2022-2023学年安徽省示范高中高一（上）期末数学试卷
1. 下列函数中与𝑦=𝑥是同一个函数的是( ) A. 𝑦=(√𝑥)
2
B. 𝑣=𝑢 C. 𝑦=√𝑥2 D. 𝑚=
𝑛2 𝑛
2. 设集合𝑀={1,3,5,7,9}，𝑁={𝑥|2𝑥>7}，则𝑀∩𝑁=( ) A. {7,9}
B. {5,7,9}
C. {3,5,7,9}
𝑓(𝑥)D. {1,3,5,7,9}
3. 已知函数𝑓(𝑥+2)的定义域为(−3,4)，则函数𝑔(𝑥)=√3𝑥−1的定义域为( ) A. (3,4)
5
1
B. (3,2)
1
1
1
C. (3,6)
1
D. (3,1)
1
4. 函数①𝑦=𝑎𝑥；②𝑦=𝑏𝑥；③𝑦=𝑐𝑥；④𝑦=𝑑𝑥的图象如图所示，a，b，c，d分别是下
列四个数：，√3，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是( )
432
A. 4，√3，3，2 C. 2，3，√3，4
1
1
5
511
B. √3，4，3，2 D. 3，2，4，√3
1
1
5
511
5. 将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线
中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图是分别以A、B、C为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线𝛤(又称莱洛三角形)，下列关于曲线𝛤的描述中，正确的有( ) (1)曲线𝛤不是等宽曲线；
(2)曲线𝛤是等宽曲线且宽为线段AB的长； (3)曲线𝛤是等宽曲线且宽为弧AB的长； (4)在曲线𝛤和圆的宽相等，则它们的周长相等； (5)若曲线𝛤和圆的宽相等，则它们的面积相等．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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𝑎+𝑎𝑥,𝑥≥0
6. 已知函数𝑓(𝑥)={3+(𝑎−1)𝑥,𝑥<0(𝑎>0且𝑎≠1)，则“𝑎≥3”是“𝑓(𝑥)在R上单调递增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
7. 设𝑎=log53，𝑏=log85，𝑐=log138，则( ) A. 𝑎<𝑏<𝑐 B. 𝑏<𝑎<𝑐 C. 𝑏<𝑐<𝑎 D. 𝑐<𝑎<𝑏
𝜋3𝜋
8. 设函数𝑓(𝑥)=2sin(𝜔𝑥+𝜑)−1(𝜔>0)，若对于任意实数𝜑，𝑓(𝑥)在区间[4,4]上至少有
2个零点，至多有3个零点，则𝜔的取值范围是( )
A. [3,3) B. [4,3) C. [4,3) D. [3,3)
9. 对于给定实数a，关于x的一元二次不等式(𝑎𝑥−1)(𝑥+1)<0的解集可能是( ) A. {𝑥|−1<𝑥<𝑎} B. {𝑥|𝑥≠−1} C. {𝑥|𝑎<𝑥<−1} D. R
1
1
8202016
816
10. 已知集合𝐴={𝑥∈𝑅|𝑥2−3𝑥−18<0}，𝐵={𝑥∈𝑅|𝑥2+𝑎𝑥+𝑎2−27<0}，则下列命
题中正确的是( )
A. 若𝐴=𝐵，则𝑎=−3 B. 若𝐴⊆𝐵，则𝑎=−3 C. 若𝐵=⌀，则𝑎≤−6或𝑎≥6
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D. 若𝐵⫋𝐴时，则−6<𝑎≤−3或𝑎≥6
11. 已知函数𝑓(𝑥)=sin4𝑥+cos2𝑥，则下列说法正确的是( ) A. 最小正周期是2 B. 𝑓(𝑥)是偶函数
C. 𝑥=8是𝑓(𝑥)的一条对称轴 D. 𝑓(𝑥)在(−4,0)上递增
𝜋
𝜋
𝜋
12. 已知𝑥>0，𝑦>0且3𝑥+2𝑦=10，则下列结论正确的是( ) A. xy的最大值为25
B. √3𝑥+√2𝑦的最大值为2√5 C. 𝑥+𝑦的最小值为2 D. 𝑥2+𝑦2的最大值为13
3100
3
2
56
13. 若𝑥>−1，则𝑥+𝑥+1的最小值是__________.
14. 已知sin𝛼=2cos𝛼，则sin2𝛼+2sin𝛼cos𝛼=______.
15. 已知函数𝑦=lg(√𝑥2−𝑥+1+𝑎𝑥)的定义域是R，则实数a的取值范围是______.
