第1讲 直线与圆(小题)
热点一 直线的方程及应用 1.两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在. 2.求直线方程
要注意几种直线方程的局限性.点斜式、斜截式方程要求直线不能与x轴垂直，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线.
3.两个距离公式
(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝
|C1－C2|A＋B
22(A2
＋B2≠0).
|Ax0＋By0＋C|2
(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝(A＋B2≠0). 22A＋B
例1 (1)(2019·宝鸡模拟)若直线x＋(1＋m)y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则m的值是( )
3A.1 B.－2 C.1或－2 D.－
2答案 A
解析 ①当m＝－1时，两直线分别为x－2＝0和x－2y－4＝0，此时两直线相交，不合题意.
②当m≠－1时，两直线的斜率都存在，由直线平行可得2
1＋m≠－2
－
1m＝－，
21＋m
解得m＝1.
综上可得m＝1.
(2)我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就.现作出圆x2＋y2＝2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为( ) A.x＋(2－1)y－2＝0 C.x－(2＋1)y＋2＝0 答案 C
解析 如图所示可知A(2，0)，
B.(1－2)x－y＋2＝0 D.(2－1)x－y＋2＝0
B(1,1)，C(0，2)，D(－1,1)，
1－0
所以直线AB，BC，CD的方程分别为y＝(x－2)，
1－2y＝(1－2)x＋2， y＝(2－1)x＋2. 整理为一般式即 x＋(2－1)y－2＝0，
(1－2)x－y＋(
故选C.
2＝0，
2－1)x－y＋2＝0.
跟踪演练1 (1)已知直线l1：x·sin α＋y－1＝0，直线l2：x－3y·cos α＋1＝0，若l1⊥l2，则sin 2α等于( ) 2333A. B.± C.－ D. 3555答案 D
解析 因为l1⊥l2，所以sin α－3cos α＝0， 所以tan α＝3，
2sin αcos α所以sin 2α＝2sin αcos α＝2 sinα＋cos2α＝
2tan α3
2＝. 1＋tanα5
2
(2)已知直线l经过直线l1：x＋y＝2与l2：2x－y＝1的交点，且直线l的斜率为－，则直线l
3的方程是( ) A.－3x＋2y＋1＝0 C.2x＋3y－5＝0 答案 C
x＋y＝2，x＝1，
解析 解方程组得
2x－y＝1，y＝1，
B.3x－2y＋1＝0 D.2x－3y＋1＝0
所以两直线的交点为(1,1). 2
因为直线l的斜率为－，
3
2
所以直线l的方程为y－1＝－(x－1)，
3即2x＋3y－5＝0. 热点二 圆的方程及应用 1.圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2. 2.圆的一般方程
DED2＋E2－4Fx＋y＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D＋E－4F>0，表示以－2，－2为圆心，为半
2
2
2
2
2
径的圆.
3.解决与圆有关的问题一般有两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程. (2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.
例2 (1)(2018·天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为____________. 答案 x2＋y2－2x＝0
解析 方法一 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. ∵圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)， F＝0，
∴2＋D＋E＋F＝0，4＋2D＋F＝0.
D＝－2，
解得E＝0，
F＝0.
∴圆的方程为x2＋y2－2x＝0. 方法二 画出示意图如图所示，
则△OAB为等腰直角三角形， 故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1， ∴所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1， 即x2＋y2－2x＝0.
(2)抛物线x2＝4y的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，则△FPM的外接圆的方程为________. 1643
答案 x±2＋(y－1)2＝
33解析 由抛物线方程x2＝4y，可知 准线方程为y＝－1，F(0,1)， x
x，， 设P4∵|PM|＝|PF|，
由抛物线定义，可知PM垂直于准线，可得M(x，－1)， x2
又|PM|＝|MF|，可得＋1＝x2＋4，
4解得x1＝23，x2＝－23，
当x＝－23时，P(－23，3)，M(－23，－1)， △FPM为等边三角形⇒△FPM外接圆圆心与重心重合， ∴外接圆圆心坐标为43即－， 3，1外接圆半径为r＝
2
－23－23＋03－1＋1，
，33
－43＋232＋1＋12＝43，
33
4343
，1，半径为3， 3
同理可得当x＝23时，圆心坐标为
1643
∴外接圆方程为x±2＋(y－1)2＝.
