希望数学少年俱乐部精品课
学生用书 三年级
三年级 1
目录
1. 计算专题
1-1 四则混合运算……………………………………………………………3 1-2 等差数列…………………………………………………………………6 1-3 数谜和数阵图……………………………………………………………9 2. 应用题专题
2-1 归一与等量代换…………………………………………………………13 2-2 年龄问题与带余除法……………………………………………………16 2-3 页码问题与行程问题……………………………………………………19 2-4 和倍与差倍问题…………………………………………………………22 3. 几何专题
3-1 长方形、正方形的周长和面积…………………………………………25 3-2 几何认知与操作…………………………………………………………29 4. 计数专题
4-1 图形计数…………………………………………………………………35 4-2 其他计数问题……………………………………………………………38 5. 组合专题
5-1 逻辑推理…………………………………………………………………41 5-2 填数游戏…………………………………………………………………44 5-3 操作与策略………………………………………………………………47 5-4 智巧趣题…………………………………………………………………50
2
1-1 四则混合运算
基础知识
1.运算定律
加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc)
乘法分配律：a(b+c)=ab+ac（反过来就是提取公因数） 减法的性质：a−b−c=a−(b+c) 除法的性质：a(bc)=abc
(a+b)c=ac+bc (a−b)c=ac−bc
上面的这些运算律，既可以从左到右顺着用，又可以从右到左逆着用． 2.添括号和去括号
在“+”号后面添括号或者去括号，括号内的“+”、“−”号都不变； 在“−”号后面添括号或者去括号，括号内的“+”、“−”号都改变，其中“+”号变成“−”号，“−”号变成“+”号；
在“”号后面添括号或者去括号，括号内的“”、“”号都不变，但此时括号内不能有加减运算，只能有乘除运算；
在“”号后面添括号或者去括号，括号内的“”、“”号都改变，其中“”号变成“”号，“”号变成“”号，但此时括号内不能有加减运算，只能有乘除运算．
3
例题精讲
1. 四则混合运算的顺序
例1：（2015数学花园探秘三年级初赛）
算式 201×5＋1220－2×3×5×7的计算结果是__________．
例2：（2014走美杯三年级初赛） 计算：2×(99981＋19×38)= _________．
2. 简算方法 （1）凑整
例3：（2014数学解题能力展示三年级） 下列算式结果为500的是（ ）．
A．5×99＋1 B．100＋25×4 C．88×4＋37×4 D．100×0×5
（2）添括号和去括号
例4：（2011数学解题能力展示三年级） 计算：82－38＋49－51=__________．
（3）乘法分配律
例5：（2012走美杯三年级初赛）
计算：2012×9＋2012×8－2012×7＝_______．
4
（4）分组计算
例6：（2010走美杯三年级初赛）
计算：19+28+37+46+55+64+73+82+91+____=550
3. 多位数的计算
例7：（2013走美杯三年级初赛）
将10000000000减去101011后所得的答案中，数字9共出现______次．
例8：（2013走美杯三年级初赛）
200位数M由200个1组成，M×2013，积的数字和是______．
4. 定义新运算
例9：（2012走美杯三年级初赛）
已知a@b＝2×a＋b，那么99@1＝________。
5
1-2 等差数列
基础知识
1. 等差数列的基本概念
从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列．
如：2、5、8、11、14、17、20、
从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列 首项：一个数列的第一项。 末项：一个数列的最后一项。 项数：一个数列全部项的个数。
公差：等差数列每两项之间固定不变的差。 2. 等差数列的基本公式
① 通项公式：
递增数列：末项=首项＋ (项数－1)×公差 递减数列：末项=首项－ (项数－1) ×公差 ② 项数公式：
项数=(末项－首项)÷公差＋1 ③ 求和公式：
和=(首项＋末项)×项数÷2
例题精讲
1. 等差数列的计算
例1：（2013走美杯三年级初赛）
计算：1＋3＋5＋7＋…＋197＋199=_________．
6
例2：（2011走美杯三年级初赛）
5个人依次领取55个苹果，从第二个人起，每人比前一人多两个，第一人得 ________个．
例3：（2013走美杯三年级初赛）
五个连续偶数的和是7的倍数，这五个数之和最小等于________．
2. 等差数列的应用
例4：（2014数学解题能力展示三年级复赛）
2014年2月6日是星期四，小胖决定从这天起（含2月6日）练习计算，一直练习到2月17日，（含2月17日）开学为止．但是中间如果遇到周六和周日，小胖还是决定休息一下，不做练习．已知他第一天做1道题，第二天做3道题，第三天做5道题，依此变化做下去，那么小胖这段时间一共做了（ ）道计算练习题．
A．144 B．100 C．81 D．64
例5：（2016迎春杯三年级初赛）
时钟在整点 1 点钟敲一下，2 点钟敲两下，3 点钟敲三下，……，照这14 点钟敲两下，样敲下去，从 1 点到 12点，再从 13 点钟开始敲一下，……，这样一天到 24 点，时钟共敲了______下。
7
3. 等差数列的拓展
例6：（2016迎春杯三年级初赛）
有一棵神奇的树上长了 63 个果子，第一天会有 1 个果子从树上掉落，从第二天起，每天掉落的果子数量比前一天多 1 个. 但如果某天树上的果子数量少于这一天本应该掉落的数量时，那么这一天它又重新掉落 1 个果子开始，按原规律进行新的一轮. 如此继续，那么第__________天树上的果子会都掉光.