1
1
16. 若x，𝑦∈𝑅+，(𝑥−𝑦)2=(𝑥𝑦)3，则𝑥+𝑦的最小值为______.
17. 函数𝑓(𝑥)是定义在R上的偶函数，当𝑥≥0时，𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑥.
(1)求函数𝑓(𝑥)在𝑥∈(−∞,0)的解析式； (2)当𝑚>0时，若|𝑓(𝑚)|=1，求实数m的值．
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18. 已知函数𝑓(𝑥)=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝐴>0,𝜔>0,0≤𝜑<𝜋)的图象如图所示．
(1)求函数𝑓(𝑥)的解析式；
(2)首先将函数𝑓(𝑥)的图象上每一点横坐标缩短为原来的2，然后将所得函数图象向右平移8个单位，最后再向上平移1个单位得到函数𝑔(𝑥)的图象，求函数𝑔(𝑥)在[0,2]内的值域．
𝜋
1
𝜋
19. 在股票市场上，投资者常根据股价(每股的价格)走势图来操作，股民老张在研究某只股
票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价𝑦(元)与时间𝑥(天)的关系在ABC段可近似地用函数𝑦=𝑎sin(𝜔𝑥+𝜑)+20(𝑎>0,𝜔>0,0<𝜑<𝜋)的图象从最高点A到最低点C的一段来描述(如图)，并且从C点到今天的D点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号.
老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线DEF段所示，且DEF段与ABC段关于直线l：𝑥=34对称，点B、D的坐标分别是(12,20)、(44,12).
(1)请你帮老张确定a、𝜔、𝜑的值，写出ABC段的函数表达式，并指出此时x的取值范围； (2)请你帮老张确定虚线DEF段的函数表达式，并指出此时x的取值范围；
(3)如果老张预测准确，且在今天买入该只股票，那么最短买入多少天后，股价至少是买入价的两倍？
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20. 已知_____，且函数𝑔(𝑥)=2𝑥2+𝑎.
①函数𝑓(𝑥)=𝑥2+(2−𝑎)𝑥+4在定义域[𝑏−1,𝑏+1]上为偶函数； ②函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏(𝑎>0)在[1,2]上的值域为[2,4]；
在①，②两个条件中，选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出a，b的值，并解答本题． (1)判断𝑔(𝑥)的奇偶性，并证明你的结论；
(2)设ℎ(𝑥)=−𝑥−2𝑐，对∀𝑥1∈𝑅，总∃𝑥2∈[−2,2]，使得𝑔(𝑥1)=ℎ(𝑥2)成立，求实数c的取值范围．
𝑥+𝑏
21. 已知函数𝑓(𝑥)=log3(9𝑥+1)+𝑘𝑥是偶函数．
(1)当𝑥≥0，函数𝑦=𝑓(𝑥)−𝑥+𝑎存在零点，求实数a的取值范围；
(2)设函数ℎ(𝑥)=log3(𝑚⋅3𝑥−2𝑚)，若函数𝑓(𝑥)与ℎ(𝑥)的图象只有一个公共点，求实数m的取值范围．
𝑚
22. 已知函数𝑓(𝑥)=ln(1−𝑥)−ln(1+𝑥)，𝑔(𝑥)=4𝑥+2𝑥+1𝑚−2+1.
(1)判断函数𝑓(𝑥)的奇偶性，并说明理由；
(2)若存在两不相等的实数a，b，使𝑓(𝑎)+𝑓(𝑏)=0，且𝑔(𝑎)+𝑔(𝑏)≥0，求实数m的取值范围．
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答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：对于A，𝑦=(√𝑥)2的定义域为[0,+∞),与𝑦=𝑥的定义域为R不同，故A错误； 对于B，函数𝑣=𝑢，与函数𝑦=𝑥为同一函数，故B正确； 对于C，𝑦=√𝑥2=|𝑥|与𝑦=𝑥的对应关系不同，故C错误； 对于D，𝑚=𝑛=𝑛(𝑛≠0)与𝑦=𝑥的定义域不同，故D错误． 故选：𝐵.
直接利用同一函数的概念判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：同一函数的定义，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
𝑛2
2.【答案】B
【解析】解：因为𝑁={𝑥|2𝑥>7}={𝑥|𝑥>2}，𝑀={1,3,5,7,9}， 所以𝑀∩𝑁={5,7,9}. 故选：𝐵.
直接根据交集的运算性质，求出𝑀∩𝑁即可． 本题考查了交集及其运算，属基础题．
7
3.【答案】C
【解析】解：∵函数𝑓(𝑥+2)的定义域为(−3,4)，即−3<𝑥<4， ∴𝑥+2∈(−1,6)，即𝑓(𝑥)的定义域为(−1,6).
