第63讲 根据频率分布直方图求中位数众数和平均数-高中数学常见题型解法归纳反馈训练

【知识要点】

一、用样本估计总体的两个手段（用样本的频率分布估计总体的分布；用样本的数字特征估计总体的数字特征），需要从总体中抽取一个质量较高的样本，才能不会产生较大的估计偏差，且样本容量越大，估计的结果也就越精确，分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，或者用紧凑的表格改变数据的排列方式，作图可以达到两个目的，一是从数据中提取信息，二是利用图形传递信息.

二、频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小.一般是用频率分布直方图反映样本频率分布.

三、样本的数字特征

众数：就是数据中出现次数最多的那个，比其他的都多，如果几个数据出现的次数都是最多，则它们都是众数；每个数据都只有一次，那么数据没有众数.所以众数可以不止一个或者没有.

中位数：就是这些数据排列好了以后中间的那个数字，那么如果有偶数个数据，那么就是中间两个数字的平均数，如果有奇数个数据，则中间那个就是数据的中位数.所以数据的中位数不一定在数据中.

平均数：这个就是把所有数据相加，除以个数，就是数据的平均数. 平均数：xx1x2xn n(x1x)2(x2x)2(xnx)2方差：s(x1Ex)2p1(xnEx)2pn n2(x1x)2(x2x)2(xnx)2标准差：s n四、茎叶图

茎叶图又称“枝叶图”，它的思路是将数组中的数按位数进行比较，将数的大小基本不变或变化不大的位作为一个主干（茎），将变化大的位的数作为分枝（叶），列在主干的后面，这样就可以清楚地看到每个主干后面的几个数，每个数具体是多少.

当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图.

【方法讲评】

题型一 解题步骤 该矩形的横边中点对应的数为众数. 【例1】对某小区100户居民的月均用水量进行统计，得到样本的频率分布直方图如图，则估计此样本的众数、中位数分别为（）

A. 2.25，2.5 B．2.25，2.02 C．2，2.5 D．2.5，2.25

求众数 一般先计算出频率分布直方图中的每个小矩形的面积，找到面积最大的那个矩形，取

【点评】（1）求频率分布图中的众数，一般先计算出频率分布直方图中的每个小矩形的面积，找到面积最大的那个矩形，取该矩形的横边中点对应的数为众数.（2）求众数也可以直接找最高矩形的横边的中点.

【反馈检测1】某学校900名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13，14]，第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

（1）若成绩小于14秒认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数； （2）请估计学校900名学生中，成绩属于第四组的人数； （3）请根据频率分布直方图，求样本数据的众数和中位数．

题型二 解题步骤 是中位数.

【例2】高二某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15）…第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

（1）若成绩大于等于14秒且小于16秒规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数． （2）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数和中位数（精确到0.01）．

(3)设m,n表示该班两个学生的百米测试成绩，已知m,n13,1417,18，求事件mn2的概率.

求中位数 先计算出每个小矩形的面积，通过解方程找到左边面积为0.5的点P，点P对应的数就

事件mn6由6个基本事件组成. 所以Pmn663. 105【点评】求频率分布直方图中的中位数，一般先计算出每个小矩形的面积，通过解方程找到左边面积为0.5的点P，点P对应的数就是中位数.

【反馈检测2】某公路段在某一时刻内监测到的车速频率分布直方图如图所示． （Ⅰ）求纵坐标中参数h的值及第三个小长方形的面积； （Ⅱ）求车速的众数v1，中位数v2的估计值； （Ⅲ）求平均车速v的估计值．

题型三 一般利用平均数的公式x解题步骤 的中点对应的数，pn代表第n个矩形的面积.

【例3】某校从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六组[40，50），[50，60）．．．[90，100]后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题： （Ⅰ）求成绩落在[70，80）上的频率，并补全这个频率分布直方图； (Ⅱ) 估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；

(Ⅲ) 从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.

求平均数 x1p1x2p2xnpn计算.其中xn代表第n个矩形的横边

【解析】（Ⅰ）成绩落在[70，80）上的频率是0．3，频率分布直方图如下图．

频率组距

(Ⅲ) 成绩是70分以上（包括70分）的学生人数为（0．03+0．025+0．005）×10×60=36 所以所求的概率为

【点评】求频率分布直方图中的平均数，一般利用平均数的公式x代表第n个矩形的横边的中点对应的数，pn代表第n个矩形的面积.

x1p1x2p2xnpn计算.其中xn【反馈检测3】某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]． （1）求图中a的值；

（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；

（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．

分数段 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） x：y 1：1 2：1 3：4 4：5

高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第63讲: 根据频率分布直方图求中位数众数和平均数参考答案

【反馈检测1答案】（1）3；（2）288；（3）15.5，15.74.

【反馈检测2答案】（1）h0.01，第三个小长方形的面积为65；（2）v165,v262.5；（3）v62. 【反馈检测2详细解析】（Ⅰ）∵所有小长形面积之和为1，∴10h+10×3h+10×4h+10×2h=1， 解得h=0.01， ∴第三个小长方形的面积为：10×4h=10×0.04=0.4． （Ⅱ）车速的众数v1=1(6070)=65，车速的中位数是两边直方图的面积相等， 2于是得：10×0.01+10×0.03+（v2﹣60）×0.04=0.5，解得v2=62.5．

（Ⅲ）平均车速v=0.01×10×45+0.03×10×55+0.04×10×65+0.02×10×75=62． 【反馈检测3答案】（1）a0.005；（2）73；（3）10.

【反馈检测3详细解析】（1）依题意得，102a0.020.030.041，解得a0.005

（2）这100名学生语文成绩的平均分为：550.05650.4750.3850.2950.0573分 （3）数学成绩在[50，60）的人数为：100×0.05=5

1420，数学成绩在[70，80）的人数为：1000.340. 235数学成绩在[80，90）的人数为：1000.225 4数学成绩在[60，70）的人数为：1000.4所以数学成绩在[50，90）之外的人数为：100520402510