例7：（2014数学解题能力展示三年级初赛）
老师在黑板上将从1 开始的计数连续地写下去：1，3，5，7，9，11……写好后，擦去了其中的两个数，将这些奇数隔成了3 段，如果前两段的和分别是961 和1001，那么，老师擦去的两个奇数之和是（ ）．
A．154 B．156 C．158 D．160
例8：（2012数学解题能力展示三年级初赛）
30名同学按照身高由低到高排成一队，相邻两个同学的身高差都相同，前10名同学的身高和是1450厘米，前20名同学的身高和是3030厘米，那么这30名同学的身高和是______________厘米．
8
1-3 数谜和数阵图
基础知识
1.数谜分析方法
（1）解题的突破口多在于竖式或横式中的特殊之处，例如首位、个位以及位数的差异；
（2）要根据不同的情况逐步缩小范围，并进行适当的估算；
（3）题目中涉及多个字母或汉字时，要注意用不同符号表示不同数字这一条件来排除若干可能性；
（4）注意结合进位及退位来考虑；
（5）灵活运用数的性质（和差积商的位数，数的整除性，奇偶性，尾数规律等）进行推理判断．
2.数阵图分析方法
解答数阵问题通常用两种方法：一是待定数法，二是试验法。 待定数法就是先用字母（或符号）表示满足条件的数，通过分析、计算来确定这些字母（或符号）应具备的条件，为解答数阵问题提供方向。
试验法就是根据题中所给条件选准突破口，确定填数的可能范围。把分析推理和试验法结合起来，再由填数的可能情况，确定应填的数。
9
例题精讲
1. 数谜 （1）横式谜
例1：（2012解题能力展示三年级初赛）
从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中选出6个数字，填在下面方框中，使算式成立，每个方框填一个数字，各个方框中的数字各不相同，□＋□□＝□□□，那么算式中三位数最大是______________．
例2：（2011解题能力展示三年级初赛）
在算式ABCD+EFG=2010中，不同的字母代表不同的数字．那么，
A+B+C+D+E+F+G=__________．
例3：（2016迎春杯三年级初赛）
在下面两个算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字：
数学花园+探秘=2015，探秘+1+2+3+…+10=花园，
那么四位数数学花园 =__________．
10
例4：（2008迎春杯三年级初赛）
将1～9这9个数字分别填入右图的方框中，每个数字恰好用一次，使等式成立；现已将8填入，请你将其它数字填入．
（2）竖式谜
例5：（2012走美杯三年级初赛）
如图，一个四位数加上一个三位数和为2012，这两个数的数字和等于______。
÷ ＝ － ＝ 8
例6：（2010走美杯三年级初赛）
把0~9这10个数字填入下图（已填两个数字），使得等式成立。减数为_____。
9 5
1 2 3 4 5
11
2. 数阵图
例7：（2014走美杯三年级初赛）
在下面的6个圆圈中分别填入0，1，2，3，4，5每个数字只能用一次，使各边上的三个数字的和相等．
例8：（2010走美杯三年级初赛）
2010年是虎年，请把1~11这11个数不重复的填入虎额上的“王”字中，使三行，一行的和都等于18。
12
2-1 归一与等量代换
基础知识
1. 归一应用题
归一应用题是已知总数和份数，需要先求出一份数(单一量)是多少，再通过一份数求几个一份数是多少，或求总数里包含几个一份数的一类应用题．
关键：先“归一”——先求出一份数即一个单位的量是多少. 基本关系式：
每份的工作量（单一量）=总工作量÷份数 总工作量=每份的工作量（单一量）×份数
份数=总工作量÷每份的工作量（单一量） 2.等量代换
等量代换是指用一种量来代替和它相等的另一种量，它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想法的基础．等量代换思想用等式的性质来体现就是：
（1）等式的传递性：如果 a=b，b=c，那么 a=c． （2）等式的性质：
等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立．
等式的两边同时乘以或除以同一个数（除数不能是0），等式仍成立．
例题精讲
1. 归一问题
例1： 4辆汽车行驶30千米需要汽油240升．现有5辆汽车同时运货到相距80千米的地方，需要用汽油多少升？
13
例2：马路的一侧要铺地砖，全长为192米，如果12个工人同时工作，那么8天就可以完成，如果要求6天完成，那么需要增加多少个工人？
例3：4名男生和3名女生5小时能搬砖1200块．现在有3840块砖，如果8名男生和6名女生搬，需要多长时间？
