第3节 共点力的平衡
知识点一| 物体的受力分析
1．定义
把指定物体(研究对象)在特定的物理环境中受到的所有外力都找出来，并画出受力示意图的过程。 2．受力分析的一般顺序
(1)首先分析场力(重力、电场力、磁场力)。 (2)其次分析接触力(弹力、摩擦力)。 (3)最后分析其他力。
(4)画出受力分析示意图(选填“示意图”或“图示”)。 [判断正误]
(1)对物体受力分析时，只能画该物体受到的力，其他物体受到的力不能画在该物体上。 (2)物体沿光滑斜面下滑时，物体受到重力、支持力和下滑力的作用。
(×)
(3)对物体进行受力分析时不用区分外力与内力，两者都要同时分析。
1．受力分析的四种方法
(1)假设法：在受力分析时，若不能确定某力是否存在，可先对其作出存在的假设，然后根据分析该力存在对物体运动状态的影响来判断该力是否存在。
(2)整体法：将加速度相同的几个相互关联的物体作为一个整体进行受力分析的方法。 (3)隔离法：将所研究的对象从周围的物体中分离出来，单独进行受力分析的方法。
(4)动力学分析法：对加速运动的物体进行受力分析时，应用牛顿运动定律进行分析求解的方法。 2．受力分析的四个步骤
(×)
[典例] (2019·哈尔滨检测)如图所示，一个质量为m的滑块静止置于倾角为30°的粗糙斜面上，一根轻弹簧一端固定在竖直墙上的P点，另一端系在滑块上，弹簧与斜面垂直，则( )
A．滑块不可能只受到三个力作用 B．弹簧一定处于压缩状态
C．斜面对滑块的支持力大小可能为零 1D．斜面对滑块的摩擦力大小一定等于mg
2
D [滑块静止在斜面上，滑块一定受摩擦力，故斜面一定对滑块有支持力，弹簧对滑块的作用力可以为零，可以为压力，也可以为拉力，则滑块可能受三个力作用，选项A、C错误；由以上分析可知，弹簧可能无形变，可能压缩，也可能拉伸，选项B错误；弹簧对滑块的力在垂直斜面的方向1
上，故滑块所受的摩擦力大小等于其重力沿斜面的分力，即f＝mgsin θ＝mg，选项D正确。]
2
受力分析的四个注意点 (1)不要把研究对象所受的力与研究对象对其他物体的力混淆。 (2)每一个力都应找出其施力物体，不能无中生有。 (3)合力和分力不能重复考虑。 (4)对整体进行受力分析时，组成整体的几个物体间的作用力为内力，不能在受力图中出现；当把某一物体单独隔离分析时，原来的内力变成外力，要在受力分析图中画出。
考法1 物体的受力分析
1.(多选)(2019·衡阳模拟)如图所示，地面上固定一个斜面，斜面上叠放着A、B两个物块并均处于静止状态。现对物块A施加一斜向上的力F作用，A、B两个物块始终处于静止状态。则木块B的受力个数可能是( )
A．2个 B．4个 C．5个 D．6个
BC [对A受力分析可得，A受竖直向下的重力、斜向左上方的拉力F、竖直向上的支持力及水平向右的摩擦力。对B受力分析可得，B受重力、A对B的压力、斜面的支持力、A对B向左的摩擦力，且斜面若对B没有摩擦力则B受到4个力，若斜面对B有摩擦力则B受5个力，选项A、D错误，B、C正确。]
2.(2019·开封检测)如图所示，物体A靠在竖直的墙面C上，在竖直向上的力F作用下，A、B物体保持静止，则物体A受力分析示意图正确的是( )
A B C D
A [以A、B组成的整体为研究对象，水平方向不可能受力，故整体和墙面C间没有弹力，故A与墙面C间无摩擦力，以A物体为研究对象，A受重力，B对A的垂直接触面的弹力和平行接触面的摩擦力，故选项A正确。]
考法2 “整体法、隔离法”的应用
3.如图所示，甲、乙两个小球的质量均为m，两球间用细线连接，甲球用细线悬挂在天花板上。现分别用大小相等的力F水平向左、向右拉两球，平衡时细线都被拉紧。则平衡时两球的可能位置是下列选项中的( )
A B C D