33
跟踪演练2 (1)(2019·黄冈调研)已知圆x2＋y2＋2k2x＋2y＋4k＝0关于y＝x对称，则k的值为( )
A.－1 B.1 C.±1 D.0 答案 A
解析 化圆x2＋y2＋2k2x＋2y＋4k＝0为(x＋k2)2＋(y＋1)2＝k4－4k＋1.
则圆心坐标为(－k2，－1)，
∵圆x2＋y2＋2k2x＋2y＋4k＝0关于y＝x对称， ∴直线y＝x经过圆心， ∴－k2＝－1，得k＝±1.
当k＝1时，k4－4k＋1<0，不合题意， ∴k＝－1.
x2y2(2)(2019·河北省级示范性高中联合体联考)已知A，B分别是双曲线C：－＝1的左、右顶
m2点，P(3,4)为C上一点，则△PAB的外接圆的标准方程为________________. 答案 x2＋(y－3)2＝10
916
解析 ∵P(3,4)为C上一点，－＝1，
m24
解得m＝1，则B(1,0)，∴kPB＝＝2，
21
PB的中垂线方程为y＝－(x－2)＋2，
2令x＝0，则y＝3， 设外接圆圆心为M(0，t)，
则M(0,3)，r＝|MB|＝1＋32＝10，
∴△PAB外接圆的标准方程为x2＋(y－3)2＝10. 热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法 (1)点线距离法.
(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，方程组
Ax＋By＋C＝0， 222x－a＋y－b＝r，
消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.
2.圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离.
3.圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题.
2例3 (1)(2019·长沙市长郡中学模拟)已知圆C1：(x－2)2＋(y－2)2＝r21(r1>0)，圆C2：(x＋1)
＋(y＋1)2＝r22(r2>0)，圆C1与圆C2相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则r1r2为________.
答案
72 25
解析 根据题意作出如下图形：
AB为两圆的公切线，切点分别为A，B.
当公切线AB与直线C1C2平行时，公切线AB斜率不为7， 即r1≠r2，不妨设r1 |C1C2|＝2＋12＋2＋12＝32＝r1＋r2， 2＋1 直线C1C2的斜率为k＝＝1， 2＋1又kAB＝7， 所以直线AB与直线C1C2的夹角的正切值为 tan α＝ 1－7＝3. 1＋74 |EC2|3 在直角三角形EC1C2中，＝， |EC1|44 所以|EC1|＝(r2－r1)， 3又|EC1|2＋|EC2|2＝|C1C2|2， 4 r2－r12＋(r2－r1)2＝(r1＋r2)2， 整理得3解得4r1＝r2， 又32＝r1＋r2， 32122 解得r1＝，r2＝， 553212272 所以r1r2＝×＝. 5525 (2)(2019·淄博模拟)已知直线l：y＝－2x－m(m>0)与圆C：x2＋y2－2x－2y－23＝0，直线l与→→→ 圆C相交于不同两点M，N.若|MN|≤2|CM＋CN|，则m的取值范围是( ) A.[5，5) C.(5,55) B.[2,55－3) D.(3，2) 答案 B 解析 圆C的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝25， ∴C(1,1)，圆C半径r＝5， →→→若|MN|≤2|CM＋CN|， →→→则|MN|2≤4|CM＋CN|2， →→→→→即|MN|2≤4|CM|2＋4|CN|2＋8CM·CN， →→→∴|MN|2≤100＋100＋8|CM|·|CN|cos∠MCN， → 25＋25－|MN|2→2 ∴|MN|≤100＋100＋200×， 50→ ∴|MN|≤45， 设圆心C到直线y＝－2x－m的距离为d， 则2r2－d2＝2 25－ |3＋m|2≤45， 5 解得m≥2(舍负)， 又直线y＝－2x－m与圆C相交，可得d <5⇒m<55－3， 5 综上所述m的取值范围是[2,55－3). 