例4：一个工人在森林中锯木头，他用30分钟把一根树干锯成了6段，如果保持工作速度不变，
（1）把这根木头锯成10段，还需要多少分钟？ （2）用2个小时的时间，能把一根木头锯成几段？
例5：一个长方体的水槽可容水480吨．水槽装有一个进水管和一个排水管．单开进水管8小时可以把空池注满；单开排水管6小时可把满池水排空．两管齐开需多少小时把满池水排空？
14
2. 等量代换
例6：小芳在文具店买了5支彩色铅笔和6个练习本，共用去17元．小花买了同样的铅笔8支和6个练习本，共用去20元．一支彩色铅笔和一个练习本的价格各是多少？
例7：学校要买足球和排球．买3个足球和4个排球共需500元，如果买6个足球和2个排球需要520元．一个足球和一个排球各需要多少元？
例8：1个西瓜的重量等于2个哈密瓜的重量，1个哈密瓜的重量等于8个苹果的重量，2个苹果的重量等于3个柿子的重量，那么1个西瓜的重量等于几个柿子的重量？
例9：已知1个排球的价钱等于2个篮球的价钱，2个排球的价格等于3个足球和2个篮球的价钱，1个橄榄球的价钱等于2个排球的价钱．求1个橄榄球的价格与几个足球的价钱一样？
15
2-2 年龄问题与带余除法
基础知识
1. 年龄问题
（1）一个原则——年龄差不变
“差”在年龄问题里最重要，我们就是根据年龄差不变原则，将其转化为基本的和差倍问题．
（2）一个特点——年龄倍数在变
随着时间推移，大年龄与小年龄之间的倍数不断的变化． （3）两项注意：
注意年龄差不变是有条件的——即“人不变”．
注意搞清楚已知条件和问题所问的时间差异——主要涉及几年前、今年、 几年后三个时间段，因此在求解的时候必须搞清楚时间的对应． （4） 两个重要工具——线段图、年龄轴． 2.带余除法 （1）余数的定义：
一般的，如果a，b是整数(b≠0)，若有a÷b=q……r，0≤r （2）余数的可加可减性 a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和(或这个和除以c的余数) ． a与b的差除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之差(或差加除数再除以c的余数) ． a与b的积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积(或积加除数再除以c的余数) ． 16 例题精讲 1. 年龄问题 例1：10年前父亲的年龄是儿子的7倍，15年后父亲的年龄是儿子的2倍，问现在父子的年龄各是多少？ 例2：前年，父亲年龄是儿子年龄的4倍；后年，父亲年龄是儿子年龄的3倍.父亲今年______岁. 例3：今年哥哥的年龄是弟弟的3倍，24年后，哥哥的年龄比弟弟的2倍少16岁，求今年哥哥与弟弟各多少岁？ 例4：1年前父母的年龄和是兄弟二人年龄和的7倍；4年后，父母的年龄和是兄弟二人年龄和的4倍．已知爸爸比妈妈大2岁，妈妈今年几岁？ 例5：爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和是64岁．当爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，妹妹是9岁；当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁．现在三个人的年龄各是多少岁？ 17 2. 带余除法 例6：一个三位数除以51，得到的商恰好是余数的3倍，这个数最大是多少？ 例7：一个自然数除以39，余数为15，被除数、除数、商、余数的和为1749，求被除数． 例8：有一列数：1，3，9，25，69，189，517，…其中第一个数是1，第二个数是3，从第三个数起，每个数恰好是前面两个数之和的2倍再加上1，那么这列数中的第2008个数除以6，得到的余数是______． 18 2-3 页码问题与行程问题 基础知识 1. 页码问题 页码问题主要是指一本书的页数与所用的数字之间关系的一类应用题； 数字也可称为数码，他们的个数是有限的，有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9共有10个数码． 页码也称为页数，它是由数字（数码）组成的，一个数字组成一位数，两个数字组成两位数（个位，十位）……页数（或页码）的个数是无限的．这是我们在解决这类问题时，在审题，解题中要特别加以区别的． 2. 行程问题 （1）行程问题一般公式： 路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间 （2）相遇问题的特征： ①两个运动物体一般同时不同地（或不同时不同地）出发做相向运动． ②在一定时间内，两个运动物体相遇． ③相遇问题的解题要点：相遇所需时间=总路程÷速度和． （3）相遇问题必须紧紧抓住“速度和”这个关键条件．