又3𝑥−1>0，∴𝑥>，取交集可得函数𝑔(𝑥)的定义域为(,6). 故选：𝐶.
由已知求得𝑓(𝑥)的定义域，结合分式的分母不为0，可得函数𝑔(𝑥)的定义域． 本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题．
1
3134.【答案】C
【解析】解：直线𝑥=1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b， 由√3>4>2>3， 故选：𝐶.
只需明确直线𝑥=1与函数图象的交点的纵坐标大小，即可得出答案． 本题考查指数函数的图象，属于基础题．
5
1
1
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5.【答案】B
【解析】解：若曲线𝛤和圆的宽相等，设曲线𝛤的宽度为1，则圆的半径为2， (1)根据定义，可以得到曲线𝛤是等宽曲线，错误； (2)曲线𝛤是等宽曲线且宽为线段AB的长，正确； (3)根据(2)得(3)错误；
(4)曲线𝛤的周长为3××2𝜋=𝜋，圆的周长为2𝜋×=𝜋，故它们的周长相等，正确； (5)正三角形的边长为
12𝜋×12
1，则三角形对应的扇形面积为6√31
1612=6，
𝜋
正三角形的面积𝑆=×1×1×则一个弓形面积𝑆′=−
𝜋𝜋6√32=
√34，
4，
√3则整个区域的面积为3(6−4)+4=2−2， 而圆的面积为𝜋(2)2=4，不相等，故错误． 综上，正确的有2个． 故选：𝐵.
若曲线𝛤和圆的宽相等，设曲线𝛤的宽度为1，则圆的半径为2，根据定义逐一判断即可得出结论． 本题主要考查新定义，理解“等宽曲线”得出等边三角形是解题的关键，属于中档题．
1
1
𝜋
√3𝜋√36.【答案】A
【解析】解：若𝑓(𝑥)在R上单调递增， 𝑎>1
则{𝑎−1>0， 𝑎+1≥3所以𝑎≥2，
由“𝑎≥3”可推出“𝑎≥2”，但由“𝑎≥2”推不出“𝑎≥3”， 所以“𝑎≥3”是“𝑓(𝑥)在R上单调递增”的充分不必要条件． 故选：𝐴.
先由𝑓(𝑥)在R上单调递增求得a的取值范围，再利用充分条件，必要条件的定义即得．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】 【分析】
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本题考查了三个数大小的判断，对数的运算，属于中档题．
根据，可得𝑎<𝑏，然后由𝑏=log85<0.8和𝑐=log138>0.8，得到𝑐>𝑏，再确定a，b，c的大小关系． 【解答】
解：∵𝑏=log55=log53⋅log58
8
𝑎𝑏
𝑎log3
2
<
(log53+log58)
4
5
=(2)2<1，
log24
∴𝑎<𝑏； ∵55<84，
∴5<4log58，∴log58>1.25，∴𝑏=log85<0.8； ∵134<85，
∴4<5log138，∴𝑐=log138>0.8，∴𝑐>𝑏， 综上，𝑐>𝑏>𝑎. 故选：𝐴.
8.【答案】B
【解析】 【分析】
本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合解题思想，是难题． 令函数𝑓(𝑥)=0得sin(𝜔𝑥+𝜑)=2，根据正弦函数𝑦=sin𝑥的图象与性质，得出函数𝑦=sin𝑥相邻4个零点满足的条件，求出相邻三个零点和相邻四个零点占区间长度的最小值，由此求得𝜔的取值范围． 【解答】
解：令函数𝑓(𝑥)=2sin(𝜔𝑥+𝜑)−1=0，解得sin(𝜔𝑥+𝜑)=， 𝑦=sin(𝜔𝑥+𝜑)是由𝑦=sin𝑥图象变换得到的，且最小正周期为𝑇=在[0,2𝜋]内，sin=sin
𝜋6
5𝜋6
2𝜋， 𝜔
12
1
=，
12
所以函数𝑦=sin𝑥相邻4个零点𝑥1、𝑥2、𝑥3、𝑥4满足：
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𝑥2−𝑥1=𝑥4−𝑥3=
5𝜋𝜋−66=
2𝜋
， 3𝑥3−𝑥1=𝑥4−𝑥2=2𝜋，
𝑥3−𝑥2=(𝑥3−𝑥1)−(𝑥2−𝑥1)=2𝜋−3=3，
相邻三个零点占区间长度为𝑑1=2𝜋，即区间长度为2𝜋时至少有2个零点，
相邻四个零点占区间长度最短为𝑑2=𝑥4−𝑥1=(𝑥4−𝑥3)+(𝑥3−𝑥1)=3+2𝜋=3， 𝑥∈[,
𝜋2𝜋3𝜋
]时，𝜔𝑥442𝜋
8𝜋
2𝜋
4𝜋
∈[𝜔,
𝜋43𝜋3𝜋𝜋𝜔]，区间宽度为(−)𝜔4448𝜋𝜋
(𝜔32=𝜔，
𝜋2𝜋2𝑑1≤𝜔<𝑑2，即2𝜋≤𝜔<解得4≤𝜔<故选：𝐵.