跟踪演练3 (1)(2019·柳州模拟)已知点M是抛物线y2＝2x上的动点，以点M为圆心的圆被y轴截得的弦长为8，则该圆被x轴截得的弦长的最小值为( ) A.10 B.43 C.8 D.215 答案 D aa8 ，a，而r2＝2＋2， 解 设圆心M222aa x－2＋(y－a)2＝＋16， ∴圆M的方程为24当y＝0时，得x2－a2x＋a2－16＝0， 设圆与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2， 则x1＋x2＝a2，x1x2＝a2－16， ∴|x1－x2|＝x1＋x22－4x1x2 ＝a4－4a2＋64＝a2－22＋60 ≥60＝215. (2)(2019·绵阳诊断)已知圆C1：x2＋y2＝r2，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，给出下列结论：①a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0；②2ax1＋2by1＝a2＋b2；③x1 2 4 2 2 ＋x2＝a，y1＋y2＝b.其中正确结论的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 D 解析 公共弦的方程为2ax＋2by－a2－b2＝0， 所以有2ax1＋2by1－a2－b2＝0，②正确； 又2ax2＋2by2－a2－b2＝0， 所以a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，①正确； AB的中点为直线AB与直线C1C2的交点， 又AB：2ax＋2by－a2－b2＝0， C1C2：bx－ay＝0. 2ax＋2by－a－b＝0，由bx－ay＝0 2 2 x＝2，得b y＝2.a 故有x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，③正确. 真题体验 1.(2018·全国Ⅲ，理，6)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( ) A.[2,6] C.[2，32] 答案 A 解析 设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，则圆心C(2,0)，r＝2，所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为22，可得dmax＝22＋r＝32，1 dmin＝22－r＝2.由已知条件可得|AB|＝22，所以△ABP面积的最大值为|AB|·dmax＝6， 21 △ABP面积的最小值为|AB|·dmin＝2. 2综上，△ABP面积的取值范围是[2,6]. 2.(2016·全国Ⅱ，理，4)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a等于( ) 43 A.－ B.－ C.3 D.2 34答案 A B.[4,8] D.[22，32] 解析 由圆的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0得圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得d＝|1×a＋4－1|4 ＝1，解之得a＝－. 31＋a23.(2019·浙江，12)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________. 答案 －2 5 解析 方法一 设过点A(－2，－1)且与直线2x－y＋3＝0垂直的直线方程为l：x＋2y＋t＝0，所以－2－2＋t＝0，所以t＝4，所以l：x＋2y＋4＝0，令x＝0，得y＝－2，∴m＝－2，则r＝－2－02＋－1＋22＝5. 方法二 因为直线2x－y＋3＝0与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(－2，－1)，所以m＋1 ×2＝－1，所以m＝－2，r＝－2－02＋－1＋22＝5. 0－－2押题预测 1.已知直线x－ay＝0与圆x2＋(y＋4)2＝9相切，则实数a等于( ) 3737379A. B.－ C.± D. 7777答案 C 解析 直线x－ay＝0与圆x2＋(y＋4)2＝9相切， 即圆心(0，－4)到直线的距离等于半径， 根据点到直线的距离公式，得37化简得a＝±. 7 2.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋ax＋2ay－9＝0(a>0)相交，公共弦的长为22，则a＝________. 