A [用整体法分析，把两个小球看作一个整体，此整体受到的外力为竖直向下的重力2mg、水平向左的力F(甲受到的)、水平向右的力F(乙受到的)和细线1的拉力，两水平力相互平衡，故细线1的拉力一定与重力2mg等大反向，即细线1一定竖直；再用隔离法，分析乙球受力的情况，乙球受到向下的重力mg、水平向右的拉力F、细线2的拉力F2。要使得乙球受力平衡，细线2必须向右倾斜。故A正确。]
(2019·西安模拟)如图所示，a、b两个质量相同的球用细线连接，a球用细线挂在天花板上，b球放在光滑斜面上，系统保持静止，以下图示哪个是正确的( )
A B C D
B [对b球受力分析，受重力、斜面对其垂直斜面向上的支持力和细线的拉力，因为三力平衡时三个力中任意两个力的合力与第三个力等值、反向、共线，故细线拉力方向向右上方，选项A错误；再对a、b两个球整体受力分析，受总重力、垂直斜面向上的支持力和上面细线的拉力，再次根据共点力平衡条件判断上面的细线的拉力方向斜向右上方，选项C、D错误，B正确。]
4.如图所示，物块A放在直角三角形斜面体B上面，B放在弹簧上面并紧挨着竖直墙壁，初始时A、B静止，现用力F沿斜面向上推A，但A、B仍未动。则施力F后，下列说法正确的是( )
A．A、B之间的摩擦力一定变大 B．B与墙面间的弹力可能不变 C．B与墙之间可能没有摩擦力 D．弹簧弹力一定不变
D [对A分析，开始受重力、B对A的支持力和静摩擦力平衡，当施加F后，仍然处于静止状态，开始A所受的静摩擦力大小为mAgsin θ，若F＝2mAgsin θ，则A、B之间的摩擦力大小不变，故A错误；以A、B整体为研究对象，开始时B与墙面的弹力为零，后来施加F后，弹力为Fcos θ，B错误；对A、B整体分析，由于A、B不动，弹簧的形变量不变，则弹簧的弹力不变，开始弹簧的
弹力等于A、B的总重力，施加F后，弹簧的弹力不变，总重力不变，根据平衡知，则B与墙之间一定有摩擦力，故C错误，D正确。]
(2019·合肥模拟)在竖直放置的平底圆筒内，放置两个半径相同的刚性球a和b，球a质量大于球b，放置的方式有如图甲和乙两种。不计圆筒内壁和球面之间的摩擦，对有关接触面的弹力，下列说法正确的是( )
甲 乙
A．图甲圆筒底受到的压力大于图乙圆筒底受到的压力 B．图甲中球a对圆筒侧面的压力小于图乙中球b对侧面的压力 C．图甲中球a对圆筒侧面的压力大于图乙中球b对侧D．图甲中球a对圆筒侧面的压力等于图乙中球b对侧B [以a、b整体为研究对象受力分析，受重力、圆筒支持力，根据平衡条件，图甲圆筒底受到的压力等于图乙故A错误；根据平衡条件，两侧面的两个支持力是相等的；
面的压力 面的压力
底支持力和两侧面的圆筒底受到的压力，再以上面球为研究对
象受力分析，根据平衡条件运用合成法，如图所示，由几何知识可知：FN筒＝mgtan θ，故侧面的弹力与上面球的重力成正比，由于球a质量大于球b，故图乙中两侧面的弹力较大，故B正确，C、D错误。]
知识点二| 共点力的静态平衡
1．平衡状态
物体处于静止状态或匀速直线运动状态。 2．平衡条件 Fx＝0F合＝0或者
Fy＝0
如图所示，小球静止不动，物体匀速运动。
则小球F合＝0；物块Fx＝0，Fy＝0。 3．平衡条件的推论
(1)二力平衡：如果物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，这两个力必定大小相等，方向相反。 (2)三力平衡：物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与另外两个力的合力大小相等，方向相反，并且这三个力的矢量可以形成一个封闭的矢量三角形。
(3)多力平衡：物体在多个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与另外几个力的合力大小相等，方向相反。
[判断正误]
(1)处于平衡状态的物体加速度一定等于零。 (2)速度等于零的物体一定处于平衡状态。
(√) (×)