𝜋2=𝑑1至少有2个零点，𝜔=𝑑2至少有4个零点)，
1616，所以𝜔的取值范围是[4,). 33
9.【答案】AB
【解析】解：关于x的一元二次方程(𝑎𝑥−1)(𝑥+1)=0的两根为，−1， 当𝑎>0时，𝑎>−1，故不等式的解集为(−1,𝑎)， 当𝑎<0时，
②若𝑎=−1，则𝑎=−1，∴不等式解集为{𝑥|𝑥≠−1}，
②若−1<𝑎<0，则𝑎<−1，∴不等式的解集为(−1,+∞)∪(−∞,𝑎)， ③若𝑎<−1，则>−1，∴不等式的解集为(−∞,−1)∪(,+∞)， 故选：𝐴𝐵.
先求出关于x的一元二次方程(𝑎𝑥−1)(𝑥+1)=0的两根为𝑎，−1，再对a进行讨论，解不等式即可．
本题考查一元二次不等式的解法，二次函数的图象与性质的应用，中档题．
1
1𝑎1𝑎1
1
11
1
1𝑎
10.【答案】ABC
【解析】 【分析】
本题考查了集合间的包含关系的应用，考查了一元二次不等式的解集的问题，属于基础题． 由已知求出集合A，再对应各个选项逐个求出满足选项的集合B的a的范围即可． 【解答】
解：由已知可得𝐴={𝑥|−3<𝑥<6}，
若𝐴=𝐵，则𝑎=−3，且𝑎2−27=−18，解得𝑎=−3，故A正确， 当𝑎=−3时，𝐴=𝐵，故D错误，
若𝐴⊆𝐵，则(−3)2+𝑎⋅(−3)+𝑎2−27≤0且62+6𝑎+𝑎2−27≤0，解得𝑎=−3，故B正确，
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当𝐵=⌀时，𝑎2−4(𝑎2−27)≤0，解得𝑎≤−6或𝑎≥6，故C正确. 故选：𝐴𝐵𝐶.
11.【答案】ABD
【解析】解：函数𝑓(𝑥)=sin4𝑥+cos2𝑥=sin4𝑥+1−sin2𝑥=(sin2𝑥−)2+=(
3412341−cos2𝑥12
−)22+
=
cos22𝑥3
+44=
cos4𝑥+13
+48=
cos4𝑥+7
. 82𝜋4对于A：函数的最小正周期为𝑇=对于B：函数𝑓(−𝑥)=
𝜋
cos(−4𝑥)+7
8𝜋
7
=，故A正确；
𝜋2=𝑓(𝑥)，函数为偶函数，故B正确；
𝜋7
对于C：当𝑥=8时，𝑓(8)=8，故函数的对称中心为(8,8)，故C错误；
对于D：由于𝑥∈(−4,0)，所以4𝑥∈(−𝜋,0)，函数𝑓(𝑥)在该区间上单调递增，故D正确； 故选：𝐴𝐵𝐷.
直接利用三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数性质的应用判断A、B、C、D的结论． 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
𝜋
12.【答案】BC
【解析】 【分析】
本题主要考查了基本不等式的应用以及二次函数求最值，属于中档题．
A选项，直接运用基本不等式，即可求解；B选项，平方后再利用基本不不等式，即可求解；C选项，运用巧用“1”，即可求得结果；D选项，首先代入消元，再利用二次函数求最值即可． 【解答】
解：对于A选项，∵3𝑥+2𝑦=10， ∴3𝑥+2𝑦≥2√6𝑥𝑦，∴√6𝑥𝑦≤2=5，
∴𝑥𝑦≤6，当且仅当3𝑥=2𝑦，即𝑥=3,𝑦=2时等号成立．选项A错误； 对于B选项，∵(√3𝑥+√2𝑦)2=3𝑥+2𝑦+2√6𝑥𝑦≤10+10=20，
∴√3𝑥+√2𝑦≤2√5，当且仅当3𝑥=2𝑦，即𝑥=3,𝑦=2时等号成立．故选项B正确； 对于C选项，𝑥+𝑦=10×(𝑥+𝑦)(3𝑥+2𝑦)≥10(13+2√36)=2， 当且仅当𝑥=𝑦，即𝑥=𝑦=2时等号成立．故C选项正确； 对于D选项，𝑥2+𝑦2=(3)2+𝑦2=
10−2𝑦
13𝑦2−40𝑦+100
(0
96𝑦
6𝑥3
2
1
3
2
1
5
5
5
25
5
5
10
<𝑦<5)，
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当𝑦=
20100
时，取得最小值为，因为1313y取不到5，所以无最大值；
故D选项错误． 故选𝐵𝐶.