答案 10 2 |4a| ＝3， 1＋a222x＋y＝4， 解析 联立两圆方程22 x＋y＋ax＋2ay－9＝0， 可得公共弦所在直线方程为ax＋2ay－5＝0， 故圆心(0,0)到直线ax＋2ay－5＝0的距离为 |－5|a2＋4a故22＝5 (a>0). a 52 ＝22， a22－ 5 解得a2＝， 2 因为a>0，所以a＝ 10. 2 3.甲、乙两人参加歌咏比赛的得分(均为两位数)如茎叶图所示，甲的平均数为b，乙的众数为a，且直线ax＋by＋8＝0与以A(1，－1)为圆心的圆交于B，C两点，且∠BAC＝120°，则圆A的标准方程为________. 18答案 (x－1)2＋(y＋1)2＝ 17 20＋22＋23＋31 解析 由题意知，甲的平均数b为＝24， 4乙的众数a是40， ∴直线ax＋by＋8＝0，即5x＋3y＋1＝0， |5－3＋1|3 A(1，－1)到直线的距离为＝， 3452＋32∵直线ax＋by＋8＝0与以A(1，－1)为圆心的圆交于B，C两点，且∠BAC＝120°， ∴r＝6 ， 34 18 ∴圆A的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝. 17 A组 专题通关 1.(2019·衡水质检)直线2x·sin 210°－y－2＝0的倾斜角是( ) A.45° B.135° C.30° D.150° 答案 B 解析 由题意得k＝2sin 210°＝－2sin 30°＝－1， 故倾斜角为135°. 2.(2019·黄冈调研)过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( ) A.y－x＝1 C.2x－y＝0或x＋y＝3 答案 D 2－0解析 当直线过原点时，可得斜率为＝2， 1－0 B.y＋x＝3 D.2x－y＝0或y－x＝1 故直线方程为y＝2x，即2x－y＝0， xy 当直线不过原点时，设方程为＋＝1， a－a12 代入点(1,2)可得－＝1，解得a＝－1， aa方程为x－y＋1＝0， 故所求直线方程为y＝2x或y－x＝1. 3.(2019·东北三省三校模拟)设直线y＝x－2与圆O：x2＋y2＝a2相交于A，B两点，且|AB|＝23，则圆O的面积为( ) A.π B.2π C.4π D.8π 答案 C 解析 圆O：x2＋y2＝a2的圆心坐标为(0,0)，半径为|a|， ∵直线y＝x－2与圆O：x2＋y2＝a2相交于A，B两点， 且|AB|＝23， |2|又圆心(0,0)到直线y＝x－2的距离d＝＝1， 2∴1＋3＝a2，解得a2＝4，圆的半径r＝|a|＝2， ∴圆的面积S＝4π. 4.(2019·湘赣十四校联考)圆(x＋2)2＋(y－3)2＝9上到直线x＋y＝0的距离等于2的点有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 答案 A 解析 如图，圆的圆心为(－2,3)，半径为3， 圆心到直线的距离 |－2＋3|2d＝＝， 22可知2－ 22 <3,2＋<3， 22 由图可知，圆上到直线距离等于2的点共有4个. 5.(2019·黄山质检)直线2x－y－3＝0与y轴的交点为P，点P把圆(x＋1)2＋y2＝36的直径分为两段，则较长一段与较短一段的长度的比值等于( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 A 解析 令x＝0代入2x－y－3＝0可得P(0，－3)， 又圆心坐标为(－1,0)，半径为6， 则P与圆心的距离为1＋3＝2， 可知较长一段的长度为8，较短一段的长度为4，则较长一段与较短一段长度的比值等于2. 6.若直线ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为( ) A.5 B.5 C.25 D.10 答案 B 解析 由直线ax＋by＋1＝0始终平分圆M，知直线ax＋by＋1＝0必过圆M的圆心， 由圆的方程可得圆心为M(－2，－1)， 代入ax＋by＋1＝0中，可得2a＋b－1＝0. (a－2)2＋(b－2)2表示点(2,2)与直线2a＋b－1＝0上的点(a，b)的距离的平方. 点(2,2)到直线2a＋b－1＝0的距离 |2×2＋2×1－1|d＝＝5， 5所以(a－2)2＋(b－2)2的最小值为5. 7.(2019·河北省五个一名校联盟诊断)已知点P为圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4上一点，A(0， →→ －6)，B(4,0)，则|PA＋PB|的最大值为( ) A.26＋2 C.226＋4 答案 C 解析 取AB中点D(2，－3)， →→→→→→则PA＋PB＝2PD，|PA＋PB|＝|2PD|， 又由题意知，圆C的圆心C(1,2)，半径为2， → |PD|的最大值为圆心C(1,2)到D(2，－3)的距离d再加半径r， 又d＝1＋25＝26，∴d＋r＝26＋2， → ∴|2PD|的最大值为226＋4， →→ 即|PA＋PB|的最大值为226＋4. 