(3)若三个力F1、F2、F3平衡，将F1转动90°时，三个力的合力大小为2F1。
考法1 平行四边形法求解静态平衡问题
1.(2019·株洲模拟)如图所示，一条不可伸长的轻质细绳一端跨过光滑钉子b悬挂一质量为m1的l
重物，另一端与另一轻质细绳相连于c点，ac＝，c点悬挂质量为m2的重物，平衡时ac正好水平，
25
此时质量为m1的重物上表面正好与ac在同一水平线上且到b点的距离为l，到a点的距离为l，则
4两重物的质量的比值
m1为( ) m2
553A. B．2 C. D. 242
C [因c点处于平衡状态，所以任意两个力的合力均与第三个相反，如图所示，根据平行四边形定则将力F与m1g合成，则sin ＝
4m15
＝，所以＝，选项C正确。]
m243l252
l＋4
力大小相等，方向θ＝
m2g
，而sin θm1g
l
2.(2016·全国卷Ⅲ)如图所示，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上；一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球。在a和b之间的细线上悬挂一小物块。平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径。不计所有摩擦。小物块的质量为( )
m3
A. B.m C．m D．2m 22C [如图所示，由于不计摩擦，线上张力处处相等，用力的合力方向指向圆心。由于a、b间距等于圆弧半径，步分析知，细线与aO、bO间的夹角皆为30°。取悬挂的物块的细线张角为120°，由平衡条件知，小物块的质量与为m。故选项C正确。]
(多选)如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心。一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点。设滑块所受支持力为FN，OP与水平方向的夹角为θ。下列关系正确的是( )
且轻环受细线的作则∠aOb＝60°，进一小物块研究，悬挂小小球的质量相等，即
A．F＝
mg
tan θ
B．F＝mgtan θ D．FN＝mgtan θ
mg
C．FN＝
sin θ
AC [将重力按产生的效果分解，如图所示，
mgmg
F＝G2＝，FN＝G1＝，故选项A、C正确。]
tan θsin θ
考法2 正交分解法求解静态平衡问题
3.(2019·烟台检测)如图所示，斜面上放有两个完全相同的物体a、b，两物体间用一根细线连接，在细线的中点加一与斜面垂直的拉力F，使两物体均处于静止状态。则下列说法正确的是( )
A．a、b两物体的受力个数一定相同 B．a、b两物体对斜面的压力相同
C．a、b两物体受到的摩擦力大小一定相等 D．当逐渐增大拉力F时，物体b先开始滑动 B [对a、b进行受力分析，如图所示。b物体处于静面向上的分量与重力沿斜面向下的分量相等时，摩擦力为3个力作用，而a物体必定受到摩擦力作用，肯定受4个a、b两个物体，垂直于斜面方向受力都平衡，则有：FN
止状态，当细线沿斜零，所以b可能只受力作用，故A错误；＋FTsin θ＝mgcos
α，解得：FN＝mgcos α－FTsin θ，则a、b两物体对斜面的压力相同，故B正确；根据对A项的分析可知，b的摩擦力可以为零，而a的摩擦力一定不为零，故C错误；对a沿斜面方向有：FTcos θ＋mgsin α＝Ffa，对b沿斜面方向有：FTcos θ－mgsin α＝Ffb，正压力相等，所以最大静摩擦力相等，则a先达到最大静摩擦力，先滑动，故D错误。]
考法3 力的三角形法求解静态平衡问题
4.(2019·鸡西模拟)如图所示，穿在一根光滑的固定杆上的两个小球A、B连接在一条跨过定滑轮的细绳两端，杆与水平面成θ角，不计所有摩擦，当两球静止时，OA绳与杆的夹角为θ，OB绳沿竖直方向，则下列说法正确的是( )