13.【答案】2√3−1
【解析】 【分析】
本题考查基本不等式的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 利用基本不等式，即可得解． 【解答】
解：因为𝑥>−1，所以𝑥+1>0，
所以𝑥+𝑥+1=𝑥+1+𝑥+1−1≥2√(𝑥+1)⋅𝑥+1−1=2√3−1，当且仅当𝑥+1=𝑥+1，即𝑥=√3−1时，等号成立， 所以𝑥+𝑥+1的最小值是2√3−1. 故答案为：2√3−1.
33
3
3
3
14.【答案】5
【解析】解：∵sin𝛼=2cos𝛼，即tan𝛼=2，
8
sin2𝛼+2sin𝛼cos𝛼tan2𝛼+2tan𝛼22+2×28∴sin𝛼+2sin𝛼cos𝛼====. 22225tan𝛼+1sin𝛼+cos𝛼2+1
2
故答案为：5.
将已知等式左右两边同时除以cos𝛼，利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tan𝛼的值，然后将所求的式子利用同角三角函数基本关系式化简后，把tan𝛼的值代入即可求出值．
此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握同角三角函数基本关系式是解本题的关键，属于基础题．
8
15.【答案】(−
√32,1]
【解析】解：∵函数𝑦=lg(√𝑥2−𝑥+1+𝑎𝑥)的定义域是R， ∴√𝑥2−𝑥+1+𝑎𝑥>0对于任意实数x恒成立， 即𝑎𝑥>−√𝑥2−𝑥+1对于任意实数x恒成立，
当𝑥=0时，上式化为0>−1，此式对任意实数a都成立；
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当𝑥>0时，则𝑎>
1
−√𝑥2−𝑥+1𝑥1
1
=−√𝑥2−𝑥+1，
1
1
3
3
11
∵𝑥>0，∴𝑥>0，则𝑥2−𝑥+1=(𝑥−2)2+4≥4， 则−√𝑥2−𝑥+1≤−2，可得𝑎>−2； 当𝑥<0时，则𝑎<
1𝑥√𝑥2−𝑥+1
11√3√3−𝑥1𝑥21𝑥=√𝑥2−𝑥+1，
1𝑥123411
∵𝑥<0，∴<0，则
1
1
−+1=(−)2+>1，
则√𝑥2−𝑥+1>1，可得𝑎≤1. 综上可得，实数a的取值范围是(−故答案为：(−2,1].
问题转化为𝑎𝑥>−√𝑥2−𝑥+1对于任意实数x恒成立，然后对x分类，再由配方法求最值，即可求得实数a的取值范围．
本题考查函数的定义域及其求法，考查恒成立问题的求解方法，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
√3√32,1].
16.【答案】2
【解析】解：∵𝑥，𝑦∈𝑅+，(𝑥−𝑦)2=(𝑥𝑦)3， ∴
1𝑥221+2𝑥𝑦𝑦4
−=𝑥𝑦，
1
∴𝑥𝑦+𝑥𝑦=(𝑥+𝑦)2，
∴𝑥+𝑦=√𝑥𝑦+𝑥𝑦≥√2√𝑥𝑦⋅𝑥𝑦=2， 当且仅当𝑥𝑦=2时“=”成立， 故答案为：2.
求出𝑥𝑦+𝑥𝑦=(𝑥+𝑦)2，根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可． 本题考查了基本不等式的性质，考查转化思想，是基础题．
4
1
1
1
1
441
17.【答案】解：(1)令𝑥∈(−∞,0)，则−𝑥∈(0,+∞)，
由𝑓(𝑥)=𝑓(−𝑥)，此时𝑓(𝑥)=𝑥2+2𝑥； (2)由𝑚>0，|𝑓(𝑚)|=|𝑚2−2𝑚|=1， 所以𝑚2−2𝑚=±1，
解得𝑚=1或𝑚=1+√2或𝑚=1−√2(舍).
