数学2018-2019学年度高三下学期三模(理科)试题

数学（理科）试卷

第一命题人：康艳华 第二命题人：王战普

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、 选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的

序号填涂在答题卡上） 理科数学

1．已知集合A＝{x∈R|x+1＞0}，B＝{x∈Z|x≤1}，则A∩B＝ A．{x|0≤x≤1}

B．{x|﹣1＜x≤1}

C．{0，1}

D．{1}

2．复数112ii2 的共轭复数的虚部为

A．110 B．110

C．

3 D．310 10

3．有一散点图如图所示，在5个（x，y）数据中 去掉D（3，10）后，下列说法正确的是 A．残差平方和变小 B．相关系数r变小 C．相关指数R2变小

D．解释变量x与预报变量y的相关性变弱

4. 已知双曲线C:x2y21241 ，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为P，Q，若△POQ为直角三角形，则|PQ|＝ A．2 B．4

C．6

D．8

高二数学理科试题 第1页(共8页) 5．中华人民共和国国旗是五星红旗，旗面左上方缀着的五颗黄色五角星，四颗小五角星环拱于大星之右，象征中国共产党领导下的革命人民大团结和人民对党的衷心拥护．五角星可通过正五边形连接对角线得到，且它具有一些优美的特征，如

A2E2B1A2A1B151B．现在正五边形A1B1C1D1E1内1A2A1B1B1E12随机取一点，则此点取自正五边形A2B2C2D2E2内部的概率为 A．515122 B．(2) C．(513512) D．(2)4

6.已知某算法的程序框图如图所示,则该算法的功能是 A．求首项为1,公比为2的等比数列的前2017项的和

B．求首项为1,公比为2的等比数列的前2018项的和 C．求首项为1,公比为4的等比数列的前1009项的和 D．求首项为1,公比为4的等比数列的前1010项的和

7．如图1，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N，Q分别

是线段AD1，B1C，C1D1上的动点，当三棱锥Q-BMN的正视图如图2所示时，三棱锥俯视图的面积为

A．2 B．1 C．352 D．2

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8．如图直角坐标系中，角02、角20的终边分别交单位圆于A、B两点，若B点的纵坐标为513，且满足S3AOB4，则sin23cos2sin212 的值 A．513 B．1212513 C．13 D．13

9. 已知函数f(x)sinx3cosx(0)，若集合{x(0，)|f(x)1}含有4个元素，则实数的取值范围是

A．[32,52)

B．(352,2]

C．[72,256)

D．(7252,6]

10．已知抛物线y24x上有三点A，B，C，AB，BC，CA的斜率分别为3，6，2，则ABC的重心坐标为

A．(149,1)

B．(149,0)

C．(1427,0) D．(1427,1) 11.函数f(x)ex1aex1a2x2 的零点个数是

A.0 B.1 C.2 D.3

12. 在等腰直角ABC中， ABAC， BC2， M为BC中点， N为AC中点，D为BC边上一个动点， ABD沿AD翻折使BDDC，点A在面BCD上的投影为点O，当点D在BC上运动时，以下说法错误的是

A．线段NO为定长 B．CO1,2

C．AMOADB180 D．点O的轨迹是圆弧

高二数学理科试题 第3页(共8页) 二、 填空题（共4题，每题5分）

n13. 已知二项式2x1x的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则x3的系数为

14. 数学老师给出一个定义在R上的函数f（x），甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条性质：

甲：在（﹣∞，0]上函数单调递减；乙：在[0，+∞）上函数单调递增； 丙：函数f（x）的图象关于直线x＝1对称；丁：f（0）不是函数的最小值． 老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确，那么，你认为说法错误的同学是 15. 已知△ABC的一内角A3 ，O为△ABC所在平面上一点，满足|OA|＝|OB|＝|OC|，设

AOmABnAC ，则m+n的最大值为

16．已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A2B，则

c2bba的取值范围为__________．

三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

17. （本题满分12分）数列{an}中，apn112,anan12（p为常数）．

（Ⅰ）若a11,2a2,a4成等差数列，求p 的值； （Ⅱ）是否存在p，使得{an}为等比数列？并说明理由．

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18．（本题满分12分）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角ACDF为60，DE//CF，CDDE，AD2，DEDC3，CF6． （1）求证：BF//平面ADE； （2）G为线段CF上的点，当

时购买滤芯，则一级滤芯每个80元，二级滤芯每个160元.若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个200元，二级滤芯每个400元。现需决策安装净水系统的同时购滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中图是根据200个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图，表是根据100个二级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表.

CG1时，求二面角BEGD的余弦值． CF4

x2y219. （本题满分12分）椭圆221ab0的左、右焦点分别为F1,F2，右顶点为A，

ab上顶点为B，且满足向量BF1BF20 (1)若A2,0 ，求椭圆的标准方程;

(2)设P为椭圆上异于顶点的点，以线段PB为直径的圆经过F1，问是否存在过F2的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由。

20．（本题满分12分）某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为三级过滤，使用寿命为十年.如图所示，两个一级过滤器采用并联安装，二级过滤器与三级过滤器为串联安装。

二级滤芯更换频数分布表 二级滤芯更换的个数 频数

以200个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以100个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率. （1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为

的概率；

5 60 6 40 （2）记X表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级滤芯总数，求X的分布列及数学期望；

（3）记m，n分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若

m+n=28，且n5,6，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定m，n的值.

其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现。在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立），三级滤芯无需更换，若客户在安装净水系统的同

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21. （本题满分12分）已知函数fxlnx2axbxa,b0，对任意x0，都有

fxf4x0.

(1)讨论fx 的单调性；

（2）当fx存在三个不同的零点时，求实数a的取值范围.

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请考生在第22、23两题中任选一个做答，如果多做，则按所做的第一题记分。 22. （本题满分10分）在直角坐标系中xOy中，曲线C的参数方程为xacosty2sint (t为参数，

a0)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为

cos422 （1）设P是曲线C上的一个动点，当a23 时，求点P到直线l的距离的最大值； （2）若曲线C上所有的点均在直线l的右下方，求a的取值范围．

23. （本题满分10分）已知x+y＞0，且xy≠0． （1）求证：x3+y3≥x2y+y2x； （2）如果xy2yx2m211恒成立，试求实数m的取值范围． xy

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