A．A可能受到2个力的作用 B．B可能受到3个力的作用 C．绳子对A的拉力大于对B的拉力 D．A、B的质量之比为1∶tan θ
D [对A球受力分析可知，A受到重力，绳子的拉力以及杆对A球的弹力，三个力的合力为零，故A错误；对B球受力分析可知，B受到重力，绳子的拉力，两个力合力为零，杆对B球没有弹力，否则B不能平衡，故B错误；定滑轮不改变力的大小，
则绳子对A的拉力等于对
B的拉力，故C错误；分别对A、B两球分析，运用合成法，如图所示。
根据共点力平衡条件， 得：T＝mBg
TmAg＝ sin θsin90°＋θ
(根据正弦定理列式)
故mA∶mB＝1∶tan θ，故D正确。] [考法指导] 处理平衡问题的三个技巧 (1)物体受三个力平衡时，利用力的分解法或合成法比较简单。 (2)物体受四个以上的力作用时，一般要采用正交分解法。 (3)建立坐标系时应使尽可能多的力与坐标轴重合，需要分解的力尽可能少。 知识点三| 共点力的动态平衡
考法1 解析法求解动态平衡问题
1.(多选)(2019·长春检测)如图所示，上表面光滑的半圆柱体放在水平地面上，一小物块从靠近半圆柱体顶点O的A点，在外力F作用下沿圆弧缓慢下滑到B点，此过程中F始终沿圆弧的切线方向且半圆柱体保持静止状态。下列说法中正确的是( )
A．半圆柱体对小物块的支持力变大 B．地面对半圆柱体的摩擦力先增大后减小 C．外力F变大
D．地面对半圆柱体的支持力变大
BC [物块缓慢下滑即物块时刻受力平衡，F始终沿圆弧的切线方向，即F始终垂直于圆柱面支持力FN的方向，受力分析如图甲、乙所示，
甲 乙
因此总有F＝mgsin θ，FN＝mgcos θ，下滑过程中θ增大，因此F增大，FN减小，A错误，C正确；对半圆柱体分析，地面对半圆柱体的摩擦1
力Ff＝FNsin θ＝mgcos θsin θ＝mgsin 2θ，地面对
2半圆柱体的支持力F′N＝Mg＋FNcos θ＝Mg＋mgcos2θ，θ从接近0°到90°变化的过程中，摩擦力先增大后减小，支持力一直减小，B正确，D错误。]
2.如图所示，形状固定的支架AOB可绕过O
点的水平轴(垂直纸面)转动，一光滑金属球静止在支架上，此时OA的倾角为60°。现将支架绕轴从图示位置逆时针缓慢转过60°，分别用F1、F2、F3表示OA、OB和支架对金属球的作用力，则此过程中( )
A．F1逐渐变大 B．F2逐渐变大 C．F3逐渐变小
D．F1的水平分力大于F2的水平分力
A [设OA、OB的倾角分别为α、θ，金属球的受力如图所示，则有F＝G，由于支架形状固定，即∠AOB＝180°－(α＋θ)，且保持不变，根据正弦定理有
F1F2F
＝＝，得F1＝sin θsin αsin[180°－α＋θ]
sin θsin α
G①，F2＝G②，在支架绕轴从题图图示位置逆时针缓慢转过60°的过程中，θ逐
sin∠AOBsin ∠AOB渐变大，由①知F1逐渐变大，选项A正确；α逐渐变小，由②知F2逐渐变小，选项B错误；支架对金属球的作用力是F1与F2的合力F，保持不变，即F3保持不变，选项C错误；由于金属球始终处于平衡状态，故F1的水平分力始终与F2的水平分力等值反向，选项D错误。]
[考法指导] 对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件列式求解，得到因变量与自变量的函数表达式通常为三角函数关系，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。
考法2 图解法求解动态平衡问题
3.(2019·福州模拟)如图所示，有一倾角为θ的斜面，斜面上有一能绕固定轴B转动的木板AB，木板AB与斜面垂直，把球放在斜面和木板AB之间，不计摩擦，球对斜面的压力为F1，对木板的压力为F2。将板AB绕B点缓慢推到竖直位置的过程中，则( )
A．F1和F2都增大 C．F1增大，F2减小
