核心素养导向的高中数学课例研究与实践
--以《直线与平面垂直的判定》为例
高中数学核心素养是指通过学习高中数学的知识与技能、思想与方法而习得的让学生终身受益的重要观念，学生解决问题时所需要的综合性能力与必备品格.《普通高中数学课程标准（征求意见稿）》（以下简称新《课程标准》）的最大亮点是建构了核心素养体系，给出了数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等六大数学核心素养，并以核心素养统领学业质量标准研制、教材编写、教学实施、考试评价等.
关注“核心素养”的培养是目前我国基础教育理论研究和实践变革的重大趋势.核心素养的研究应加强将理念落实于教学实践的研究，冲破长久以来横亘在专家的“理论研究”和教师的“实际教学”之间的阻隔，将教育理念落实于课堂教学行为，关注学生的总体素质塑造.理念的落实最终是发生在课堂上的，作为一线的数学教师，更应关注：发展学生的核心素养，数学教学该怎么做？如何在课堂上有效的发展学生的“核心素养”？实践表明，“课例”是理念转化为实践的最有效的中介，好的课例可以为教师提供理论与实践相结合的载体，为教师的教学实践提供有效的抓手.
一、核心素养导向的课例研究的关键问题
课例研究是一种集专业培训、课堂观察、教师参与、改良过程、合作研究等多种研究方式于一体的研究平台，指的是教师系统合作，改善课堂教学，分享教学策略，共享教学资源的研究过程.一般采取“上课→说课→评课→反思→重新设计课例→整合形成新的课例”的流程对课堂教学展开循环式改进研究，强调教师合作与反思.
基于核心素养导向的课例研究必然要求研究者要转变视角，与时俱进，特别是要关注以下三个关键问题。
1.基于核心素养导向的课例研究的基本框架.
核心素养导向的课例研究是基于《课程标准》，立足课堂，实现教材、教学、考试、评价一致性的研究.
经过研究与实践，我们设计并形成了如下的课例研究的基本框架：
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明确核心素养 培养目标 以核心素养为导向 的课堂教学设计 循多环次改实进践实施课堂教学设计 课堂教学评价 修改教学设计 课堂观察
提反出思改总进结 构建教学策略与评价模型 研究的重点与难点：将核心素养的达成具体化为可操作的教学目标，明确教学方向；通
过具体的课堂教学课例研究，落实培养学生数学学科核心素养，改进教学，立德树人.
课例研究的每一环节需要基于如下原则展开：在“确立研究主题”环节做到教学合一；在“规划教学设计”环节做到因学设教；在“实施课堂观察”环节做到以学观教；在“开展课后研讨”环节做到以学论教；在“形成研究报告”环节做到以学改教。
2.基于核心素养导向的教学目标的制定.
新《课程标准》指出“数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是在数学学习的过程中逐步形成的.”同时，在“学业质量标准”中将六大核心素养各划分为三个水平层次.”核心素养的提出，对教学下一步的发展，有了更明确的指向，深化了教学目标的内涵.核心素养的形成，需要通过每一节课的有效学习来实现.因此，核心素养导向的课例研究首先要明确核心素养发展的具体目标；其次要界定体现高中数学核心素养不同层面的教学内容；再次要将高中数学的六大核心素养的要求具体化为每一节课的可操作性教学目标. 3.基于核心素养导向课例研究维度及要点解析.
新《课程标准》指出“高中数学教学活动要树立以发展学生数学核心素养为导向的教学意识，创设有利于学生数学核心素养发展的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质.提倡独立思考、合作交流等多种学习方式，养成良好的学习习惯.重视数学建模活动和数学探究活动，促进学生应用能力和创新意识的发展.注重信息技术与课程内容的整合，提高教学的实效性.不断引导学生感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值.”