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【解析】(1)根据偶函数的性质，令𝑥∈(−∞,0)，由𝑓(𝑥)=𝑓(−𝑥)即可得解； (2)𝑚>0，有|𝑚2−2𝑚|=1，解方程即可得解． 本题考查了偶函数的性质，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由图象得𝐴=2，12−3=4𝑇=4⋅
由2×12+𝜑=2+2𝑘𝜋， 可得𝜑=−3+2𝑘𝜋(𝑘∈𝑍)， ∵0≤𝜑≤𝜋， ∴𝜑=，
∴𝑓(𝑥)=2sin(2𝑥+).
(2)𝑔(𝑥)=2sin[4(𝑥−)+]+1=2sin(4𝑥−)+1， 当𝑥∈[0,]时，4𝑥−∈[−,∴𝑔(𝑥)∈[−1,3].
【解析】本题考查了函数𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换以及由𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)的部分图象确定其解析式，考查数形结合思想和逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.
(1)由图象可求A的值，利用三角函数的周期公式可求𝜔的值，再代入点(12,2)计算出𝜑的值即可得解；
(2)由题意根据函数𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换可求𝑔(𝑥)的解析式，进而根据正弦函数的图象与性质即可得解．
13𝜋
𝜋
2
𝜋6
𝜋11𝜋𝜋
]，sin(4𝑥−)666
𝜋
8𝜋3𝜋6𝜋35𝜋13𝜋
𝜋
13𝜋
𝜋
3
32𝜋
𝜔⇒𝜔=2，
𝜋3∈[−1,1]，
19.【答案】解：(1)由图及B、D的纵坐标可知，𝑎=20−12=8，
𝑇42𝜋
𝜋
=12，𝑇=48，则𝜔=48=24，
𝜋
3𝜋
𝜋
由24×24+𝜑=2，解得𝜑=2，
则ABC段的函数表达式为𝑓(𝑥)=8sin(24𝑥+2)+20=8cos24𝑥+20，𝑥∈[0,24]；
(2)由题意结合对称性可知，DEF段的函数解析式为𝑦=8cos[24(68−𝑥)]+20，𝑥∈[44,68]； (3)由8cos[24(68−𝑥)]+20=24，解得𝑥=60， ∴买入60−44=16天后，股票至少是买入价的两倍．
【解析】(1)由已知图中B与D的坐标求得a与T，进一步求得𝜔，再由五点作图的第三点求解𝜑，则函数解析式可求，并求得x的范围； (2)由对称性求解DEF段的解析式；
(3)由8cos[24(68−𝑥)]+20=24解得𝑥=60，减去44得答案．
𝜋𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
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本题考查根据实际问题选择函数模型，考查𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)型函数的图象与性质，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：选择条件①，
(1)若函数𝑓(𝑥)=𝑥2+(2−𝑎)𝑥+4在定义域[𝑏−1,𝑏+1]上为偶函数， 2−𝑎=0则有{，解可得𝑎=2，𝑏=0，
𝑏−1+𝑏+1=0则𝑔(𝑥)=2𝑥2+2，
易知𝑔(𝑥)=2𝑥2+2为奇函数，
证明：𝑔(𝑥)的定义域为R，有𝑔(−𝑥)=−则𝑔(𝑥)为奇函数；
(2)由(1)的结论，𝑔(𝑥)为定义域为R的奇函数， 当𝑥>0时，𝑔(𝑥)=