主要数量关系是： 速度和×相遇时间=路程 路程÷速度和=相遇时间 路程÷相遇时间=速度和（速度和－其中一个速度=另一个速度） （4）平均速度： 当时间不相等时，平均速度=总路程÷总时间 当时间相等时，平均速度=速度和÷2 19 例题精讲 1.页码问题 例1：一本词典共1755页，页码中数字0出现了几次？ 例2：一本杂志中数字0出现了35次，这本杂志共多少页？ 例3：将非0自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数：1234567891011121314……请问：左起第1000位数是几？ 20 2.行程问题 例4：解放军某部开往边境，原计划需要行军18天，实际平均每天比原计划多行12千米，结果提前3天到达，这次共行军多少千米？ 例5：东西两地相距150千米，甲乙两人同时分别从东西两地相向而行，甲每小时行14千米，乙每小时行11千米．问经过几小时两人可以相遇？ 例6：大头儿子的家距离学校3000米，小头爸爸从家去学校接大头儿子放学，大头儿子从学校回家，他们同时出发，小头爸爸每分钟比大头儿子多走24米，50分钟后两人相遇，那么大头儿子的速度是每分钟走多少米？ 例7：小雪去爬山，上山时每小时行4千米，原路返回时每小时行6千米．求小雪往返的平均速度． 21 2-4 和倍与差倍问题 基础知识 1. 和倍问题 顾名思义就是已知两个数的和以及这两个数的倍数关系，求这两个数分别是多少的应用题，它是常见的典型应用题之一．要想顺利地解答和倍应用题，最好的方法就是根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而正确迅速地列出算式． 基本公式：一倍量（小数）＝两数和÷(倍数＋1) 多倍量（大数）＝一倍量（小数）×倍数， 或两数和-小数＝大数 基本步骤： 第一步：找出1份量（一般为“少”的或“关键的” ）——用一段 固定长度的线段表示出来； 第二步：找多份量； 第三步：找总和； 第四步：求1份量； 第五步：求多份量． 2. 差倍问题， 差倍问题就是已知两个数的差和它们的倍数关系，求这两个数．解答差倍问题的关键是找出两个数的差，以及与差相对应的倍数差，从而求出一倍数，再求出其它的数．解题时，我们一般也是先借助线段图帮助自己分析题目的数量关系． 基本公式：一倍量（小数）＝两数差÷(倍数-1) 多倍量（大数）＝一倍量（小数）×倍数， 或大数＝小数＋倍数差3. 基本步骤： 基本步骤： 第一步：找出1份量（一般为“少”的或“关键的” ）——用一段 固定长度的线段表示出来； 22 第二步：找多份量； 第三步：找差； 第四步：求1份量； 第五步：求多份量． 例题精讲 1. 和倍问题 例1：用杯子往一个空瓶里倒水，如果倒进6杯水，连瓶共重680克，如果倒进9杯水，连瓶共重920克，求空瓶的重量． 例2：甲水池有水260立方米，乙水池有水120立方米，如果甲水池里的水以每分钟4立方米的速度流入乙水池，那么多少分钟后，乙水池中的水是甲水池的4倍？ 例3：甲、乙、丙三个粮仓一共存有109吨粮食．其中甲仓粮食总量比乙的3倍多1吨，而乙则是丙的2倍．那么甲比丙多存粮多少吨？ 例4：哈利波特有一种神奇的魔法树，每棵魔法树上都会结出神奇的魔法果．每棵树种下当时，就会结出第一颗魔法果，以后每过一夜还会长出一颗．如果他第一天种下若干棵魔法树，第二天种下魔法树的数量是第一天数量的2倍多2棵，第三天种下魔法树的数量是第一天数量的3倍多3棵．第三天种好后（还未过夜），所有魔法树一共结出277颗魔法果，那么，第一天他种了___________棵魔法树． 23 2. 差倍问题 例5：食堂里有94千克面粉，138千克大米，每天用掉面粉和大米各9千克，几天后剩下的大米是面粉的3倍？ 例6：亚洲杯决赛中，中国记者是外国记者数量的3倍．比赛结束后中国记者有180人离场，外国记者有40人离场，剩下的中、外记者数量相等．问原来中、外记者各有多少人？ 例7：菜站运来的白菜是萝卜的3倍，卖出白菜1800千克，萝卜300千克，剩下的两种蔬菜重量相等，菜站运来的白菜和萝卜各多少千克？ 例8：小明、小亮、小刚三位小朋友去钓鱼，数一数他们钓鱼的条数，发现：小明钓的鱼是小亮的4倍，小亮钓的鱼比小刚少5条，小刚钓的鱼比小明少7条，小明钓到多少条？ 24 3-1 长方形、正方形的周长和面积 基础知识 1.长方形 特点：两组对边分别相等，四个角都是直角。 长方形周长=（长+宽）×2 长方形面积=长×宽 2.正方形 特点：四条边都相等，四个角都是直角。 正方形周长=边长×4 正方形面积=边长×边长 例题精讲 1. 