B．F1和F2都减小 D．F1减小，F2增大
A [小球受到三个共点力作用而处于动态平衡状态，三个力首尾相连构成一个闭合矢量三角形，如图所示，由图可知，将板AB绕B点缓慢推到竖直位置的过程中，F1和F2均增大，故A正确。
]
4.(2019·衡水检测)如图所示，有一质量不计的杆AO，长为R，可绕A自由转动。用绳在O点悬挂一个重为G的物体，另一根绳一端系在O点，另一端系在圆弧形墙壁上的C点。当点C由图示位置逐渐向上沿圆弧CB移动过程中(保持OA与墙面夹角θ不变)，OC绳所受拉力的大小变化情况是( )
A．逐渐减小 C．先减小后增大
B．逐渐增大 D．先增大后减小
竖直绳的拉力不变；处于平衡；受力分析等，方向相反，则在边形发生图中所示变
C [对物体分析，物体受力平衡，则拉力等于重力G；故再对O点分析，O受绳的拉力、OA的支持力及OC的拉力而如图所示；将F和OC绳上的拉力合成，其合力与G大小相OC绳上移的过程中，平行四边形的对角线保持不变，平行四
化，则由图可知OC绳的拉力先减小后增大，在图中D点时拉力最小，故C正确。]
[考法指导] 此法常用于求解三力平衡且有一个力是恒力、另有一个力方向不变的问题。一般按照以下流程解题。 受力分析化“动”为“静”“静”中求“动”画不同状态确定力――――――→――――――――→ 下的平衡图的变化考法3 相似三角形法求解动态平衡问题
5.(2019·商丘模拟)如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔。质量为m的小球套在圆环上。一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔用手拉住。现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移，在移动过程中，手对细线的拉力F和圆环对小球的弹力FN的大小变化情况是( )
A．F不变，FN增大 C．F减小，FN不变
B．F不变，FN减小 D．F增大，FN减小
球进行受力分析，作FN＝R，当A点上移时，
C [小球沿圆环缓慢上移可看成小球始终受力平衡，对小GF
出受力示意图如图所示，由图可知△OAB∽△GFA即：R＝AB半径不变，AB长度减小，故F减小，FN不变，故C正确。]
[考法指导] 在三力动态平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出的空间几何关系有一固定边长，有可动但长度不变的边，多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例求解。 知识点四| 平衡中的临界、极值问题
考法1 平衡中的临界问题
1.如图所示，物体A、B置于水平地面上，与地面间的动摩擦因数均为μ，物体A、B用一根跨过动滑轮的细绳相连。现用逐渐增大的力向上提升滑轮，某时刻拉A物体的绳子与水平面成53°，拉mAB物体的绳子与水平面成37°，此时A、B两物体刚好处于平衡状态，则A、B两物体的质量之比m
B
为(最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)( )
4μ＋33μ＋44μ－33μ－4A. B. C. D. 3μ＋44μ＋33μ－44μ－3
A [设绳中张力大小为F，对A应用平衡条件得Fcos 53°＝μ(mAg－Fsin 53°)，对B应用平衡条mA4μ＋3件得Fcos 37°＝μ(mBg－Fsin 37°)，联立以上两式解得m＝，选项A正确。]
B3μ＋4
2.如图所示，质量为m的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑。对物体施加一大小为F水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，试求：
