6圆锥曲线中点弦、垂直平分线-中等难度-讲义

知识讲解

一、弦的垂直平分线问题

1.垂直问题：一般是利用斜率公式及韦达定理求解，设Ax1,y1、Bx2,y2是直线与曲线的两

个交点，O为坐标原点，

1）则OAOBx1x2y1y20，

2） 若Px0,y0,则APBPx0x1x0x2y0y1y0y20

2.弦中点问题：除利用韦达定理外，也可以运用“代点作差法”，但必须以直线与圆锥曲

线相交为前提，否则不宜用此法.

x2y21）设椭圆或双曲线方程：1 上两点Ax1,y1，Bx2,y2，AB的中点为Px0,y0，

mn2yn则kAB0

2x0m3）掌握抛物线x2my(m0)上两点A(x1,y1),B(x2,y2)连线的斜率公式kABx1x2 m3.设而不求法：解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使

问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”．设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点Ax1,y1,Bx2,y2,弦AB中点为Mx0,y0，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是

一种常见的“设而不求”法 具体有：

xy0x2y21）221(ab0)与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，则有0k0．

aba2b2xy0x2y22）221(a0,b0)与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)则有0k0

aba2b23）y2=2px（p>0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.

二、中点弦常考题型

1.|PB||PA|PQABkPQ1kAByBPOQx A设A(x1,y1),B(x2,y2),注意一般只有弦与椭圆相交的两点才设为x1,x2的,其它点不要随便设为A(x1,y1),B(x2,y2).Q为弦AB的中点.

设直线方程为ykxm,不要设为ykxb,因为b在椭圆标准方程中会出现. 联立直线与椭圆方程

ykxm2222x(kxm)1k2kmm22消去y,得21,即(22)x2x210 xy22ababbb221ba2km21k2m2m21k2(2)4(22)(21)4(2222)0babbabab2km2设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2b2

1ka2b2m212xxb121k2a2b2中的高次项是可消去的.

kmxx1x2Q2b21k2

a2b2k2mk2mmk2mmy222QkxQmbbab2a21m a2k21k21k2b2a2b2a2b2(由xQ求yQ分子是可消去的)

kmm故中点Q的坐标为(b2212,a2)

a2k1kb2a2b2ma21k2tm1k2定点P设为(s,t)，则kyQta2b2a2t(PQa2b2)xskm Qkm(1k2b2b2sa2b2)1k2sa2b2ma2t(1k2故

a2b2)km1k21，

kma2(1k2km1k2kta2b2)kb2s(a2b2)b2s(a2b2)(111k2kma2b2)(kts)(a2b2) y

B

O QxP

A2.以OA,OB为邻边的平行四边形的顶点P在椭圆上

xQx1x2yy22,yQ12 易知P点坐标

，

2km2bxP2xQx1x2 1k222ab2k2m2byP2yQy1y2kx1mkx2mk(x1x2)2m2m1k222ab2k2m2m2k2m2m222baba2 1k21k2a2b2a2b2

注意:

①不能把xP代入ykxm方程中求yP,因为点P不在直线上. ②由xP求yP分子是可消去的. 2km2m22故P(b2,a2)在椭圆上.

1k1ka2b2a2b22km2m22(b2)2(a2)21k1k2222abab1 则22ab1k22两边同时乘以(22)得

ab4k2m24m21k2222(22) 22ababab4m221k22(k1)(22) 22abab

y

lAMONQx

B3.弦AB的垂直平分线交x,y轴分别为点N,M

kmm22ba,) 中点Q的坐标为(1k21k22222ababkm1b2) (x垂直平分线方程为yk1k21k2a2b2a2b2ma2令x0,得到M点坐标为(0,m(11)a2b2) 1k222ab令y0,得到N点坐标为(km(11)a2b2,0)1k2a2b2

经典例题

一．选择题（共3小题）

1．（2016秋•菏泽期末）若椭圆mx2+ny2=1与y=1﹣x交于A、B两点，过原点与线段AB中点连线的斜率为 ，则的值等于（ ）

A． B． C． D．

2．（2015•黄冈模拟）阿基米德“平衡法”的中心思想是：要算一个未知量（图形的体积或面积），先将它分成许多微小的量（如面分成线段，体积分成薄片等），

2

再用另一组微小单元来进行比较．如图，已知抛物线y=x，直线l：x﹣2y+4=0

与抛物线交于A、C两点，弦AC的中点为D，过D作直线平行于抛物线的对称轴Oy，交抛物线于点B，则抛物线弓形ABCD的面积与△ABC的面积之比是（ ）

A． C．

B． D．

3．（2015秋•牡丹江校级期中）抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，A，B是抛物

线上的两个动点，且满足 ，过线段AB的中点M作直线l的垂线，垂

足为N，则的最大值，是（ ）

A．

C．

B．

D．

二．填空题（共3小题）

4．（2017秋•松山区校级期末）已知点（1，1）是椭圆点，则此弦所在的直线方程为： ．

5．（2016•美兰区校级模拟）已知m，n，s，t∈R，m+n=2， ，其中

m、n是常数，当s+t取最小值时，m、n对应的点（m，n）是双曲线 一条

+

某条弦的中

弦的中点，则此弦所在的直线方程为 ．

6．（2015秋•越城区校级期末）椭圆E：+=1内有一点P（2，1），则经过P

并且以P为中点的弦所在直线方程为 ．

三．解答题（共7小题）

7．（2015秋•来宾期末）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点A（2，﹣4）， （Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其准线l方程；

（Ⅱ）若点B（1，2），直线l过点B且与抛物线C交于P、Q两点，若点B为PQ中点，求直线l的方程．

8．（2018•泉州二模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：

＞b＞0）经过点（2， ），离心率为．

（a

（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）过E的左焦点F且斜率不为0的直线l与E相交于A，B两点，线段AB的中点为C，直线OC与直线x=﹣4相交于点D，若△ADF为等腰直角三角形，求l的方程．

9．（2015秋•扶余县校级期末）过椭圆

内一点M（2，1）引一条弦，

使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程．

22

10．（2016•太原三模）已知点P是圆F1：（x+1）+y=16上任意一点（F1是圆心），

点F2与点F1关于原点对称．线段PF2的中垂线m分别与PF1、PF2交于M、N两点．

（I）求点M的轨迹C的方程；

（Ⅱ）直线l经过F2，与抛物线y2=4x交于A1，A2两点，与C交于B1，B2两点．当以B1B2为直径的圆经过F1时，求|A1A2|．

11．（2015•浦东新区一模）已知直线y=x与抛物线y2=2px（p＞0）交于O，A

两点（F为抛物线的焦点，O为坐标原点），若|AF|=17，求OA的垂直平分线的方程．

12．（2015秋•香坊区校级期末）已知抛物线C：y=mx2（m＞0），焦点为F，直线2x﹣y+2=0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q，△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，求抛物线的方程．

13．（2012•陆丰市校级模拟）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M． （1）求抛物线方程；

（2）过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．