，即
，
解得：OP=2或OP=6， ∴P（0，2）或P（0，6）； 如图3，
若点P在OD上方，△PDB∽△AOP， 则
，即
，
解得：OP=12， ∴P（0，12）； 如图4，
若点P在OD上方，△BDP∽△AOP， 则
，即
或OP=4-2 ）；
，
（不合题意舍去），
解得：OP=4+2 ∴P（0，4+2 如图5，
若点P在y轴负半轴，△PDB∽△AOP，
则
，即
或-4-2
，
（不合题意舍去）， ） 或
或
或
或
，
解得：OP=-4+2
则P点坐标为（0，4-2 故点 的坐标为：
【解析】【解答】解：（1）解一元二次方程 解得： 所以 所以
， ， ，
；
【分析】（1）首先利用直接开平方法求出方程 OA=OC=6，进而得出A,C两点的坐标； （2） 如图，过点 作 设
的两根，从而得出
，
，垂足为 ， 根据等腰直角三角形的性质得出
， EC=12-x， 在RtΔBEC中 利用勾股定理建立方程，求解并检验即可得出BE,OE
的长从而得出B点的坐标，然后 利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式； （3） 存在． 如图2， 若点P在OD上，若△PDB∽△AOP， 根据相似三角形对应边成比例得出
， 根据比例式列出方程，求解即可得出P点的坐标；如图3， 若点P在
根据比例式列出
OD上方，△PDB∽△AOP， 根据相似三角形对应边成比例得出 则
方程，求解并检验即可得出P点的坐标；如图4， 若点P在OD上方，△PDB∽△AOP，根据相似三角形对应边成比例得出
，根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P
点的坐标；如图5， 若点P在y轴负半轴，△PDB∽△AOP， 根据相似三角形对应边成比例得出 可得出答案。
， 根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P点的坐标，综上所述即
8．如图，直线y=2x+6与反比例函数y= （k＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y=n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM．
（1）求m的值和反比例函数的表达式；
（2）观察图象，直接写出当x＞0时不等式2x+6﹣ ＜0的解集；
（3）直线y=n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？ 【答案】（1）解：∵直线y=2x+6经过点A（1，m）， ∴m=2×1+6=8， ∴A（1，8），
∵反比例函数经过点A（1，8）， ∴k=8，
∴反比例函数的解析式为y= ．
（2）解：不等式2x+6﹣ ＜0的解集为0＜x＜1． （3）解：由题意，点M，N的坐标为M（ ，n），N（ ∵0＜n＜6， ∴ ∴ ﹣
＜0，
＞0
）×n=﹣ （n﹣3）2+ ，
，n），
∴S△BMN= |MN|×|yM|= ×（ ﹣
∴n=3时，△BMN的面积最大，最大值为 ．
【解析】【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法即可解决问题； （2）由图象直接求得；
（3）构建二次函数，利用二次函数的最值即可解决问题.
9．如图，反比例函数 （﹣2，b），B两点．
的图象与一次函数y=kx+5（k为常数，且k≠0）的图象交于A
（1）求一次函数的表达式；
（2）若将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值．
【答案】（1）解：把A（﹣2，b）代入 得b=﹣
=4，
，
所以A点坐标为（﹣2，4）， 把A（﹣2，4）代入y=kx+5， 得﹣2k+5=4，解得k= ， 所以一次函数解析式为y= x+5；
（2）解：将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度得直线解析式为y= x+5﹣m，
根据题意方程组
消去y得﹣ = x+5﹣m， 整理得 x2﹣（m﹣5）x+8=0， △=（m﹣5）2﹣4× ×8=0， 解得m=9或m=1，
只有一组解，
即m的值为1或9．
【解析】【分析】（1）先利用反比例函数解析式求出b=4，得到A点坐标为（-2，4），然后把A点坐标代入y=kx+5中求出k，从而得到一次函数解析式； （2）由于将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度得直线解析式为y=
x的一元二次方程，再根据判别式=0得到关于m的方程，最后解方程求出m的值.