周长的计算 例1：（2014数学花园探秘三年级初赛） 如图，在边长10分米的正方形周围都贴上半圆形花边，需要买圆形纸片（ ）个． A．8 B．40 25 C．60 D．80 例2：（2011走美杯三年级初赛） 将一个周长为60厘米的正方形剪成了周长相等的两块（如图），每块周长是__________厘米． 例3：（2012走美杯三年级初赛） 4个一样的宽为2厘米的长方形拼成一个大长方形。大长方形的周长是________厘米。 5cm 5cm 例4：（2013走美杯三年级初赛） 如下图，四个一样的长方形拼成一个边长为10厘米的大正方形，中间形成了一个小正方形，每个长方形的周长是_____厘米． 26 例5：（2015数学花园探秘三年级初赛） 如图，蕾蕾家的菜园是一个由 4 块正方形的菜地和 1 个小长方形的水池组成的大长方形．如果每块菜地的面积都是 20 平方米且菜园的长为 10 米，那么菜园中水池（图中阴影部分）的周长是__________米． 例6：（2015走美杯三年级决赛） 用长 9 厘米，宽 3 厘米同样的长方形摆成下图形状，得到的图形的周长是_______厘米。 2. 面积的计算 例7：（2012数学花园探秘三年级初赛） 下图中ABCD和DEFG都是正方形，已知CE=14，AG=2，则两个正方形面积的和是_________． BAGF CDE 27 例8：（2014数学花园探秘三年级初赛） 如图，每条边都相等，每个角都是直角，则根据信息，求下图的面积为（ ）平方厘米． A．16 B．20 C．24 D．32 例9：（2014数学花园探秘三年级初赛） 大、中、小三个正方形，边长都是整数厘米，小正方形的周长比中正方形的边长小，把这两个正方形放在大正方形上（如图），大正方形露出的部分的面积是10平方厘米（图中阴影部分）．那么，大正方形的面积是（ ）平方厘米． A．25 B．36 C．49 D．64 例10：（2011走美杯三年级初赛） 如右图，四个三边长度分别为6厘米，8厘米，10厘米的直角三角形拼成一个大正方形，中间小正方形的面积是_________平方厘米． 28 3-2 几何认知与操作 基础知识 1.轴对称 一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形成为轴对称图形。 2. 正方体的视图 正方体的六个面分为三组，前面后面，上面下面，左面右面，一次最多能看到正方体的三个面。 3. 正方体的堆叠 若干小正方体在水平面上堆叠构成一个大的几何体。此类问题通常从上到下逐层分析得出几何体的结构。 4. 正方体的表面涂色问题 三个面都涂色的在大正方体的8个顶点处；两个面涂色的在12条棱的中间段；一面涂色的在各面中央；没有涂色的在正方体的内部。 5. 图形的分割与剪拼 此类问题有时候是根据步骤进行想象或动手操作得出操作结果，有时候是根据操作后的结果进行还原分析。 例题精讲 1.轴对称 例1：（2009走美杯三年级初赛） 一辆汽车的车牌在水中的倒影如图所示，则汽车车牌的号码是______. 29 例2：（2011走美杯三年级初赛） 如图，一个等边三角形被分成若干个同样的小等边三角形，有些小三角形已被涂黑，那么最少再涂黑__________个小三角形可以构成有对称轴的图形． 2正方体的视图 例3：（2015走美杯三年级初赛） 一个正方体的 6 个面分别标着A, B, C, D, E, F, 六个字母，从 3 个不同角度看正方体如图所示，字母 C 的对面是字母______． 例4：（2015走美杯三年级决赛） 标准骰子六个面上点数的分布规律是相同的，请根据以下骰子能够观察到的点数信息，确定标准骰子点数的分布，并计算这 5 个骰子向下的面上的点数之和_______。 30 3. 正方体的堆叠 例5：（2014数学花园探秘三年级初赛） 这个图形最少是由（ ）个正方体整齐堆放而成的． A．12 B．13 C．14 D．15 例6：（2014数学花园探秘三年级初赛） 如图，一个长方体由四块拼成，每块都由4个小立方体粘合而成，4块中有3块都可以完全看见，但包含黑色形状的那块只能看见一部分．那么，下列四个选项中的（ ）是黑色块所在的形状． A． B． C． D． 31 4.涂色问题 例7：（2011走美杯三年级初赛） 将15个棱长为1的正方体堆放在桌子上，喷上红色后再将它们分开。涂上红色的部分，面积是（ ）平方厘米 例8：（2011走美杯三年级初赛） 有一个正方体木块，外面全部涂上红色后将它切成27个小正方体（如图），切好后： 涂有1面红色的小正方体有__________块． 涂有2面红色的小正方体有__________块． 涂有3面红色的小正方体有__________块． 