2018-2019学年四川省三台中学实验学校高二上学期入学考试数学试题 Word版

★ 2018年8月

三台中学实验学校2018年秋季高2017级高二上学期

入学考试数学试题

Ⅰ卷（选择题）

一、选择题（每小题5分,共60分）

1．已知直线x10的倾斜角为，则为

A．00 B． 450 C． 900 D． 不存在 2. 设a，b，cR，且a＞b，则 A．acbc

B．acbc C．a2b2

D．a3b3

3. 设xR，向量a(x,1),b(1,2),且ab ，则|ab| A．5 B.10 C.25

D.10

2224. 在△ABC中内角A，B，C所对各边分别为a，b，c，且abcbc，则角A= A．60°

B．120°

C．30°

D．150°

5. 四棱锥的三视图如图所示，则四棱锥的体积为 A.

111 B. C. D. 1 6326. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线AB1与平面A1B1CD所成的角等于 A.

 B. C. D. 6432m的值分n7. 在ABC中，点D是BC上的点,且满足BC4DC,ADmABnAC,,则别是

11 B. 4 C. D. 3 4318. 已知直线ykx2k1与直线yx2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围

2A. 是 A．11111kB．k或kC．6k2 D．k 62 62 2 - 1 -

9. 已知x，y0，x2y1，若A．m1或m4

21>m23m4恒成立，则实数m的取值范围是 xy B．m4或m1 C．4m1 D．1m4

10. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中 国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历 过的两仪数量总和,是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10 项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…则此数列第20项为 A．180 B．200 C．128 D．162

111......11. 在数列an中，若a10,an1an2n，则的值为 a2a3anA.

n1n1n1n B. C. D. nnn1n112. 如图，在四边形ABCD中，已知ABAD0,|AC|3,|BD|2， 则DCBC的最小值为

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题（每空5分 共20分）

13．已知圆xyax6y0的圆心在直线xy10上，则a的值为________

223xy6014. 已知x,y满足约束条件xy20，则zx2y的最小值是__________．

y015. 若互不相等的实数a,b,c成等差数列，b,a,c成等比数列，且a3bc5，则a____． 16. 在正四棱锥PABCD中, PA25,AB4,若一个正方体在该正四棱锥内部可以任意转动，则正方体的最大棱长为________．

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三.解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) ．．．．．．．．．．．．17.（本小题满分10分）

sinA)，已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m(a,b)，n(sinB，p(b2，a2)．

（1）若m∥n，试判断△ABC的形状并证明；



pm（2）若⊥，边长c2，∠C=，求△ABC的面积．

3

18．（本小题满分12分）

已知直线l经过直线l1:2xy10与直线l2:x2y30的交点P，且与直线l3:xy10垂直.

（1）求直线l的方程；

（2）若直线l与圆C:(xa)2y28相交于P，Q两点，且|PQ|26，求a的值.

19. （本小题满分12分）

某企业开发一种新产品，现准备投入适当的广告费，对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q（万件）与广告费x(万元)之间的函数关系为Q3x2(x0)，已知生产此产品的年x固定投入为3万元，每年产1万件此产品仍需要投入32万元，若年销售额为

(32Q3)150%x50%，而当年产销量相等。

（1）试将年利润P（万件）表示为年广告费x(万元)的函数； （2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？ 20. （本小题满分12分）

如图所示，在四棱锥PABCD中，已知PA底面ABCD,底面ABCD是矩形，O是BD的中点，PAAD.

（1）在线段PD上找一点M,使得OM//平面PAB,并说明理由； （2）在（1）的条件下，求证平面ABM平面PCD.

21. （本小题满分12分）

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已知二次函数f(x)ax2bxc,且不等式f(x)2x的解集为，对任意的xR都有（1，3）f(x)2恒成立.

（1）求f(x)的解析式；

（2）若不等式kf(2x)2x10在x[1,2]上有解，求实数k的取值范围.

（3）设函数f(x)的图象与y轴交于点A，与直线y6交于B,C两点，求ABC的外接圆方程.