，又
与反比例函数有且只有一个公共点，可组成方程组，且只有一组解，然后消去y得到关于
10．如图，在平面直角坐标系
中，直线
与双曲线
相交于点
A（ ，6）和点B（-3， ），直线AB与 轴交于点C．
（1）求直线AB的表达式； （2）求
的值．
，∴m=1，n=-2，
【答案】（1）解：∵点A（ ，6）和点B（-3， ）在双曲线 ∴点A（1，6），点B（-3，-2）， 将点A、B代入直线 ∴直线AB的表达式为：
，得
，解得
，
（2）解：分别过点A、B作AM⊥y轴，BN⊥y轴，垂足分别为点M、N，
则∠AMO＝∠BNO＝90°，AM=1，BN=3， ∴AM//BN，∴△ACM∽△BCN， ∴
【解析】【分析】根据反比例函数的解析式可得m和n的值，利用待定系数法求一次函数
的表达式；作辅助线，构建平行线，根据平行线分线段成比例定理可得结论．
11．对于某一函数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p,则称p为这个函数的不变值.在函数存在不变值时,该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度.特别地,当函数只有一个不变值时,其不变长度q为零.例如：下图中的函数有0,1两个不变值,其不变长度q等于1.
（1）分别判断函数y=x-1，y=x-1,y=x2有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度； （2）函数y=2x2-bx.
①若其不变长度为零，求b的值； ②若1≤b≤3,求其不变长度q的取值范围；
（3）记函数y=x2-2x(x≥m)的图象为G1 ， 将G1沿x=m翻折后得到的函数图象记为G2 ， 函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不变长度q满足0≤q≤3,则m的取值范围为________.
【答案】（1）解：函数y=x-1没有不变值； ∵函数 ∵函数
有-1和1两个不变值， 有0和1两个不变值，
∴其不变长度为2； ∴其不变长度为1；
（2）解：①
函数y=2x2-bx的不变长度为0，
方程2x2-bx=x有两个相等的实数根， ∴△=（b+1）2=0，
b=-1， ②∵2x2-bx=x， ∴
1≤b≤3， 1≤ ≤2，
函数y=2x2-bx的不变长度的取值范围为1≤q≤2.
，
（3）1≤m≤3或m<-
【解析】【解答】解（3）依题可得：函数G的图像关于x=m对称， ∴函数G：y=
当x2-2x=x时，即x（x-3）=0， ∴x3=0，x4=3，
当（2m-x）2-2（2m-x）=x时， 即x2+（1-4m）x+（4m2-4m）=0， ∴△=（1-4m）2-4×（4m2-4m）=1+8m， 当△=1+8m
0时，即m
- ， 此方程无解，
，
∴q=x4-x3=3-0=3； 当△=1+8m∴x5=①当-∴x6∴x4-x6∴m=1， 当x6=x3时， ∴m=3， 当0此时0∴q=x4-x6当1此时0∴q=x4-x6当m此时x5∴q=x5-x6
mx5mx5
1时， x4 ， x63（舍去）； 3时， x4 ， x63（舍去）；
0， 0，
x3=0（舍去），x4=3，
0，
3（不符合题意，舍去）， m
0时，即m
， x6=0时，
- ， 此方程有解，
，
∵x3=0，x4=3，
②∵当x5=x4时，
x3=0（舍去），x4=3，
3时， 3，x6
0，
x3=0（舍去），x4=3（舍去），
3（舍去）；
综上所述：m的取值范围为：1m
3或m < - ，
、函
【分析】（1）根据题目定义即可得出函数y=x-1没有不变值；再分别求出函数 数
的不变值，从而求出其不变长度.
（2）① 由已知条件得方程2x2-bx=x有两个相等的实数根，即根的判别式△=（b+1）2=0，从而求出 b=-1；
②由题意得2x2-bx=x，求出方程的根，再根据1≤b≤3，即可求出 函数y=2x2-bx的不变长度的取值范围.
（3）依题可得：函数G的图像关于x=m对称，分情况讨论写出函数G的解析式，根据定义和一元二次方程求出值，再分情况讨论即可得出答案.