5. 几何操作 例9：（2014走美杯三年级初赛） 将一根长80厘米的细绳对折两次后，用剪刀在中点处剪开，其中最长的一段绳长是___________厘米． 32 例10：（2010走美杯三年级初赛） 将长为48厘米宽为2厘米的纸带沿着长对折二次，然后从一端开始，每隔2厘米剪一刀，最后可得到_______个正方形 例11：（2015走美杯三年级决赛） 将一个面积为 36 平方厘米的正方形纸片按照下图所示方式对折两次后，再按对角线折叠出对角折痕，并沿折痕剪开，得到的纸片中面积最大为_______平方厘米。 例12：（2011走美杯三年级初赛） 如图是由某个英文字母形状的纸片，折叠1次后形成的样子，请你说出是哪个英文字母，除了“L”还有可能是（ ）。 33 例13：（2012数学花园探秘三年级初赛） 图中，三张大小一样的等边三角形透明玻璃纸，各被分为49个大小相同的小等边三角形，每张玻璃纸上都各有16个小等边三角形涂上了阴影，如果把这三张玻璃纸重叠在一起，看到的阴影小等边三角形共有______________个． 例14：（2013走美杯三年级初赛） 有6个边长为2厘米的等边三角形，2个边长为2厘米的正方形，请你选取其中的一些或全部，拼出一个八边形，在方框中画出多边形的拼法． 34 4-1 图形计数 基础知识 1.枚举法 枚举法又称为列举法、穷举法，就是把所有的可能答案一一列写出来。 运用枚举法时要注意： （1）按照一定的顺序来列举，不要想到一个就写一个，没有顺序没有章 法，这样很容易重复书写或者漏写； （2）对不同的类型进行归类总结，分类枚举。 2.标数法 适用于最短路线问题，需要一步一步标出所有相关点的线路数量，最终得到到达终点的方法总数．标数法是加法原理与递推思想的结合． 例题精讲 例1：（2014走美杯三年级初赛） 下图中有___________个正方形． 35 例2：（2016数学花园探秘三年级初赛） 下图是上幼儿园的小毛球写的“中国”两个字，图中一共能数出__________个长方形. 例3：（2015数学花园探秘科普活动三年级初赛） 在下图中添上 2 条直线，最多能数出__________个三角形． 例4：（2015走美杯三年级初赛） 数一数，图中共有______个三角形． 例5：（2013解题能力展示三年级初赛） 下图中共有________个正方形． 36 例6：（2011走美杯三年级初赛） 从A到I，只能走箭头所标的方向，共有_________种不同的走法． B D A E C H F G I 例7：（2015走美杯三年级决赛） 下图是一个街道的示意图，实线表示道路，从 B 到 A，只能向右或向上或右斜上方沿着道路前进，则一共_____种不同的走法。 例8：（2015走美杯三年级决赛） 如图所示的多面体叫做正二十面体，是 5 个柏拉图立体（正多面体）中的一个。 这个多面体由20 个面（正三角形）围成，有 12 个顶点，______条棱。 37 4-2 其他计数问题 基础知识 计数问题分为几何图形计数、数字计数、排列问题、组合问题等等，运用的方法也灵活多变，可以培养思考问题的缜密思维。 例题精讲 例1：（2014 解题能力展示三年级复赛） 把1~5这5个自然数从左到右排成一排，要求从第三个数起，每个数都是前两个数的和或差，那么一共有（ ）种放法． A．2 例2：（2014 解题能力展示三年级复赛） 春节时，妈妈买了3个完全一样的福袋，小悦想把10枚相同的一元硬币放到这三个福袋里，如果每个福袋里至少放1枚，不考虑福袋的先后顺序的话，共有（ ）种放法． A．6 B．7 C．8 D．9 例3：（2016数学花园探秘三年级初赛） 在算式 1□2□3□6□12 的□中填入“+”或“－”号，共可得到__________种不同的自然数结果. 38 B．4 C．6 D．8 例4：（2014 解题能力展示三年级初赛） 下图是一个立方体，六个面分别写着1、2、3、4、5、6． 其中1 的对面是6，2 的对面是5，3 的对面是4． 开始时，写有6 的面朝下． 把立方体沿桌面翻滚，并记录下每次朝下的数字（从6 开始）．5 次翻转后，记录的数字刚好是1、2、3、4、5、6 各一次． 那么，记录的这6 个数字的排列顺序有（ ）种． A．36 B．40 C．48 D．60 例5：（2013解题能力展示三年级初赛） 将0～5这6个数字中的4个数字填入下图的圆圈中，每条线段两端的数字做差，可以得到5个差，这5个差恰好为1~5．右下图已给出一种填法，那么符合要求的填法共有________种． （注：下图中，3和5或0和1交换位置都算新的填法） 例6：（2015走美杯三年级初赛） 下图是可以一笔画出的，一共有______种不同的一笔画法（起点、终点或顺序只要有一样不同，就算不同的画法）． 