1
1
1𝑥
𝑥
𝑥2𝑥2+2=−𝑔(𝑥)，
2(𝑥+𝑥)1
，
1
设𝑡=𝑥+𝑥，则有𝑥+𝑥≥2√𝑥×𝑥=2，当且仅当𝑥=1时等号成立，则有𝑡≥2， 对于𝑔(𝑥)=
1
12(𝑥+𝑥)
=2𝑡.则有0<𝑔(𝑥)≤2×2=4，
111
又由𝑔(𝑥)为奇函数，则𝑔(0)=0， 当𝑥<0时，有−≤𝑔(𝑥)<0，
综合可得：−4≤𝑔(𝑥)≤4，即函数𝑔(𝑥)的值域为[−4,4]； ℎ(𝑥)=−𝑥−2𝑐，在区间[−2,2]上，其值域为[−2−2𝑐,2−2𝑐]，
−2−2𝑐≤−
4
对∀𝑥∈𝑅，总∃𝑥2∈[−2,2]，使得𝑔(𝑥1)=ℎ(𝑥2)成立，则有{， 1
2−2𝑐≥4解可得：−≤𝑐≤，故c的取值范围为[−,]. 选择条件②，
(1)函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏(𝑎>0)在[1,2]上的值域为[2,4]； 𝑓(1)=𝑎+𝑏=2
有𝑎>0，𝑓(𝑥)在[1,2]上为增函数，则有{，
𝑓(2)=2𝑎+𝑏=4解可得𝑎=2，𝑏=0， 则𝑔(𝑥)=2𝑥2+2，
易知𝑔(𝑥)=2𝑥2+2为奇函数，
证明：𝑔(𝑥)的定义域为R，有𝑔(−𝑥)=−2𝑥2+2=−𝑔(𝑥)， 则𝑔(𝑥)为奇函数；
𝑥
𝑥𝑥787877881
1
1
11
14
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(2)由(1)的结论，𝑔(𝑥)为定义域为R的奇函数， 当𝑥>0时，𝑔(𝑥)=
1
1
12(𝑥+𝑥)1
，
1
设𝑡=𝑥+𝑥，则有𝑥+𝑥≥2√𝑥×𝑥=2，当且仅当𝑥=1时等号成立，则有𝑡≥2， 对于𝑔(𝑥)=
1
12(𝑥+𝑥)
=2𝑡.则有0<𝑔(𝑥)≤2×2=4，
111
又由𝑔(𝑥)为奇函数，则𝑔(0)=0， 当𝑥<0时，有−≤𝑔(𝑥)<0，
综合可得：−4≤𝑔(𝑥)≤4，即函数𝑔(𝑥)的值域为[−4,4]； ℎ(𝑥)=−𝑥−2𝑐，在区间[−2,2]上，其值域为[−2−2𝑐,2−2𝑐]，
−2−2𝑐≤−4对∀𝑥∈𝑅，总∃𝑥2∈[−2,2]，使得𝑔(𝑥1)=ℎ(𝑥2)成立，则有{， 1
2−2𝑐≥4解可得：−≤𝑐≤，故c的取值范围为[−,].
【解析】(1)根据题意，由函数奇偶性的性质求出a、b的值，即可得函数𝑔(𝑥)的解析式，由函数奇偶性的定义分析可得结论；
(2)结合函数的奇偶性求出函数𝑔(𝑥)的值域以及ℎ(𝑥)在[−2,2]上的值域，分析可得关于c的不等式，解可得答案．
本题考查函数与方程的关系，涉及函数的奇偶性的性质以及应用，属于中档题．
7
8
78
7788
1
1
1
11
14
21.【答案】解：(1)∵𝑓(𝑥)是偶函数，∴𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥)，
即log3(9−𝑥+1)−𝑘𝑥=log3(9𝑥+1)+𝑘𝑥对任意𝑥∈𝑅恒成立，∴2𝑘𝑥=log3(9−𝑥+1)−log3(9+1)=
𝑥
9−𝑥+1log3𝑥9+1=log33−2𝑥=−2𝑥，∴𝑘=−1.
即𝑓(𝑥)=log3(9𝑥+1)−𝑥，
因为函数𝑦=𝑓(𝑥)−𝑥+𝑎有零点，即方程log3(9𝑥+1)−2𝑥=−𝑎有实数根．
令𝑔(𝑥)=log3(9𝑥+1)−2𝑥，则函数𝑦=𝑔(𝑥)与直线𝑦=−𝑎有交点，∵𝑔(𝑥)=log3(9𝑥+1)−2𝑥=log3(9+1)−log39=又1+
1
9𝑥𝑥
𝑥
9𝑥+1log3𝑥9
=log3(1+
1
)， 9𝑥>1，∴𝑔(𝑥)=log3(1+
1)9𝑥>0，∴−𝑎>0，所以𝑎<0，即a的取值范围是(−∞,0).
