1993年试题 全国高考试题(高考数学试卷)

1993年试题 (理工农医类)

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内.

(1)如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么该双曲线的离心率为

【 】

[Key]

一、选择题:本题考查基本知识和基本运算. (1)C

[Key] (2)B

【 】

(A)45° (B)60° (C)90° 【 】

[Key] (3)C

(D)120°

(A)1 (B)-1 (C)i (D)-i 【 】

[Key] (4)D

(5)直线bx+ay=ab(a<0,b<0)的倾斜角是

【 】

[Key] (5)C

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(6)在直角三角形中两锐角为A和B,则sinAsinB

(C)既无最大值也无最小值 (D)有最大值1,但无最小值 【 】

[Key] (6)B

(7)在各项均为正数的等比数列{an}中,若a5a6=9,则log3a1+log3a2+…+log3a10= (A)12 (B)10 (C)8 (D)2+log35 【 】

[Key] (7)B

(A)是奇函数 (B)是偶函数

(C)可能是奇函数也可能是偶函数 (D)不是奇函数也不是偶函数 【 】

[Key] (8)A

(A)线段 (B)双曲线的一支 (C)圆弧 (D)射线 【 】

[Key] (9)A

(10)若a、b是任意实数,且a>b,则

【 】

[Key] (10)D

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(11)已知集合E={θ│cosθ【 】

[Key] (11)A

(12)一动圆与两圆:x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹为 (A)抛物线 (B)圆

(C)双曲线的一支 (D)椭圆 【 】

[Key] (12)C

(A)三棱锥 (B)四棱锥 (C)五棱锥 (D)六棱锥 【 】

[Key] (13)D

(14)如果圆柱轴截面的周长l为定值,那么圆柱体积的最大值是

[Key] (14)A

【 】

(A)50项 (B)17项 (C)16项 (D)15项 【 】

[Key] (15)B

(16)设a,b,c都是正数,且3a=4b=6c,那么

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【 】

[Key] (16)B

(17)同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有 (A)6种 (B)9种 (C)11种 (D)23种 【 】

[Key] (17)B

(18)已知异面直线a与b所成的角为50°,P为空间一定点,则过点P且与a,b所成的角都是30°的直线有且仅有

(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条 【 】

[Key] (18)B

二、填空题:把答案填在题中横线上.

(20)在半径为30m的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆锥形,且其轴截面顶角为120°.若要光源恰好照亮整个广场,则其高度应为 m(精确到0.1m).

(21)在50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件,至少有3件是次品的抽法共 种(用数字作答).

(22)建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池.如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水池的最低总造价为 元. (23)设f(x)=4x-2x+1,则f-1(0)= .

[Key] 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算. (19)2 (20)17.3 (21)4186

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三、解答题:解答应写出文字说明、演算步骤.

[Key] 三、解答题.

(25)本小题考查对数函数的概念及性质,不等式的解法.

(26)如图,A1B1C1-ABC是直三棱柱,过点A1、B、C1的平面和平面ABC的交线记作l.

(Ⅰ)判定直线A1C1和l的位置关系,并加以证明;

(Ⅱ)若A1A=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求顶点到直线l的距离.

[Key] (26)本小题主要考查空间图形的线面关系、三棱柱的性质、空间想象能力和逻辑

推理能力.

解:(Ⅰ)l∥A1C1.证明如下:

根据棱柱的定义知平面A1B1C1和平面ABC平行.

由题设知直线A1C1=平面A1B1C1∩平面A1BC1,直线l=平面A1BC1∩平面ABC. 根据两平面平行的性质定理有l∥A1C1.

(Ⅱ)解法一:

过点A1作A1E⊥l于E,则A1E的长为点A1到l的距离. 连结AE.由直棱柱的定义知A1A⊥平面ABC. ∴ 直线AE是直线A1E在平面ABC上的射影. 又 l在平面ABC上,根据三垂线定理的逆定理有

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AE⊥l.

由棱柱的定义知A1C1∥AC,又l∥A1C1, ∵ l∥AC.

作BD⊥AC于D,则BD是Rt△ABC斜边AC上的高,且BD=AE,

在Rt△A1AE中,

∵ A1A=1,∠A1AE=90°,

解法二:

同解法一得l∥AC.

由平行直线的性质定理知∠CAB=∠ABE,从而有Rt△ABC∽Rt△BEA,AE:BC=AB:AC,

以下同解法一.

出以M,N为焦点且过点P的椭圆方程.

[Key] (27)本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用的能力.

解法一:建立直角坐标系如图:以MN所在直线为x轴,线段MN的垂直平分线为y轴.

(c,0)和(x0,y0).

∵ tgα=tg(π-∠N)=2, ∴ 由题设知

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解法二:

[Key] (28)本小题考查复数的基本概念和运算,三角函数式的恒等变形及综合解题能

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力.

(29)已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α,β.证明: (Ⅰ)如果│α│<2,│β│<2,那么2│α│<4+b且│b│<4; (Ⅱ)如果2│α│<4+b且│b│<4,那么│α│<2,│β│<2.

[Key] (29)本小题考查一元二次方程根与系数的关系,绝对值不等式的性质和证明;逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力. 证法一:

依题设,二次方程有两个实根α,β,所以判别式 △=a2-4b≥0.

平方得 a2-4b<16-8a+a2,a2-4b<16+8a+a2, 由此得 -4(4+b)<8a<4(4+b), ∴2│a│<4+b.

(Ⅱ)∵2│a│<4+b,│b│<4,

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4±a>0;

且 △=a2-4b∴ -2<α≤β<2,

得 │α│<2,│β│<2. 证法二:

(Ⅰ)根据韦达定理│b│=│αβ│<4.

因为二次函数f(x)=x2+ax+b开口向上,│α│<2,│β│<2. 故必有f(±2)>0,

即4+2a+b>0,2a>-(4+b); 4-2a+b>0,2a<4+b. ∴2│a│<4+b.

(Ⅱ)由2│a│<4+b得4+2a+b>0即22+2a+b>0,f(2)>0. ① 及4-2a+b>0即(-2)2+(-2)a+b>0,f(-2)>0. ②

由此可知f(x)=0的每个实根或者在区间(-2,2)之内或者在(-2,2)之外.若两根α,β均落在(-2,2)之外,则与│b│=│αβ│<4矛盾.

若α(或β)落在(-2,2)外,则由于│b│=│αβ│<4,另一个根β(或α)必须落在(-2,2)内,则与①、②式矛盾.

综上所述α,β均落在(-2,2)内. ∴│α│<2,│β│<2.

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