8.(2019·菏泽模拟)已知点P是直线l：3x＋4y－7＝0上的动点，过点P引圆C：(x＋1)2＋y2π ＝r2(r>0)的两条切线PM，PN.M，N为切点，当∠MPN的最大值为时，则r的值为( ) 3A.4 B.3 C.2 D.1 答案 D B.26＋4 D.226＋2 解析 结合题意，绘制图象如图，可知 当∠MPN取到最大值时， 则∠MPC也取到最大值， MCr 而sin∠MPC＝＝， PCPC 当PC取到最小值时，∠MPC取到最大值， 故PC的最小值为点C(－1,0)到直线l的距离d， |3×－1＋0－7|故d＝＝2， 32＋42故 rrπ1 ＝＝sin ＝，解得r＝1. PC262 2 y29.(2019·宝鸡模拟)设D为椭圆x＋＝1上任意一点，A(0，－2)，B(0,2)，延长AD至点P， 5使得|PD|＝|BD|，则点P的轨迹方程为( ) A.x2＋(y－2)2＝20 C.x2＋(y＋2)2＝20 答案 C 解析 由题意，得|PA|＝|PD|＋|DA|＝|DB|＋|DA|， y2 又点D为椭圆x＋＝1上任意一点， 5 2 B.x2＋(y－2)2＝5 D.x2＋(y＋2)2＝5 且A(0，－2)，B(0,2)为椭圆的两个焦点， ∴|DB|＋|DA|＝25， ∴|PA|＝25， ∴点P的轨迹是以点A为圆心，半径为25的圆， ∴点P的轨迹方程为x2＋(y＋2)2＝20. 10.(2019·德阳模拟)已知点P(－3,0)在动直线m(x－1)＋n(y－3)＝0上的投影为点M，若点3 2，，那么|MN|的最小值为( ) N231A.2 B. C.1 D. 22答案 D 解析 因为动直线方程为m(x－1)＋n(y－3)＝0， 所以该直线过定点Q(1,3)， 所以动点M在以PQ为直径的圆上， 15 所以圆的半径为1＋32＋32＝， 223－1，， 圆心的坐标为2所以点N到圆心的距离为 332 2＋12＋2－2＝3， 51 所以|MN|的最小值为3－＝. 22 11.已知圆C：x2＋y2＝1，点P为直线x＋2y－4＝0上一动点，过点P向圆C引两条切线分别为PA，PB，A，B为切点，则直线AB经过定点( ) 11A.2，4 C.3 4，0 11B.4，2 D.0， 3 4答案 B 解析 设P(4－2m，m). ∵PA，PB是圆C的切线，A，B为切点， ∴CA⊥PA，CB⊥PB， ∴AB是圆C与以PC为直径的圆的公共弦. mm y－2＝(2－m)2＋，① 易知以PC为直径的圆的方程为[x－(2－m)]＋24 2 2 圆C的方程为x2＋y2＝1，② ①－②得直线AB的方程为2×(2－m)x＋my＝1， 1 x－＋m(y－2x)＝0， 即4411∴直线AB恒过定点4，2. →→12.(2019·南昌模拟)已知A(－3，0)，B(3，0)，P为圆x2＋y2＝1上的动点，AP＝PQ，过点P作与AP垂直的直线l交直线QB于点M，则M的横坐标的取值范围是( ) A.|x|≥1 C.|x|≥2 答案 A 解析 设P(x0，y0)，则Q(2x0＋3，2y0)， 当y0≠0时， B.|x|>1 D.|x|≥ 2 2 kAP＝ x0＋3y0 ，kPM＝－， y0x0＋3 2y0y0kQB＝＝， 2x0＋3－3x0 x0＋3 直线PM：y－y0＝－(x－x0)，① y0y0直线QB：y－0＝(x－3)，② x0 2 又P在圆上，∴x20＋y0＝1，③ 3＋x0联立①②③消去y得x＝， 1＋3x0x－3 ∴x0＝，由|x0|<1，解得|x|>1， 1－3x当y0＝0时，点P，M重合，易求得|x|＝1. 综上，|x|≥1. 13.(2019·福建四校联考)已知直线3x＋4y－3＝0,6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是________. 答案 2 解析 因为直线3x＋4y－3＝0,6x＋my＋14＝0平行， 所以3m－4×6＝0，解得m＝8， 所以6x＋my＋14＝0即是3x＋4y＋7＝0， 由两条平行线间的距离公式可得d＝ |7＋3|＝2. 32＋4214.(2019·天津市十二重点中学联考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，且y轴和直线3x＋4y＋4＝0均与圆C相切，则圆C的标准方程为________. 