四、函数及其性质

一、 基本定义

1. 单调性：对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量x1,x2，当x1x2时，都有

f(x1)f(x2)，则函数f(x)在区间D上为增函数；反之，为减函数。

2. 最大值，最小值

3. 奇偶性：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)f(x)，

那么函数f(x)就叫做奇函数；如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有

f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

4. 周期性：若存在一个非零常数T，使得对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有

f(xT)f(x)，则称函数f(x)为周期函数。

二、 练习题

（一） 单调性，最值

1. 函数yxbxc(x[0,))是单调函数的b的取值范围是（ ） A. b0 B. b0 C. b0 D. b0 2. 函数f(x)2x22x3的递减区间是（ ）

A. [1,3] B. (1,) C. (,3] D. (,1]

3. 函数f(x)1的最大值是（ ）

1x(1x)4534A. B. C. D.

54435. 若函数yf(x)的值域是[,3]，则函数F(x)f(x)121的值域是（ ） f(x)11051010A. [,3] B. [2,] C. [,] D. [3,]

23233x6. 求函数f(x)在区间[2,5]上的最大值，最小值。

x1

7. 求f(x)x2ax1在区间[0,2]上的最大值和最小值。

8. 设函数f(x)x2x2(其中x[t,t1],tR)的最小值g(t)，求g(t)的表达式。

9. 已知函数f(x)对任意的x,yR，总有f(x)f(y)f(xy)，且当x0时，

222f(x)0,f(1)。

3（1） 求证f(x)在R上是减函数；

（2） 求f(x)在[3,3]上的最大值，最小值。

（二） 奇偶性、周期性

1. 已知yf(x)是偶函数，且图像与x轴有四个交点，则方程f(x)0的所有实根之和

是（ ）

A. 4 B. 2 C. 1 D. 0

2. 已知aR,函数f(x)sinxa，xR为奇函数，则a（ ） A. 0 B. 1 C. 1 D. 1

3. 已知定义域为R的函数f(x)在(8,)上为减函数，且函数yf(x8)为偶函数，则（ ）

A. f(6)f(7) B. f(6)f(9) C. f(7)f(9) D. f(7)f(10) 4．设函数f(x)（xR）为奇函数，f(1)A. 0 B. 1 C.

1（ ） ,f(x2)f(x)f(2)，则f(5)等于

25 D. 5 25. 已知f(x)(m1)x3mx3为偶函数，则f(x)在区间(4,2)上为（ ） A. 增函数 B. 减函数 C.先递增在递减 D. 先递减在递增

6. 已知yf(x)是偶函数，yg(x)是奇函数，它们的定义域是[3,3]，且它们在

2x[3,3]上的图像如图所示，则不等式

f(x)0的解为＿＿ g(x)7.已知f(x)是定义在R 上的奇函数，f(x2)f(x),当08. 设 f(x)是定义在R 上的奇函数，当x0时，f(x)xx；则当x0时，求f(x)的解析式。

9．函数f(x1)是偶函数，且x1时，f(x)x1，求当x1时f(x)的解析式。

10. 函数f(x)，g(x)都是定义在(,1)(1,1)(1,)上，f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)g(x)

221，求f(x)，g(x)。 x1