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y= 相交于点A（m，
3），B（﹣6，n），与x轴交于点C． （1）求直线y=kx+b（k≠0）的解析式；
（2）若点P在x轴上，且S△ACP= S△BOC ， 求点P的坐标（直接写出结果）． 【答案】（1）解：）∵点A（m，3），B（﹣6，n）在双曲线y= 1，
∴A（2，3），B（﹣6，﹣1）． 将（2，3），B（﹣6，﹣1）带入y=kx+b，
上， ∴m=2，n=﹣
得：
，
解得
．
x+2
∴直线的解析式为y=
（2）解：
x+2=0时，x=﹣4，
当y=
∴点C（﹣4，0）． 设点P的坐标为（x，0）， ∵S△ACP= ∴
S△BOC ， A（2，3），B（﹣6，﹣1），
×
×|0﹣（﹣4）|×|﹣1|，即|x+4|=2，
×3|x﹣（﹣4）|=
解得：x1=﹣6，x2=﹣2．
∴点P的坐标为（﹣6，0）或（﹣2，0）．
【解析】【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，再利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，设点P的坐标为（x，0），根据三角形的面积公式结合S△ACP= S△BOC ， 即可得出|x+4|=2，解之即可得出结论．
13．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A(-2,4)，B(-2，-2)，C(4，-2)，D(4,4).
（1）填空：正方形的面积为________；当双曲线 时，k的取值范围是________. （2）已知抛物线L： 点E，F，过点B的双曲线
(a>0)顶点P在边BC上，与边AB，DC分别相交于
(k≠0)与边DC交于点N.
(k≠0)与正方形ABCD有四个交点
①点Q(m，-m2-2m+3)是平面内一动点，在抛物线L的运动过程中，点Q随m运动，分别
求运动过程中点Q在最高位置和最低位置时的坐标.
②当点F在点N下方，AE=NF，点P不与B，C两点重合时，求 ③求证：抛物线L与直线
的交点M始终位于 轴下方.
【答案】 （1）36；0 的值. 当m=-1， 最大=4，在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（-1，4） 当m<-1时， 随m的增大而增大，当m=-2时， 最小=3， 当m>-1时， 随m的增大而减小，当m=4时， 最小=-21， 3>-21，∴ 最小=-21，点Q在最低位置时的坐标（4，-21） ∴在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（-1，4），最低位置时的坐标为（4，-21） ②将点B（-2，-2）代入双曲线得 N点横坐标x=4，代入 得 ，∴k=4，∴反比例函数解析式为 ，∴N（4，1） ，BP= ，CP= 可得 由顶点P（m，n）在边BC上，∴ E点横坐标x=-2，F点横坐标x=4，分别代入抛物线 E ∴BE= ∴ 又∵AE=NF，点F在点N下方， ∴ 化简得 ③由题意得，M ∵二次函数 ∴当m=1时， 取得最小值为 当 或4时， 最大为 ，∴ ， 对称轴为m=1， ， ， ， ， ，F ，CF= ， ， ， ， 当m=4时，抛物线L为 E点横坐标为-2，代入抛物线得 F点横坐标为x=4，代入抛物线得 ∵E点在AB边上，且此时不与B重合， ∴ ∴ ，解得 ，∴ ，∴E ，∴ 当 同理可得E 时，抛物线L为 ，F ∵F在CD边上，且此时不与C重合 ∴ ∴ ，解得 ，∴ ， 综上，抛物线L与直线x=1的交点始终位于x轴的下方. 【解析】【解答】（1）解：由点A（-2，4），B（-2，-2）可知正方形的边长为6， ∴正方形面积为36； 当反比例函数在一、三象限时，若经过B（-2，-2）则 过D(4,4)，则 ，根据图像特征，要有4个交点，则0 当反比例函数在二、四象限时，若经过A(-2,4)则 2)则 综上，k的取值范围是0 ， 分 ， 和 分别讨论Q点符合条件的坐标；②将点B（-2，-2） 和F ，CF= ，再根据 ，进而可求 的值；③由题意得，M ，当m=1时， 最小为 时， 最大为 ，当 ，当 AE=NF ， 可推出 ， 或4 代入双曲线，可求k=4和N（4，1），再表示出点E ，可推出 BE= ，再分别讨论当m=4时,根据E点不与B点重合，列出不等式可得 时， F点不与C点重合列出不等式可得 ，即可得证. 14．