答案 (x－2)2＋y2＝4 解析 设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，r>0， b＝0，故由题意，得|a|＝r， |3a＋4b＋4|5＝r， 解得a＝2，b＝0，r＝2， a>0， 则圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4. 3 1，－的直线l与圆O：x2＋y215.(2019·湖北省部分重点中学联考)已知O为原点，过点P2＝5相交于A，B两点，若△AOB的面积为2，则直线l的方程为________. 答案 x＝1或5x＋12y＋13＝0 解析 ①当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝1， 则圆心O(0,0)到直线l的距离为1， 所以|AB|＝252－1＝4， 1 故S△AOB＝×4×1＝2， 2所以直线x＝1满足题意. ②当直线l的斜率存在时， 3 设直线l的方程为y＋＝k(x－1)， 2即2kx－2y－2k－3＝0， |2k＋3| 所以圆心O(0,0)到直线l的距离d＝， 2k2＋1故|AB|＝252－d2＝25－d2， 1 因为S△AOB＝|AB|d＝2， 2所以5－d2·d＝2， 整理得d4－5d2＋4＝0，解得d＝1或d＝2. |2k＋3|当d＝1时，＝1， 2k2＋15 解得k＝－； 12 |2k＋3| 当d＝2时，＝2，此方程无解. 2k2＋135 故直线方程为y＋＝－(x－1)， 212即5x＋12y＋13＝0. 综上可得所求直线方程为x＝1或5x＋12y＋13＝0. 16.(2019·辽宁省六校联考)已知⊙O：x2＋y2＝1.若直线y＝kx＋2上总存在点P，使得过点P的⊙O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是________. 答案 (－∞，－1]∪[1，＋∞) 解析 ∵圆心为(0,0)，半径r＝1， 设两个切点分别为A，B， 则由题意可得四边形PAOB为正方形， 故有|PO|＝2r＝2， ∴圆心O到直线y＝kx＋2的距离d≤2， 即 |2| ≤2， 1＋k2即1＋k2≥2，解得k≥1或k≤－1. B组 能力提高 17.若对圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上任意一点P(x，y)，|3x－4y＋a|＋|3x－4y－9|的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是________. 答案 [6，＋∞) 解析 |3x－4y－9|表示圆上的点到直线l1：3x－4y－9＝0的距离的5倍，|3x－4y＋a|表示圆上的点到直线l2：3x－4y＋a＝0的距离的5倍， 因为|3x－4y＋a|＋|3x－4y－9|的取值与x，y无关，即圆上的点到直线l1，l2的距离和与圆上点的位置无关，又易知直线l1与圆相离，所以直线3x－4y＋a＝0与圆相离或相切，并且l1和l2在圆的两侧，如图所示，所以圆心(1,1)到l2的距离d＝ |3－4＋a| 5 ≥1，并且a>0，解得a≥6. 18.已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)且|AB|＝2，过点A任作一条直线与圆O：x2＋y2＝1相交于M，N两点，下列三个结论：①② |NB||MA||NB||MA| －＝2；③＋＝22.其中正确结论的序号是________. |NA||MB||NA||MB| |NA||MA| ＝；|NB||MB| 答案 ①②③ 解析 如图，根据题意，利用圆中的特殊三角形，可求得圆心及半径，即得圆C的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2，并且可以求得A(0，2－1)，B(0，2＋1)， 因为M，N在圆O：x2＋y2＝1上， 所以可设M(cos α，sin α)， N(cos β，sin β)， 所以|NA|＝cos β－02＋[sin β－2－1]2 ＝22－12－sin β， |NB|＝cos β－02＋[sin β－2＋1]2 ＝22＋12－sin β， |NA|所以＝2－1， |NB||MA| 同理可得＝2－1， |MB||NA||MA|所以＝， |NB||MB| |NB||MA|1 －＝－(2－1)＝2， |NA||MB|2－1|NB||MA| ＋＝22， |NA||MB|故①②③都正确. 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容