(2)
9𝑥+1log3(𝑥)
3解：因为𝑓(𝑥)=log3(9+1)−𝑥=log3(9+1)−log33=又函数𝑓(𝑥)与ℎ(𝑥)的图象只有一个公共点，
𝑥𝑥𝑥
=log3(3𝑥+3−𝑥)，
则关于x的方程log3(𝑚⋅3𝑥−2𝑚)=log3(3𝑥+3−𝑥)只有一个解， 所以𝑚⋅3𝑥−2𝑚=3𝑥+3−𝑥，
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令𝑡=3𝑥(𝑡>0)，得(𝑚−1)𝑡2−2𝑚𝑡−1=0，
①当𝑚−1=0，即𝑚=1时，此方程的解为𝑡=−2，不满足题意，
②当𝑚−1>0，即𝑚>1时，此时𝛥=4𝑚2+4(𝑚−1)=4(𝑚2+𝑚−1)>0，又𝑡1+𝑡2=𝑡1𝑡2=𝑚−1<0，
所以此方程有一正一负根，故满足题意，
③当𝑚−1<0，即𝑚<1时，由方程(𝑚−1)𝑡2−2𝑚𝑡−1=0只有一正根，则需4𝑚2−4(𝑚−1)×(−1)=0{−2𝑚， −>0
2(𝑚−1)−1
2𝑚
𝑚−11
>0，
解得𝑚=
−1−√5， 2
−1−√5}∪(1,+∞). 2
综合①②③得，实数m的取值范围为：{
【解析】(1)利用偶函数的定义𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥)，即可求出实数k的值，从而得到𝑓(𝑥)的解析式；令𝑓(𝑥)−𝑥+𝑎=0，得−𝑎=𝑓(𝑥)−𝑥，构造函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑥，将问题转化为直线𝑦=−𝑎与函数𝑦=𝑔(𝑥)的图象有交点，从而求出实数a的取值范围；
(2)依题意等价于关于x的方程log3(𝑚⋅3𝑥−2𝑚)=log3(3𝑥+3−𝑥)只有一个解，令𝑡=3𝑥，讨论(𝑚−1)𝑡2−2𝑚𝑡−1=0的正根即可．
本题考查了函数的奇偶性、函数的零点与方程的根、函数图象的交点与方程的根的相互转化，属难度较大的题型．
22.【答案】解：(1)由{1−𝑥>0，解得−1<𝑥<1，
1+𝑥>0
所以函数的定义域为(−1,1)，
又𝑓(−𝑥)=ln(1+𝑥)−ln(1−𝑥)=−[ln(1−𝑥)−ln(1+𝑥)]=−𝑓(𝑥)， 所以𝑓(𝑥)为奇函数．
(2)因为𝑓(𝑎)+𝑓(𝑏)=0，且𝑓(𝑥)为奇函数， 所以𝑎+𝑏=0，且𝑎≠0，即𝑏=−𝑎，
又𝑓(𝑥)的定义域为(−1,1)，所以𝑎∈(−1,0)∪(0,1)， 而𝑔(𝑥)=4𝑥+2𝑥+1𝑚−2+1=(2𝑥)2+2𝑚⋅2𝑥−2+1，
所以𝑔(𝑎)+𝑔(𝑏)=𝑔(𝑎)+𝑔(−𝑎)=(2𝑎)2+2𝑚⋅2𝑎−2+1+(2−𝑎)2+2𝑚⋅2−𝑎−2+1， 令𝑘=2𝑎，则𝑘∈(2,1)∪(1,2)，
所以𝑔(𝑎)+𝑔(𝑏)=𝑘2+2𝑚𝑘−2+1+2+2𝑚⋅𝑘−2+1=𝑘2+2+2𝑚(𝑘+𝑘)−𝑚+2=𝑘𝑘(𝑘+𝑘)2+2𝑚(𝑘+𝑘)−𝑚，
令𝑡=𝑘+𝑘，则𝑡∈(2,2)，𝑔(𝑎)+𝑔(𝑏)=𝑡2+2𝑚𝑡−𝑚，
1
5
1
1
𝑚
1
1
𝑚
1
1
1
𝑚
𝑚
𝑚
𝑚
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故可将问题“存在两不相等的实数a，b使得𝑔(𝑎)+𝑔(𝑏)≥0“转化为𝑡2+2𝑚𝑡−𝑚≥0在𝑡∈(2,)上有解， 即−𝑚≤设ℎ(𝑡)=
𝑡2
在𝑡2𝑡−1𝑡2
，𝑡2𝑡−1𝑡22𝑡−1
52∈(2,2)上有解，
∈(2,)，则问题进一步转化为求ℎ(𝑡)的最大值，
1
125
52因为ℎ(𝑡)==
5
−(𝑡)+2⋅𝑡1=
1
12−(𝑡−1)+1
25
在𝑡∈(2,2)上单调递增，
5
所以ℎ(𝑡)max<ℎ(2)=
25
1
22−(5−1)+1
=16，
所以−𝑚≤16，即𝑚≥−16， 故实数m的取值范围为[−
25
,+∞). 1625
【解析】(1)先写出函数的定义域，再计算𝑓(−𝑥)，并判断与𝑓(𝑥)的关系，得解；
(2)由𝑓(𝑥)为奇函数，推出𝑏=−𝑎且𝑎∈(−1,0)∪(0,1)，再运用两次换元法，将原问题转化为𝑡2+2𝑚𝑡−𝑚≥0在𝑡∈(2,)上有解，然后结合参变分离法与二次函数的性质，得解．
本题主要考查函数的存在性问题，熟练掌握函数的奇偶性，灵活运用换元法是解题的关键，考查转化与化归思想，逻辑推理能力和运算能力，属于难题．
5
2
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