39 例7：（2014走美杯三年级初赛） 2颗蓝珠子，2颗绿珠子串成一个手链，用1颗红珠子，可以串成______种不同的手链． 例8：（2013走美杯三年级初赛） 将黑、白各一粒围棋子放在下图方格的格点上，但两粒棋子不能在同一条线上．有______种不同放法．（旋转后位置相同的算同一种） 40 5-1 逻辑推理 基础知识 1. 直推法 先从一个条件出发,逐步往下推理,直到推出结论为止. 2. 排除法 选准突破口，分析时综合几个条件进行判断，在推理过程中，不断排除不可能的情况，从而得出要求的结论. 3. 假设法 对可能出现的情况作出假设，然后再根据条件推理，如果得到的结论和条件不矛盾，说明假设是正确的. 遇到比较复杂的推理问题，可以借助图表进行分析. 例题精讲 例1：（2014 解题能力展示三年级初赛） 你能根据以下的线索找出百宝箱的密码吗？ （1）密码是一个八位数； （2）密码既是3 的倍数又是25 的倍数； （3）这个密码在20000000 到30000000 之间； （4）百万位与十万位上的数字相同； （5）百位数字比万位数字小2； （6）十万位、万位、千位上数字组成的三位数除以千万位、百万位上数字组成的两位数，商是25． 依据上面的条件，推理出这个密码应该是（ ）． A．25526250 B．26650350 C．27775250 D．28870350 41 例2：（2015 年数学花园探秘三年级初赛） 甲、乙、丙、丁获得了学校创意大赛的前 4 名（无并列），他们说： 甲：“我既不是第一，也不是第二”； 乙：“我的名次和丙相邻”； 丙：“我既不是第二，也不是第三”； 丁：“我的名次和乙相邻”． 现在知道，甲、乙、丙、丁分别获得第 A、B、C、D 名，并且他们都是不说慌的好学生，那么四位数ABCD＝______. 例3：（2012解题能力展示三年级初赛） 在羊羊运动会上，喜羊羊、沸羊羊、懒羊羊、暖羊羊和灰太郎进行了400米赛跑，赛完结束后，五人谈论比赛结果． 第一名说：“喜羊羊跑得比懒羊羊快．” 第二名说：“我比暖羊羊跑得快．” 第三名说：“我比灰太郎跑得快．” 第四名说：“喜羊羊比沸羊羊跑得快．” 第五名说：“暖羊羊比灰太郎跑得快．” 如果五人中只有灰太郎说了假话，那么喜羊羊得了第______________名． 42 例4：（2014 年数学花园探秘三年级初赛） 一次考试有三道题，四个好朋友考完后互相交流了成绩．发现四人各对了3、2、1、0题．这时一个路人问：你们考的怎么样啊？ 甲：“我对了两道题，而且比乙对的多，丙考的不如丁．” 乙：“我全对了，丙全错了，甲考的不如丁．” 丙：“我对了一道，丁对了两道，乙考的不如甲．” 丁：“我全对了，丙考的不如我，甲考的不如乙．” 已知大家都是对了几道题就说几句真话，那么对了2题的人是（ ）．A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 例5：（2014 解题能力展示三年级复赛） 三年级二班的同学在上游泳课，男生戴蓝泳帽，女生戴红泳帽． 男体育委员说：“我看见的蓝泳帽比红泳帽的4倍多1个．” 女体育委员说：“我看见的蓝泳帽比红泳帽多24个．” 根据两位体育委员的话，算出三年级二班共有（ ）位同学． A．35 B．36 C．37 D．38 43 5-2 填数游戏 基础知识 填数游戏是一类益智游戏，不同的填数游戏有不同的规则。 很多填数游戏不用到算术，用到的只是推理与逻辑。 解题方法分两大类：直观法和候选数法。 直观法就是不需要任何辅助工具，根据游戏规则直接解题。 候选数法需先建立候选数列表，根据各种条件，逐步清除不可能取值的候选数，最终填出符合要求的数。 例题精讲 例1：（2007迎春杯三年级初赛） 请你在六阶拉丁幻方中的空白方格内填入相应数字，使得每一行、每一列及两条对角线上恰好出现1、2、3、4、5、6。 3154362162 44 例2：（2013解题能力展示三年级初赛） 如图，5×5的表格中，每格填入一个数字，使得相同的数字所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边），现在已经给出了1，2，3，4 各两个，那么，表格中所有数的和是___________． 例3：（2016数学花园探秘三年级初赛） 在空格里填入数字 2015，或者空着不填．使得每行和每列都各有一个 2015．要求相同的数字不能对角相邻．那么第五行前五个位置依次是__________（空格用×表示）． 45 例4：（2012走美杯三年级初赛） 国际象棋盘中，皇后可以沿横线、竖线、斜线吃子。在4×4的棋盘中最多可以放入_____个皇后，它们相互之间不能吃子。