22.（本小题满分12分）

已知数列an的前n项和Sn2n24(nN*)，函数f(x)对任意的xR都有

12n1)f(1). f(x)f(1x)1，数列bn满足bnf(0)f()f()f(nnn（1）求数列an，bn的通项公式；

（2）若数列cn满足cnanbn，Tn是数列cn的前n项和，是否存在正实数k，使不等

2式kn9n26Tn4ncn对于一切的nN恒成立？若存在请求出k的取值范围；若不存

*在请说明理由．

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高2017级2018年秋季入学考试数学参考答案

一、选择题 题号 1 答案 C

二、填空题

2 D 3 B 4 A 5 B 6 A 7 C 8 A 9 C 20 B 11 A 12 C 13. 4 14. -5 15. -2 16. 三．解答题

17.【解】：（1）ABC为等腰三角形；

证明：∵m=（a，b），n（sinB，sinA），m∥n， ∴asinAbsinB， 即a

…………………………2分

…………………………4分

ab=b，其中R是△ABC外接圆半径， 2R2R∴ab ∴△ABC为等腰三角形

（2）∵p(b2,a2)，由题意m⊥p，∴a(b2)b(a2)0

abab ………………………………………………6分

由余弦定理可知，4=a+b﹣ab=（a+b）﹣3ab ………………………8分 即（ab）﹣3ab﹣4=0，∴ab=4或ab=﹣1（舍去） ………………………9分 ∴S=

2

2

2

2

11absinC=4sin=3． …………………………………10分 2232xy10，x1，18．【解】（1）由得所以P(1,1).

x2y30y1，因为ll3，所以kl1，

所以直线l的方程为y1(x1)，即xy20. ·············· 6分 （2）由已知可得：圆心C到直线l的距离为d|a2|2，

因为|PQ|26,r22，所以d(22)2(6)22， 所以|a2|2··············· 12分 2|a2|2，所以a0或4.

19. 【解】：（1）P(32Q3)150%x50%(32Q3)x ………………3分

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 （2）P(x3249.5(x0) ……………………………6分 2xx32)49.52449.541.5， ……………………10分 2xx32 当且仅当时，即x8时，P有最大值41.5万元。

2x答：当年广告费投入8万元时，企业年利润最大，最大值为41.5万元 ……………12分

20. 【解】：（1）解：M是线段PD的中点，在

又

................6分

（2）∵

又且

,

又

又且

，M是PD的中点

..............................

.................12分

21.【解】：（1）∵ ∴ 方程

的解集为

的两个根是1和3.

四边形ABCD是矩形，

中，O,M分别是BD、PD的中点，

故 ∴

又 ∵ ∴

在恒成立

在，

恒成立

， 又∵

- 6 -

∴ ∴

...........4分

（2）由题意∵ ∴

，即

设, 则

又∵当且仅当即时取得最大值

∴，即实数的取值范围为

...........................8分

（3）由（1）易得A(0,3),B(1,6),C(3,6) 设所求圆的方程为x2y2DxEyF0

93EF0 故有37D6EF0 解得 D2,E10,F21

453D6EF0 所以所求圆的方程为xy-2x-10y210 ......................12分

22.【解】（1）n1,22a1S121244 …………………………1分

n2,anSnSn12n242n142n1

n1时满足上式，故

an2n11nnN …………………3分

*∵f(x)f(1x)=1∴f()f(∵bnf(0)f()f()∴bnf(1)f(n1)1 …………………………4分 n1n2nf(n1)f(1) ① nn1n2)f()nnf(1)f(0) ②

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∴①+②，得2bnn1bnn1 ……………………………6分 2（2）∵cnanbn，∴cn(n1)2n

∴Tn221322423(n1)2n， ①

2Tn222323424n2n(n1)2n1， ②

①－②得Tn422232n(n1)2n1 即Tnn2n1…………………………8分

2要使得不等式kn9n26Tn4ncn恒成立，

n29n26Tn0恒成立k即k4ncnnN对于一切的恒成立， 2n9n26Tn2n1……………………………10分 2n9n262n1n29n26令gnnN，则

*g(n)2(n1)222 236(n1)11(n1)36(n1)11362(n1)11(n1)(n1)当且仅当n5时等号成立，故gnmax2 所以k2为所求. …………12分

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