我们认为，在基于核心素养导向的课例研究过程中，应关注以下研究维度及要点解析：
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研究维度 要点解析 正确确定数学核心素养的达成水平，关注数学核心素养目标在课堂教学中的可实现性，目标陈述清晰而具体化，能有效地指导学生的数学学习； 教学目标 正确体现“课程目标—单元目标—课堂教学目标”的层次性，符合学生核心素养水平达成的阶段性、连续性、整合性等特点，关注跨学科整合核心素养培养目标. 结合特定教学任务，确定相应核心素养在教学中的孕育点、生长点，明确教学重点； 注意数学核心素养与具体教学内容的关联，明确知识的来龙去脉，做到教学的教学内容 准、精、简； 整体把握教学内容，加强教学内容与数学核心素养水平发展的融合，促进数学核心素养持续发展. 既重视教，更重视学，促进学生学会学习，探索有利于促进学生学习的多样化教学方式 教学方式； 充分运用信息技术工具，改善数学教学和学习方式. 为实现教学目标设置合理的教学环节，确定核心素养融入教学内容和教学过程的具体方式及载体； 理解和把握学生学习数学的规律，抓住所教数学内容的本质，展示数学学与教的有效过程； 结合教学任务及其蕴含的数学核心素养设计合适的教学情境和问题； 教学过程 根据需要将多种教学方法进行优化组合，把数学核心素养的养成和发展渗透、呈现在教学中； 恰当处理“预设”与“生成”的关系，机智运用反馈调节机制，设计的练习具有针对性和有效性； 恰当选择和运用教学媒体，有效整合教学资源. 以教学目标的达成作为依据，注意评价的整体性与阶段性； 评价方式 关注学生数学知识技能的掌握、学习态度、数学核心素养水平的达成，做到评价形式的多样化. 二、核心素养导向的高中数学课例举例
课题：人教A版必修2第二章第三节《直线与平面垂直的判定》（第1课时） 1.教学目标与内容
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教学目标与内容 通过观察图片和折纸试验，使学生理解直线与平面垂直的定义，归纳和确认直线与平面垂直的判定定理，并能简单应用定义和判定定理. 通过对判定定理的探究和运用，初步培养学生的几何直观能力和抽象概括能力. 落实核心素养的具体内容 能够在特例的基础上归纳并形成线面垂直判定定理，能够模仿学过的判定定理解决简单线面垂直问题. 能够在证明线线垂直的情境中，想象并构建线面垂直的几何图形，并能用准确的数学语言表述论证线面垂直. 核心素养水平 数学抽象 水平一 逻辑推理 水平一 逻辑推理 水平二 直观想象 水平二 2.教学方式
本节课采用师生、生生合作交流和以学生为主体的探究式学习展开教学.核心素养方面尤其侧重于数学抽象、逻辑推理及直观想象等核心素养的培养，主要引导学生通过自主学习与合作探究，实现在熟悉的生活情境中抽象出直线与平面垂直的定义以及判定方法.通过合作交流，明确线面垂直的判定实质内涵，从而达到灵活应用定理解决相关数学问题.
3.教学过程
教学过程简述 提问复习：直线与平面的位置关系有哪几种？ 引发思考：直线与平面相交的时候还可以分为什么样的位1.线面垂直定义的建构 置关系？从而引出本节课的重点之一——直线与平面垂直的定义. 进一步提出问题：那么怎么给直线与平面垂直下定义呢？ 新课引入： 通过实例让学生感受什么样的位置关系可以理解为直线与平面的垂直，小组成员通过观从实例到图片再到实际生活，直观感知直线和平面垂直的创设情境，激发学生学习动机，观察在实际生活的情境中直接抽象出直线与平面垂直的定义. 设计意图 复习已学过的知识，巩固直线与平面的位置关系，为引入直线与平面的垂直做铺垫，并由此过渡到本节课的重点知识之一. 教学策略 知识衔接，导入问题思考. 落实核心素养目标 在熟悉的情境中，发现图形的关系. 能够用数学语言表达直线与平面的位置关系，并能进行简单的推理论证。 |
察动画演示，交流讨论自己对直线与平面垂直的感悟，用语言描位置关系，从而建立初步印象，归纳，形成概念. 述出对直线与平面垂直的理解，为下一步的数学进而形成直线与平面垂直的定义. 通过辨析，进一步理解定义中“任意一条直线”与“无数条直线”的区别.“标准图形”可以对概念的本质特征起到强化作用，反例不仅可以帮助加深概念的理解，而且有助于发展空间想象能力. 通过观察线面垂直的实例，提出疑问：怎样检验直线与平面垂直？ 学生分组讨论，分别阐述自2.直线与平面垂直的判定定理的探究 己的观点；师生共同讨论小组间得到的结论的可行性，如果按照学生得到的结论进行检验，可能会遇到的难题，并鼓励学生之间相互解答疑问. 引导学生动手操作折纸实验，并提出关键问题： （1）折痕AD所在的直线一定与桌面所在的平面垂直吗？ （2）如何翻折才能使折痕AD所在的直线与桌面所在的平面垂直? 通过观察思考，感知直线与平面垂直的本质内涵. 问题1的答案是“不一定”；也正是因为“不一定”，所以要回动手操作，小组交流，确定自己的猜想. 质疑反思，进一步深化对动手操作解释抽象的直线与平面垂直的判定定理. 借助折纸发现图形与图形之间的关系，折纸结果反映的数学本质就是要解决直线与平面从具体到抽象，引导学生完成抽象与具体之间的相互转换. 学生大胆猜想，通过合作讨论进而小心验证自己的猜想 分析实例，猜想直线与平面垂直的判定定理. 通过直线与平面垂直的定义，抽象出判定直线与平面垂直的一般规则——将空间问题化归为平面问题处理. 让学生自己感知“任意一条”“无数条”的区别. 辨析讨论，深化概念理解. 发现并提出数学问题，应用数学语言予以表达，达到消除概念认识的偏差. 抽象做准备. |