如图，抛物线 ． 与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点，且 （1）求抛物线的解析式和顶点 的坐标； （2）判断 （3）点 的形状，证明你的结论； 是 轴上的一个动点，当 的周长最小时，求 的值． 【答案】 （1）解：∵ 点在抛物线上， ∴ ，解得 ， ， ， ； 为直角三角形，证明如下： 中，令 ，且 为 ， ， ， ， ， 可得 ， ，解得 或 ， ∴ 抛物线解析式为 ∵ ∴ 点坐标为 （2）解： 在 ∴ 为 ∴ 由勾股定理可求得 又 ∴ ∴ ， ， 为直角三角形； ， ， （3）解： ∵ ∴ 点关于 轴的对称点为 如图，连接 ，交 轴于点 ，则 即为满足条件的点， 设直线 解析式为 ， 把 、 坐标代入可得 ∴ 直线 解析式为 ，解得 ，令 ，可得 ， ， ∴ ． 【解析】【分析】（1）把A点坐标代入可求得b的值，可求得抛物线的解析式，再求D点坐标即可；（2）由解析式可求得A、B、C的坐标，可求得AB、BC、AC的长，由勾股定理的逆定理可判定△ABC为直角三角形；（3）先求得C点关于x轴的对称点E，连接DE，与 轴交于点M，则M即为所求，可求得DE的解析式，令其y=0，可求得M点的坐标，可求得m． 15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，动点Q在边AB上，连接CQ ， 将△BQC沿CQ所在的直线对折得到△CQN ， 延长QN交直线CD于点M ． （1）求证：MC＝MQ （2）当BQ＝1时，求DM的长； （3）过点D作DE⊥CQ ， 垂足为点E ， 直线QN与直线DE交于点F ， 且 BQ的长． 【答案】 （1）解：证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴DC AB 即∠MCQ=∠CQB， ∵△BQC沿CQ所在的直线对折得到△CQN ∴∠CQN=∠CQB， 即∠MCQ=∠MQC， ∴MC=MQ． ，求 （2）解：∵四边形ABCD是矩形，△BQC沿CQ所在的直线对折得到△CQN， ∴∠CNM=∠B=90°， 设DM=x，则MQ=MC=6+x，MN=5+x， 在Rt△CNM中，MB2=BN2+MN2 ， 即（x+6）2=42+（x+5）2 ， 解得：x= ， ∴DM= ， ∴DM的长2.5． （3）解：解：分两种情况： ①当点M在CD延长线上时，如图所示： 由（1）得∠MCQ=∠MQC， ∵DE⊥CQ， ∴∠CDE=∠F， 又∵∠CDE=∠FDM， ∴∠FDM=∠F， ∴MD=MF． 过M点作MH⊥DF于H，则DF=2DH， 又 ∴ ， ， ∵DE⊥CQ MH⊥DF， ∴∠MHD=∠DEC=90°， ∴△MHD∽△DEC ∴ ∴MN＝ ∴BQ＝NQ＝ 或2． ， ∴DM=1，MC=MQ=7， ②当点M在CD边上时，如图所示，类似可求得BQ=2． 综上所述，BQ的长为 【解析】【分析】（1）由矩形的性质得出∠B=90°，AB=CD=6，CD∥AB，得出∠MCQ=∠CQB，由折叠的性质得出△CBQ≌△CNQ，求出BC=NC=4，NQ=BQ=1，∠CNQ=∠B=90°，∠CQN=∠CQB，得出∠CNM=90°，∠MCQ=∠CQN，证出MC=MQ．（2）设DM=x，则MQ=MC=6+x，MN=5+x，在Rt△CNM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．（3）分两种情况：①当点M在CD延长线上时，由（1）得：∠MCQ=∠CQM，证出∠FDM=∠F，得出MD=MF，过M作MH⊥DF于H，则DF=2DH，证明△MHD∽△CED，得出 ，求出MD= CD=1，MC=MQ=7，由勾股定理得出MN即可解决问题． ②当点M在CD边上时，同①得出BQ=2即可． 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容