在图中给出你的放法(用“O”表示) 例5：（2015 年数学花园探秘科普活动三年级初赛） 从左上角开始，沿着轨道出现的数字依次是 1,2,3,1,2,3，……．每行和每列的数字都是1个1，1个2，1个3（另外两个格子不填），那么，第四行的 5个数字从左至右组成的五位数是______．（没有数字的格子看作 0） 46 5-3 操作与策略 基础知识 操作策略类问题由于其灵活性和本身的趣味性，非常受青睐，然而这类问题没有一般性的算法或解题通式，只能是具体问题具体解决。 例题精讲 例1：（2015 年数学花园探秘科普活动三年级初赛） 现在我们有若干个边长为 1 的小正方形框架，要摆成一个18×15的网格，至少需要______个小正方形框架． 例2：（2015走美杯三年级决赛） 2 克，3 克和 5 克的砝码各一枚，能够称出 1 至 11 克的现有 1 克， 重量，某些重量可以有不止一种称量方法，比如 3 克，可以用 3 克的砝码称量，也可以用 1 克和 2 克的砝码称量，那么，至少需要用到3 个砝码才能够称出的重量是______克。 47 例3：（2015走美杯三年级初赛） 把 48 粒棋子放入 9 个盒子中，每个盒子至少放 1 粒，每盒棋子数都不一样，棋子最多的盒子里最多可以放______粒棋子． 例4：（2014 解题能力展示三年级复赛） 甲、乙两人玩拿火柴棍游戏，桌上共有10根火柴棍，谁取走最后一根谁胜．甲每次可以取走1根、3根或4根（只能取恰好的数量，如果最后剩2根火柴棍，甲只能取1根），乙每次可以取1根或2根．如果甲先取，那么甲为了取胜，第一次应（ ）． A．取1根 B．取3根 C．取4根 D．无论怎么取都无法获胜 48 例5：（2014 解题能力展示三年级复赛） 下图是小马新家的平面图．新家有6个房间，房间之间有门相通．小马想从某个房间出发，不重复地穿过所有的门走到F房间．那么，他出发的房间是（ ）房间． BACDFE A．A B．B C．C D．D 例6：（2013走美杯三年级初赛） 44的方格中应有30个正方形，下图已去掉了4个点，最少再去掉 ______个点，才能使图中恰好只剩一个正方形． 49 5-4 智巧趣题 基础知识 1.最值问题 最值问题涉及的知识面很广，要根据题中给出的条件去分析、判断、推理，最后才能得出正确答案。常用的方法和思路有：枚举比较、运用规律、考虑极端情形、从特殊情况分析等等。 2.找规律 数列找规律：观察一列数中已经出现的几个数之间有什么规律，运用数的顺序和加减乘除运算，找出数与数之间的排列规律。 图形找规律：在观察图形变化规律时，要注意图形数量、形状、大小、颜色、位置的变化. 例题精讲 1.最值问题 例1：（2014 解题能力展示三年级复赛） 将6、7、8、9填入右边算式的方格中：“□×□＋□□”那么这个算式的结果最大为（ ）． A．152 B．145 C．140 D．154 50 例2：（2011走美杯三年级初赛） 丁丁、当当、叽里、咕噜分别在A、B、C、D四个地方，他们到市中心各有一条道路，距离已经标在图上（单位：米）．四个朋友相约在某处（不一定是O）见面，每人走路的速度都是每分钟45米。他们见面最少需___________分钟． C A 150 300 B 180 O 240 D 例3：（2013走美杯三年级初赛） 甲、乙、丙、丁四人进行乒乓球比赛（没有平局）．每两人都要赛一场，比赛结束后统计成绩，甲胜了2场，乙胜了1场，丙最多胜______场． 51 2.找规律 例4：（2013解题能力展示三年级初赛） 根据前三幅图的规律，将第四幅图中相应的方格涂黑，涂黑的方格中所填数之和为________． 例5：（2014走美杯三年级初赛） 古希腊的数学家们将自然数按照以下方式与多边形联系起来， 三边形数：1，3，6，10，15，…… 四边形数：1，4，9，16，25，…… 五边形数：1，5，12，22，35，…… 六边形数：1，6，15，28，45，…… 按照上面的顺序，第8个三边形数为__________． 52 3.策略问题 例6：（2013走美杯三年级初赛） 一瓶可乐2元，两个空瓶可以再换一瓶可乐，有30元，最多可以喝到______瓶可乐． 4.综合问题 例7：（2014解题能力展示三年级初赛） 有20间房间，有的开着灯，有的关着灯，在这些房间里的人都希望与大多数房间保持一致．现在，从第一间房间的人开始，如果其余19间房间的灯开着的多，就把灯打开，否则就把灯关上，如果最开始开灯与关灯的房间各10间，并且第一间的灯开着．那么，这20间房间里的人轮完一遍后，关着灯的房间有（ ）间． A．0 B．10 C．11 D．20 53 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容