(1)物体与斜面间的动摩擦因数； (2)这一临界角θ0的大小。
解析：(1)如图所示，未施加力F时，对物体受力分析，由平衡条件得mgsin 30°＝μmgcos 30°
解得μ＝tan 30°＝
3
。 3
(2)设斜面倾角为α时，受力情况如图所示，由平衡条件得： Fcos α＝mgsin α＋F′f F′N＝mgcos α＋Fsin α F′f＝μF′N
mgsin α＋μmgcos α
解得F＝
cos α－μsin α
当cos α－μsin α＝0，即tan α＝3时，F→∞，即“不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行”，此时，临界角θ0＝α＝60°。
答案：(1)
3
(2)60° 3
[考法指导] 常见的临界状态有： 1两接触物体脱离与不脱离的临界条件是相互作用力为0主要体现为两物体间的弹力为0；
2绳子断与不断的临界条件为绳中张力达到最大值；绳子绷紧与松弛的临界条件为绳中张力为0； 3存在摩擦力作用的两物体间发生相对滑动或相对静止的临界条件为静摩擦力达到最大。,研究的基本思维方法：假设推理法。 考法2 平衡中的极值问题
3.重力都为G的两个小球A和B用三段轻绳如图连接后悬挂在O点上，O、B间的绳子长度是A、B间的绳子长度的2倍，将一个拉力F作用到小球B上，使三段轻绳都伸直且O、A间和A、B间的两段绳子分别处于竖直和水平方向上，则拉力F的最小值为( )
1A.G 2C．G
B.3G 3
23D.G
3
绳上的拉力为0。对小，大小为Gsin θ，
A [对A球受力分析可知，因O、A间绳竖直，则A、B间B球受力分析如图所示，则可知当F与O、B间绳垂直时F最l11
其中sin θ＝＝，则F的最小值为G，故A项正确。]
2l22
4.(2019·西安模拟)如图所示，有一倾角θ＝30°的斜面B，质物体A静止在B上。现用水平力F推物体A，在F由零逐渐增加至A和B始终保持静止。对此过程下列说法正确的是( )
量为M。质量为m的
3
mg，再逐渐减为零的过程中，2
A．地面对B的支持力大于(M＋m)g B．A对B压力的最小值为
333mg，最大值为mg 24
mg
4
C．A所受摩擦力的最小值为0，最大值为
13
D．A所受摩擦力的最小值为mg，最大值为mg 24
B [对A和B整体，竖直方向FN地＝(M＋m)g，与水选项A错误；对A受力分析如图所示，由共点力的平衡FN＝Fsin θ＋mgcos θ，F＝0时，B对A支持力的最小值时，B对A支持力的最大值FNmax＝大值为
平力F的大小变化无关，条件，垂直于斜面方向FNmin＝
33
mg，F＝mg22
333
mg，由牛顿第三定律知，A对B压力的最小值为mg，最42
331
mg，选项B正确；平行于斜面方向，当F＝0时，斜面对物体的静摩擦力f＝mgsin θ＝mg，42
31
mg时，f＝mgsin θ－Fcos θ，则0≤f≤mg，A所32
故当0≤Fcos θ≤mgsin θ，即0≤F≤mgtan θ＝
1331
受摩擦力的最小值为0，最大值为mg；当mg 合以上分析知，整个过程中，A所受摩擦力的最小值为0，最大值为mg，选项C、D错误。] 2 [考法指导] 突破极值问题的三种方法 解析 法 根据物体的平衡条件列方程，在解方程时采用数学知识求极值。通常用到的数学知识有二次函数求极值、讨论分式求极值、三角函数求极值以及几何法求极值等 图解 根据物体的平衡条件作出力的矢量关系图，作出平行四边形或者矢量法 极 限 法 三角形进行动态分析，确定最大值或最小值 是指通过恰当选取某个变化的物理量将问题推向极端(“极大”“极小”“极右”“极左”等)，从而把比较隐蔽的临界现象暴露出来，使问题明朗化，便于分析求解 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容