（3）如何验证此时折痕与桌面垂直？ （4）如果平面外一条直线与平面内的两条直线都垂直，就能判断此直线与平面垂直了吗？ 由教师引导，学生合作交流得到直线与平面垂直的判定定理. 尝试练习，巩固定理. 答问题（2）的“如何翻折”，这也正是判断直线与平面垂直的要件。 定理的理解. 垂直的判定问题. 这是运用判引导学生对问题条件的分析，做到“由已知掌握直线与平面垂直的判定定理的条件与结论之间的逻辑关系，能够证明简单的直线与例 已知a//b，a， 定定理的一个典求证：b. 先组内讨论交流，再组间分3.线面享结论、展示成果，从成功解决垂直问题的学生中提取经验，进一步的判对定理加深理解. 定定 理的用数学语言的能初步力，使学生对线应 用 面垂直的认识由感性上升到理性. 辑推理能力和运养学生严谨的逻题价值所在，培问题研究实际问型的应用题. 阐述用数学想未知”，平面垂直的问题，借助刚刚习得的线面垂直的定义与判定，不难发现这个问题的证法有两种. 通过对条件和结果的分析探索论证思路，选择合适的方法予以证明.不仅教会学生解决问题，更教会学生研究问题. （1）通过本节课的学习，4.总结你学会了哪些判断直线与平面通过小结，使本节课的知识系统化，使学生深刻理解数学思想方法在解题中的地位和应用，小组通过总结，进合作交流，一步巩固直线与平相互释疑，面垂直的定义及判总结归纳本节课的定定理的应用，掌握应用定理推理证反思，垂直的方法？ 提高（2）在证明直线与平面垂认 识 直时应注意哪些问题？ （3）本节课涉及到哪些数学习任务，明，进而达到有逻|
学思想和方法？ （4）本节课你还有哪些问题？ 5.布置必做题：课本P67练习1：培养学生认真总结的学习习惯. 以及定理应用. 辑地表达与交流的目的. 通过训练，巩固本课所学知必做题巩固学生学习的 通过对题目条件和结果的分析，探索论证的思路，作业，如图1，在三棱锥V-ABC中，自主探究 VA=VC，AB=BC，求证：VB⊥AC. 识，感悟其中蕴选做题：如图2，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F.求证：AF⊥SC. 涵的转化数学思想，增强学生的应用意识. 必做题在例题的基础上，应用了直线与平面垂直的意义；选做题进一步巩固直线与平面垂直的判定定理. 4.教学收获与反思
基础知识，选择合适的证明方为学生必要完成的作业；选做题可在学生学有余力的情况下继续钻研. 法，并用准确的线面垂直的定义和判定完成论证过程. 收获：（1）从直线与平面的位置关系中，选择最特殊的相交关系引出课题，并伴以学生的动手操作、举例、想象和语言描述.注意知识的系统与联系，强调学生生活经验的作用，容易使学生回忆起“直线与平面平行”的学习中形成的经验，从而达到在熟悉的情境中，发现图形的关系抽象概括出直线与平面垂直的定义；（2）在教学过程中，不断的设置疑问，不仅是为了拓展加深对定理的认识，更重要的是培养了学生空间观念与思维的严谨性，培养了学生逻辑推理等数学核心素养；（3）通过观察实例，动手操作，让学生更清楚地看到线面垂直的关键因素是什么，使学生学在情境中，思在情理中，感悟在内心中，学自己身边的数学.借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题，有助于直观想象素养的培养；从图形与图形关系中，抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，用数学语言予以表征，有助于数学抽象素养的培养.
反思：（1）在复习回顾过程中，教师首先提出了一个问题：问直线和平面有几种位置关系.我们研究了直线和平面平行，直线在平面内是平面几何的内容，今天我们来研究直线
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和平面相交的一种特殊情况，同学们都一起回答是：垂直.这样激发了学习的兴趣.在本节课的设计中，教师引入了生活中的场景来激发学生学习数学的兴趣.但如何正确处理好面向全体与个性发展、“预设”与“生成”等仍是当前数学教学中不容忽视的问题，特别是数学核心素养在教学中的孕育点、生长点、水平层次如何准确把握，仍有待于进一步研究，并在实践中不断总结；（2）在直线与平面垂直的判定定理讲解设计中，教师让学生先观察实例，再从实际情境中抽象出数学模型，通过两个数学小实验，让学生动一动手，学生自主探究得出判定定理.在这里，教师仍然要求学生会用三种语言来表达这个判定定理，并和学生一起去分析定理中的五个条件.讲解后，教师设计了几道判断题，主要目的是希望学生自己去发现判定定理中的五个条件都是不能少的，缺少一个结论均不成立.但是也有一定的不足：比如说，可以充分利用多媒体技术，不妨直接将五个条件投影出来，然后依次擦去一个或者两个条件，让学生自己去证明结论是否仍然成立.要进一步加强学生在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系的学习，积累从具体到抽象的活动经验；养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯，把握事物的本质，以简驭繁；运用数学抽象的思维方式思考并解决问题.
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